2025年九年级中考数学三轮冲刺训练压轴题训练新定义训练
一、选择题
1．定义运算：a b＝（a+2b）（a﹣b），例如4 3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（x+1） 2的最小值为（ ）
A．﹣21 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣5
2．规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0
3．对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k B．k
C．k且k≠0 D．k且k≠0
4．函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数．定义{x}＝x﹣[x]，则下列说法正确的个数为（ ）
①[﹣4.1]＝﹣4；
②{3.5}＝0.5；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2；
④函数y＝{x}中，当2.5＜x≤3.5时，0≤y＜1．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
6．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1
C．y1和y2＝﹣x﹣1 D．y1和y2＝﹣x+1
7．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min＝{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1 B．﹣3≤m≤1 C．﹣3≤m≤3 D．﹣1≤m≤0
二、填空题
9．定义新运算：a b例如：﹣2 4＝（﹣2）2﹣4＝0，2 3＝﹣2+3＝1．若x 1，则x的值为 ．
10．一个各数位均不为0的四位自然数M，若满足a+d＝b+c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且b﹣a＝c﹣b＝1，则这个数为 ；若M是一个“友谊数”，设F（M），且是整数，则满足条件的M的最大值是 ．
11．定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ；
（2）若双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 ．
12．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是 ．
三、解答题
13．已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当时，则函数是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝﹣x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2﹣t1的值．
14．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有Rr．
（2）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径．
（3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．
①如图2，连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH；
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长．
15．定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
16．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
17．定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
19.阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
20．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：由题意得，y＝（x+1） 2＝（x+1+2×2）（x+1﹣2）＝（x+5）（x﹣1），
即y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴函数y＝（x+1） 2的最小值为﹣9．
故选：B．
2．【解答】解：根据题意得x（mx）+x+1＝0，
整理得mx2+x+1＝0，
∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4m 1＞0且m≠0，
解得m且m≠0．
故选：D．
3．【解答】解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k，
即x2﹣x﹣k＝0，
∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，
解得：，
故选：A．
4．【解答】解：①根据题意可得：[﹣4.1]＝﹣5，错误；
②∵[3.5]＝3，
∴{3.5}＝3.5﹣[3.5]＝3.5﹣3＝0.5，正确；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2，正确；
④函数y＝{x}中，当2.5＜x＜3时，[x]＝2，0.5＜x﹣[x]＜1，即0.5＜y＜1，
当x＝3时，[x]＝3，x﹣[x]＝0，即y＝0，
当3＜x≤3.5时，[x]＝3，0＜x﹣[x]≤0.5，即0＜y≤0.5，
综上，0≤y＜1，正确．
正确的命题有②③④．
故选：D．
5．【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x时，y1﹣y2最大值为，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
6．【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x或x，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；
B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
C．令y1+y2＝0，则x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
D．令y1+y2＝0，则x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意；
故选：A．
7．【解答】解：由题意得：，解得：，
当2x﹣1≥﹣x+3时，x，
∴当x时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当2x﹣1≤﹣x+3时，x，
∴当x时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x所对应的y的值，
如图所示，当x时，y，
故选：D．
8．【解答】解：∵x＝y，
∴x＝2x+m，即x＝﹣m．
∵﹣1≤x≤3，
∴﹣1≤﹣m≤3，
∴﹣3≤m≤1．
故选：B．
二、填空题
9．【解答】解：∵x 1，
∴当x≤0时，x2﹣1，
解得x或x（不合题意，舍去）；
当x＞0时，﹣x+1，
解得x；
由上可得，x的值为或，
故答案为：或．
10．【解答】解：∵是一个“友谊数”，
∴a+d＝b+c＝9，
又∵b﹣a＝c﹣b＝1，
∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6，
∴这个数为3456；
∵是一个“友谊数”，
∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9﹣b）+9﹣a＝999a+90b+99，
∴，
∴，
∵是整数，
∴是整数，即是整数，
∴3a+b+6是13的倍数，
∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d＝b+c＝9，
∴a≤8，
∴当a＝8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b＝2，则此时d＝3，c＝7，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为6273；
故答案为：3456；6273．
11．【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”，
∴，
消去t得到m2+4m﹣21＝0，
解得m＝﹣7或3，
∵x≠y，
∴m＝﹣7；
故答案为：﹣7；
（2）∵双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，
∴，
①﹣②得（x）（x）＝﹣4（x），
∴（x）（x4）＝0，
∵x≠y，
∴x4＝0，
整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∵﹣3＜x＜﹣1，且x≠﹣2，
∴3＜k＜4．
故答案为：3＜k＜4．
12．【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5
解得13≤x＜15．
故答案为：13≤x＜15．
三、解答题
13．【解答】（1），图象如图2所示．
（2）如图3，
∵，
设，B（m，3）．
因为点B在点A的上方，
当AB＝2时，
解得m＝3．
所以A（3，1）．
（3）①因为，
所以A（m，﹣m+4），B（m，﹣m2+4m）．
如果点B与点A重合，那么﹣m+4＝﹣m2+4m．
整理，得m2﹣5m+4＝0．
解得m＝1，或m＝4．
②由①可知，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+4x有两个交点（1，3）和（4，0），
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝2．
因为BC∥x轴，所以B、C两点关于直线x＝2对称．
如图4，当点B在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m﹣2）＝2m﹣4，
如图5，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
由点B在点A的上方，得BA＝（﹣m2+4m）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，
当2＜m＜4时，y＝2[（2m﹣4）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+14m﹣16，
当1＜m＜2时，y＝2[（4﹣2m）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+6m．
综上，y．
③情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度．
当m＝2时，y＝﹣2m2+6m＝4，所以P（2，4）．
当m＝4时，y＝﹣2m2+14m﹣16＝8，所以Q（4，8）．
所以t2﹣t1＝8﹣4＝4．
情形2，如图7（局部，变形处理），点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点．
由，得，
所以，
所以点F的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，t2﹣t1＝4或3﹣2．
14．【解答】解：（1）①当平行四边形的对角不互补时，对边和不相等时，
即内角不等于90°且邻边不相等的平行四边形是“平凡型无圆”四边形，
故①错误；
②∵内角不等于90°的菱形对角不互补，但是对边之和相等，
∴菱形是“内切型单圆”四边形，
故②正确；
③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，
如图，此时OM＝r，ON＝R，
∵△OMN是等腰直角三角形，
∴ONOM，
∴Rr，
故③正确．
故答案为：①（×）；②（√），③（√）．
（2）①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
理由：∵AB+CD≠BC+AD，
∴四边形ABCD无内切圆．
∴四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；
②证法1：如图1，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴，即，
∴与均为半圆，
∴EF是⊙O的直径．
证法2：如图1，连接AF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴∠1+∠2＝90°，
由同弧所对的圆周角相等可得∠2＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°．
∴EF是⊙O的直径
证法3：如图2，连接FD，ED．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由题意，得，，
∵由同弧所对的圆周角相等可得：∠EFD＝∠1，∠FED＝∠2，
∴，
∴∠FDE＝90°．
∴EF是⊙O的直径．
（3）①证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HG．
∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．
∴∠OEA＝∠OHA＝90°．
∴在四边形EAHO中，∠A+∠EOH＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
同理可证∠FOG+∠C＝180°，
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴四边形ABCD有外接圆，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠EOH＝∠C．
∴∠FOG+∠EOH＝180°
又∵∠FHG∠FOG，，
∴∠FHG+∠EGH＝90°．
∴∠HPG＝90°，即EG⊥FH．
②方法1：如图4，连接OE，OF，OG，OH．
∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF＝180°．
∵⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，
∴∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF．
∴∠OAH+∠OCG＝90°．
∵∠COG+∠OCG＝90°，
∴∠OAH＝∠COG．
∵∠AHO＝∠OGC＝90°，
∴△AOH∽△OCG．
∴，即，
解得，
在Rt△OGC中，有OG2+CG2＝OC2，即，
解得，
在Rt△OBE中，
同理可证△BEO∽△OHD，
所以，即，
解得．
方法2：如图4，
由△AOH∽△OCG，得，即，
解得，
由△BEO∽△OHD，
得，即，
解得．
15．【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±；
（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线yx﹣2上，同理可得，点B在直线yx+2k，
则y1m2﹣2，y2m2+2k，
则y1﹣y2m2﹣2m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；
（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5，
∵x≥0，
则5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n，
即0＜n≤1且n；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
16．【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a（舍）；
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2或．
17．【解答】解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m时，x0，
∴x＝3，
∴m时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
18．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，
∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠EBF+∠D＝180°，
∴四边形BEDF为“直等补”四边形；
（2）①过C作CF⊥BE于点F，如图1，
则∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BE⊥AD，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝1，
∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，
设BE＝CF＝x，则BF＝x﹣1，
∵CF2+BF2＝BC2，
∴x2+（x﹣1）2＝52，
解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），
∴BE＝4；
②如图2，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．
则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴CM＝FM，CN＝GN，
∴△MNC的周长＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠HCG＝180°，
∴∠A＝∠HCG，
∵∠AEB＝∠CHG＝90°，
∴△ABE∽△CGH，
∴
∵AB＝5，BE＝4，
∴AE，
∴，
∴GH，CH，
∴FH＝FC+CH，
∴FG8，
∴△MNC周长的最小值为8．
19．【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
20．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4，
∴其顶点坐标为（0，﹣4），
∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，
∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，
∴﹣4＝0+p．
∴p＝﹣4，
∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，
∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，
∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．
（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，
∴，
∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，n＝﹣3，
∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，
∴﹣4＝﹣m﹣3，
∴m＝1．
()
