第十八章 平行四边形 单元测试
总分：120分
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．距离不确定
3．菱形不一定具有的性质的是（ ）
A．对角线相等 B．邻边相等
C．对边相等 D．对角相等
4．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将矩形折叠，使一条短边落在长边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．5
9．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交，于点．下列说法：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的结论个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．如图，中，，，D是的中点，则的长为 ．
12．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ．
13．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ．
14．如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为
15．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．若，空白部分面积为13.5，则 ．
16．如图，在四边形中，是的中点，N是上的动点，连接．若，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分．
17．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：．
18．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？
19．如图，中，．
(1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若，求的长．
20．如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
21．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹：
(1)在图1中，在边上取一点，连结，使的面积是面积的；
(2)在图2中，在内部取一点，连结，，使的面积是面积的；
(3)在图3中，在边上找一点，连结，使的面积是面积的．
22．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
23．如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，且，连接，；
(1)则与的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)若点E，F分别是与的中点，计算的长；
(3)延长至P，连接，若，试求的长．
24．【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：．
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数．
【拓展应用】
（3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且．
①如图3，当点落在边上时，求的长；
②当点落在边上时，请直接写出的长．
第十八章 平行四边形 单元测试
总分：120分
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．距离不确定
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵是斜边的中线，，
∴，
∴M，C两点间的距离为，
故选：B．
3．菱形不一定具有的性质的是（ ）
A．对角线相等 B．邻边相等
C．对边相等 D．对角相等
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质的理解和掌握，掌握菱形的性质是解决问题的关键．列举出菱形的所有性质即可．
【详解】解：菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，对角相等，③菱形的对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角；
故菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：A．
4．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是菱形的判定．根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案．
【详解】解：A、添加可证明平行四边形是矩形，不能使它变成菱形，故此选项符合题意；
B、添加能证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C、添加可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意；
D、添加，则，所以，所以，可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是解题的关键．
根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：连接、，
，
是等边三角形，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：A．
6．如图，将矩形折叠，使一条短边落在长边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质．由折叠的性质得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，
由题意得，
∴，
∴，
故选：D．
7．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
根据菱形的性质可知，过点作交的延长线于点，根据等边三角形的性质， 可知，根据含角的直角三角形的性质，可得EH的长，再根据的面积公式，即可．
【详解】解：图1连接，
∵菱形中，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
如图3，过点作交的延长线于点，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．如图，中，，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质、定理．延长交于点，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果．
【详解】解：延长交于点，
∵
∴
在中
∴
∴
又∵
∴是的中位线
∵
∴
∴
故选：A．
9．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，设的中点为，连接、，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，为的中位线，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
10．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交，于点．下列说法：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的结论个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等；由正方形的性质和两个正方形边长关系，可证，结论①得证；由正方形的性质和两个正方形边长关系，可得到为的中点，，都是等腰直角三角形，且，可得，，可证，再结合，即可证，结论②得证；通过，可证为的中点， ，从而可证明，结论④可判定；过点作于，得到，设正方形的边长为，利用，，即可得到两者面积之比，可判定结论③；利用前面的证明结果，通过证明，即可证明不平分，可判定结论⑤；掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
【详解】解：①∵四边形和都是正方形，，为的中点，
，， ，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，故①符合题意；
②∵四边形和都是正方形，，
∴正方形的边长为正方形边长的，
∴为的中点，
又∵为的中点，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
又，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②符合题意．
④∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
，即为的中点，
∵，
∴，
∴，故④符合题意．
③∵为的中点，过点作于，如图：
设正方形的边长为，则正方形边长为，则，
，
，
，故③符合题意．
⑤∵，，
，
，
又，
，
，
∴不平分，故⑤不符合题意；
综上所述，结论①②③④符合题意，共个，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．如图，中，，，D是的中点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长．
【详解】解：∵，，是的中点，
∴，
故答案为： ．
12．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据题意求出矩形的另一条边长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，根据题意画出示意图，假设，
矩形的面积为，
矩形的另一条边长为，
，
矩形的对角线，
故答案为：．
13．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的周长，
故答案为：．
14．如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为
【答案】/64度
【分析】根据三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
15．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．若，空白部分面积为13.5，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题关键．
根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵空白部分面积为13.5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，在四边形中，是的中点，N是上的动点，连接．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点M作于点E，连接，，根据垂线段最短，得出当点N与点E重合时，最小，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】解：过点M作于点E，连接，，如图所示：
∵垂线段最短，
∴当点N与点E重合时，最小，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分．
17．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：．
【答案】证明过程见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论．
【详解】证明∶ 四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
18．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？
【答案】四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据得到，，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】解：四边形是平行四边形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
19．如图，中，．
(1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质、中线的作法、含的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握中线的作法，并熟练运用相关知识解决问题．
（1）直接利用线段垂直平分线的尺规作图方法作出直线交于点即可得解；
（2）利用含的直角三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到的长；
【详解】（1）如图，线段即为所求；
（2）∵，
∴，
由（1）作图可知，为边上的中线．
∴．
20．如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质即可求解；
（2）利用翻折变换的性质即可求解．
【详解】（1）是直角三角形，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，
∴是直角三角形；
（2）∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
21．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹：
(1)在图1中，在边上取一点，连结，使的面积是面积的；
(2)在图2中，在内部取一点，连结，，使的面积是面积的；
(3)在图3中，在边上找一点，连结，使的面积是面积的．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）取格点，，连接交于，连接即可；
（2）取格点，，连接交网格于点,，设交网格于点,取格点，连接,，且交于点，则的面积是面积的；
（3）取格点，，连接，交于点，连接，，根据可知的面积，根据可知：的面积的面积，则的面积是面积的．
本题考查了作图的应用与设计，网格作图，中线与面积，解决本题的关键是准确利用矩形对角线互相平分进行网格作图．
【详解】（1）解：如图1，则点即为所求；
；
（2）解：如图2，则点即为所求；
（3）解：如图3，则点即为所求．
；
22．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解；
（2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，则（负值舍去），
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键．
23．如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，且，连接，；
(1)则与的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)若点E，F分别是与的中点，计算的长；
(3)延长至P，连接，若，试求的长．
【答案】(1)，．
(2)
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和准确计算．
（1）证，得出，，再证即可；
（2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可；
（3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可．
【详解】（1）解：设与交于点Q，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）连并延长交于G，连接
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴
∵
∴
∴，，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，，
∴，
∴；
（3）过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
24．【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：．
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数．
【拓展应用】
（3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且．
①如图3，当点落在边上时，求的长；
②当点落在边上时，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析，（2），（3）①4；②．
【分析】（1）运用翻折变换的性质、正方形的性质及全等三角形的判定即可证得结论；
（2）过点作于点，利用矩形的性质和判定及翻折变换的性质即可求得答案；
（3）①利用等边三角形的判定和性质即可求得答案；
②过点作于点M，过点作于点，运用勾股定理可得，根据菱形性质及翻折可得：，，，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：过点作于点，如图，
则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由翻折得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当点落在边上时，如图，
∵，，
∴是等边三角形，
∴；
②当点落在边上时，如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由翻折得：，
设，则，
在中，，
∴，
解得： ，
即．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查勾股定理、折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键．
