2025年陕西省渭南市高考数学模拟试卷（三）
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数为奇函数，则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
5.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.某同学掷一枚正方体骰子次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为，方差为，可判断这组数据的众数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是实数 B. 若为虚数，则是虚数
C. 对于任意的复数都是实数 D.
10.已知直线：，圆：和抛物线：，则( )
A. 直线过抛物线的焦点 B. 直线与圆相交
C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 圆与抛物线的公共弦长为
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线：就是其中之一，下列说法正确的是( )
A. 曲线有条对称轴
B. 曲线内有个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为
D. 设直线与曲线交于，两点，则的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为______．
14.如图，有一个触屏感应灯，该灯共有个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻上、下或左、右相邻的灯区改变状态假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则，灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数．
Ⅰ求曲线在处的切线方程；
Ⅱ求函数在上的最值．
16.甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出对双打两对男双、两对女双、一对混双进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场没有平局的学校获胜并结束比赛已知甲学校混双获胜的概率是，其余对双打获胜的概率均是．
Ⅰ若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前场比赛结束就获胜的概率；
Ⅱ求混双比赛在前场进行的前提下，甲学校前场比赛结束就获胜的概率．
17.如图，三棱柱的底面是边长为的等边三角形，为的中点，，侧面底面．
Ⅰ证明：；
Ⅱ当时，求平面与平面夹角的余弦值．
18.已知椭圆的上顶点为，离心率为，，是椭圆上不与点重合的两点，且．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ求证：直线恒过定点；
Ⅲ求面积的最大值．
19.若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”．
Ⅰ设，，证明：数列是数列的“分割数列”；
Ⅱ设是数列的前项和，，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由；
Ⅲ设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围．
附：当时，若，则
参考答案
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13.
14.
15.解：Ⅰ定义域为，，
，，
所以切线方程为．
Ⅱ由Ⅰ知，令得或，
，在上单调递减，
，在上单调递增，
所以，
又，，
所以．
16.解：Ⅰ已知甲学校混双获胜的概率是，其余对双打获胜的概率均是，
若混双比赛抽签排到最后，则前三局甲连胜，
所以所求概率为；
Ⅱ设事件“混双比赛在第场进行”，
“混双比赛在前场进行的前提下，甲学校前场比赛结束就获胜”，
则，，
．
17.解：Ⅰ证明：等边三角形中，为中点，，
侧面底面，侧面底面，
又平面，平面，
又平面，C.
Ⅱ在中，，
，
．
由Ⅰ知，，平面，
又平面，，
，，两两垂直，
以，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，则，
不妨取，则，
平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，则，
不妨取，则，
平面的一个法向量为．
记平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：Ⅰ因为椭圆的上顶点为，离心率为，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
Ⅱ证明：当直线的倾斜角为时，显然不合题意；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
整理得，
解得或舍去，
直线的方程为，
故直线过定点；
Ⅲ因为点到直线的距离，
，
所以
，
令，，
此时，
已知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
即，
则．
故面积的最大值为．
19.解：Ⅰ证明：设，，
若是递增数列，且，
则，，
，且，即．
，，
，即，
对任意的，存在，使得．
是的“分割数列”．
Ⅱ设是数列的前项和，，，
由等差数列的求和公式，可得．
假设是的“分割数列”，
则对任意的，存在，，即，
，即，
当时，，
，，，
满足条件的正整数不存在，
不是的“分割数列”．
Ⅲ设且，数列的前项和为，
若数列是的“分割数列”，
是递增数列，．
，即，
即，
即，
，
记，则．
下面分析，的取值范围．
因为，单调递减，单调递增，
所以为减函数，且时，，
．
当时，，根据函数零点存在定理，
并结合的单调性可知，存在唯一正整数，使得，
此时有，则，
即，显然不存在满足条件的正整数．
当时，，，
，，
总存在满足条件，符合题意．
综上，的取值范围为．
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