2025年湖南省长沙二十一中高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.设数列的前项和为，若命题：“数列为等差数列”，命题：“对任意的，，，成等差数列”，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆及圆：，如图过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
5.若函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.若双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知一组样本数据：，，，其中，，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是( )
A. 序列不可能既是等比数列又是等差数列
B. 若成等比数列，和有组可能取值
C. 若成等差数列，和有组可能取值
D. 若该数据平均数是，则方差最小值为
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则( )
A. 存在点，使，，，四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过，，，四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的面积的最大值为______．
13.设函数，若是从，，，四个数中任取一个，是从，，，，，六个数中任取一个，则恒成立的概率为______．
14.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则 ______；若，，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的值；
若，点在边上，，求的面积．
16.本小题分
已知椭圆：经过点，且焦距与长半轴相等．
求椭圆的方程；
不过右焦点，且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，连接交椭圆于点．
若直线交轴于点，证明：为一个定点；
若过左焦点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求四边形面积的最小值．
17.本小题分
如图，在四面体中，面，是的中点，是的中点点在线段上且．
若求证：平面；
二面角为，求二面角的余弦值；
若三棱锥的体积为，求三棱锥外接球的体积．
18.本小题分
某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数
保单份数
已知：一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元．
Ⅰ从抽取的份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于的概率；
Ⅱ一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
记为抽取的份保单的毛利润平均值，求的值；
如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值与中的大小．
19.本小题分
已知函数，其中．
若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值；
若是的极小值点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
又因为，
所以，，，
即；
若，则，
则，
则；
由，
所以，
由知，所以，所以在直角三角形中，，
如图：
因为，所以，
平方得，
则，
所以直角三角形的面积．
16.解：因为椭圆经过点，且焦距与长半轴相等，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
证明：易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
可得，
联立，消去并整理得，
因为直线过椭圆焦点，
所以，
由韦达定理得，，
易知直线的方程为，
不妨设直线交轴于点，
令，
解得
，
则直线过定点；
易知
，
因为，
所以，
同理得，
因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
故四边形的面的最小值为．
17.解：证明：取中点，在线段上取点，使得，连接，，，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，且，，且，
在中，，，
，且，，且，
四边形为平行四边形，，
面，平面，
平面．
过点作面，
，平面，，，
，，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
平面，平面的法向量为，
二面角为，
，解得，
此时平面的一个法向量为，
，，，
设平面，，
设平面的法向量为，
，令，得，
由图得二面角是锐角，
二面角的余弦值为：
．
设，，若三棱锥的体积为，
则，解得，
，外接圆圆心坐标为，
平面，，
由对称性可知三棱锥外接球的球心为，
即，
三棱锥外接球的半径为，
三棱锥外接球的体积为．
18.解：已知一份保单的保费为万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿万元；第四次索赔时，保险公司赔偿万元．
Ⅰ根据题中数据，在份保单中，索赔次数不少于的保单份数为 ，
故一份保单索赔次数不少于的概率可估计为．
Ⅱ由题设，
索赔次数
保单份数
毛利润单位：万元
所以．
这种情况下抽取的份保单毛利润的平均值
大于中的估计值．如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，
份保单毛利润变化为，
．
则．
19.解：易知函数的定义域为，
，
由，
可得切线方程为，
则切线与两坐标轴的交点分别为，，
所围成的三角形的面积，
解得；
证明：令，
则，
由，解得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
可得，
若，，即，则，可得函数单调递增，此时，无极值；
若，，，且，
可知，存在，，满足，使得，
当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减；
当时，，即，则单调递增．
此时，有两个极值点，且是其极小值点，即，
从而．
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