秘籍10 带电粒子在复合场、组合场中的运动问题
一、复合场中的运动考向
1、电场、磁场与重力场叠加的复合场：考查学生分析带电粒子在三种场共同作用下的受力，据牛顿第二定律确定加速度，进而分析运动轨迹。常需将复杂运动按初始条件和受力分解为简单分运动研究。
2、交变复合场中的粒子运动：当复合场中电场或磁场周期性变化，考查学生分段分析粒子在不同时段的受力与运动，结合场变化规律确定各阶段运动性质，建立物理量联系，求特定时刻粒子的位置和速度，对逻辑与数学运算能力要求高。
二、组合场中的运动考向
1、电场与磁场依次出现的组合场：考查学生综合分析带电粒子在电场加速、磁场偏转等不同阶段的运动，明确在电场用牛顿定律、动能定理分析加速，在磁场用洛伦兹力与圆周运动规律分析偏转，衔接各阶段速度、能量等物理量，求粒子最终运动状态。
2、多区域组合场中的复杂运动：题目设多个不同电场、磁场区域，带电粒子穿梭其中。考查学生梳理运动过程，确定不同区域运动轨迹和衔接点，依各区域场特点用相应物理规律，推导粒子在组合场中的运动，求通过各区域时间、最终射出位置等。
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动（计算题）
题型二 借助分立场区考查磁偏转+电偏转问题（计算题）
题型三 带电粒子(带电体)在叠加场作用下的运动（计算题）
1、带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法
Ⅰ组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
Ⅱ带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3步：用规律
2、先电场后磁场模型
【运动模型】
Ⅰ带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图.
Ⅱ带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图.
3、先磁场后电场模型
【模型构建】(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．
4、带电粒子在组合场中运动的应用---质谱仪模型
【模型构建】
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图所示)
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；由以上两式可得r＝ ，m＝，＝.
5、带电粒子在组合场中运动的应用---回旋加速器模型
1．构造：
如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
2．原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能：
由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．总时间：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.
6、带电粒子在叠加场中的运动模型
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
3．有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
1．（2025 重庆模拟）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，在真空坐标系xOy中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的两个区域，分别分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为v0、沿x轴正方向从坐标原点O进入x＞0区域，x＞0区域存在磁感应强度大小B1、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场和另一未知的匀强电场。粒子进入x＞0区域后恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。求：
（1）x＞0区域中电场强度E1的大小和方向；
（2）第二象限中电场强度大小E0与磁感应强度大小B0；
（3）保持第二象限中磁感应强度大小不变，将电场强度大小增大为原来的4倍，同时左右调整入射P点的位置，使粒子仍能从O点进入x＞0区域，求粒子进入x＞0区域后，运动过程中距离x轴最远位置的坐标。
2．（2025 淄博一模）如图所示，线圈匝数为n、面积为S，其两端与平行板电容器两极板M、N连接，线圈内有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小随时间变化关系为Bt＝kt（k是磁感应强度变化率，且未知）。宽度均为L的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域边界竖直，其中Ⅰ内匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度的大小为B，Ⅱ内有水平方向的匀强电场，Ⅲ内匀强磁场方向垂直纸面向里。一电子从靠近电容器M板的P处由静止释放，经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，速度与水平方向夹角θ＝30°，电子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°。已知电子的电荷量大小为e，质量为m，重力不计，不计线圈内变化磁场对电子运动的影响。
（1）求线圈内磁感应强度变化率k；
（2）若Ⅱ区中电场强度为零，要使电子恰能返回Ⅱ区，求Ⅲ区中磁感应强度的大小B2；
（3）若保持（2）中B2不变，并在Ⅱ区加上水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E，电子仍从P处由静止释放，求电子在Ⅲ区中的运动时间t。
3．（2025 汕头一模）如图1所示，三维坐标系Oxyz中，在y＞0的空间同时存在沿y轴正方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场，在y＜0的空间存在z轴正方向的匀强磁场。带负电的离子从P（0，d，0）以速度v0在yOz平面内沿z轴正方向发射，恰好做匀速直线运动。两处磁场磁感应强度大小均为B，不计离子重力，答案可含π。
（1）求匀强电场的电场强度大小E；
（2）撤去y＞0空间内的匀强磁场，离子仍从P点以相同速度发射，且经Q（0，0，2d）进入y＜0的磁场空间，求离子在Q点的速度；
（3）离子在y＜0的磁场空间中速度第一次垂直y轴时，求离子的坐标。
4．（2025 河东区一模）亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件，它能产生标准磁场，因此在物理实验中经常被使用。如图所示，一对通有等大同向恒定电流的亥姆霍兹线圈同轴排列，形成平行于中心轴线O1O2向右的匀强磁场。现有一粒子源放置于轴上某位置O，持续垂直于轴线向外发射速度大小为v0的粒子，粒子所带电荷量均为+q，质量均为m。在轴线上P点垂直于轴放置一半径为R的圆形探测屏，用于接收粒子，探测屏圆心P与粒子源间的距离为d，不计粒子重力和粒子间相互作用。若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于，求：
（1）线圈中电流的方向（从左往右看顺时针或逆时针方向）；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）断开线圈中电流，在原磁场所在空间加上平行于轴线向右的匀强电场，使所有粒子恰好打在探测屏边缘，则电场强度E的大小；
（4）若该空间同时存在上述磁场和电场，沿O1O2轴平移探测屏，使所有粒子恰好打在探测屏的圆心，探测屏圆心与粒子源间的距离有哪些值。
5．（2025 1月份模拟）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求：
（1）电场强度的大小和P点距y轴的距离；
（2）小球第一次到达最低点时速度的大小；
（3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
6．（2025 聊城模拟）坐标系O﹣xyz中，在z＞0的空间存在沿z轴负方向的匀强电场E1，在﹣L≤z＜0的空间存在方向沿y轴正方向的匀强磁场B1，如图甲所示。一比荷为c带正电的粒子以初速度v0自P（0，﹣2L，L）点沿y轴正方向运动，一段时间后恰由坐标原点O进入匀强磁场的空间，粒子重力忽略不计。
（1）求电场强度E1的大小；
（2）为使粒子能够返回匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小B1的取值范围；
（3）如图乙所示，若将匀强磁场变为方向平行xOy平面、与y轴夹角45°，磁感应强度大小B2，同时在z＜0的空间加上匀强电场E2，方向沿z轴正方向。求粒子经过O点进入z＜0的空间后，第10次通过xOy平面的位置坐标。
7．（2025 济南一模）直角坐标系xOy如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域边界均平行于y轴。宽度为1.5L的Ⅰ区域内存在磁感应强度大小为B（未知）、方向垂直于纸面向里的匀强磁场；宽度为L的Ⅱ区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小；Ⅲ区域内存在磁感应强度大小也为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场（磁场宽度足够大）。一质量为m、带电量为+q的粒子由点P（0，﹣0.5L）以速度v0沿x轴正方向射入Ⅰ区域，经点Q（1.5L，0）射入Ⅱ区域，然后射入Ⅲ区域，粒子经Ⅲ区域偏转后再次返回Ⅱ区域。已知sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，不计粒子重力。求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子刚射入Ⅲ区域时的速度；
（3）粒子第二次经过Ⅲ区域左边界时的位置与x轴的距离d。
8．（2025 市中区校级一模）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内，抛物线与y轴之间有沿y轴负方向的匀强电场，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，圆与x轴相切于P点，在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度也为B的匀强磁场，在第一象限内有一平行于x轴的无限长荧光屏（图中未画出），在P点沿与x轴负方向成60°角的方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子在圆形磁场中偏转后沿x轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点射入第一、四象限内的匀强磁场中，粒子经磁场偏转后恰好垂直打在荧光屏上。不计粒子的重力。
（1）求粒子从P点射出的初速度大小；
（2）求匀强电场的电场强度大小；
（3）求荧光屏与x轴的距离；
（4）若粒子在P点射入磁场的速度方向在与y轴正向夹角为30°的范围内任意可调，求荧光屏上能接收到粒子的区域长度。
9．（2025 江西模拟）如图所示，平面直角坐标系的第二象限有一个匀强电场，其场强大小为E＝180V/m，方向沿x轴负方向，图中的虚线是电场的理想边界，其上方没有电场；第四象限存在一个磁感应强度，方向垂直纸面向外的匀强磁场；第一象限存在磁感应强度，方向沿y轴正方向的匀强磁场。在第二象限有一线状发射装置，不断射出质量m＝9.0×10﹣31kg、电荷量e＝1.6×10﹣19C的电子，电子的速度大小，方向沿y轴负方向，这些电子经电场偏转后都能经过坐标原点O进入第四象限。求：
（1）设电子进入电场的位置坐标为（x，y），求出x、y满足的关系式；（其中x＜0）
（2）这些电子离开第四象限进入第一象限与x轴的交点到坐标原点O的距离；
（3）这些电子在第一象限中会经过一些相同的位置，请写出这些位置的坐标。
10．（2025 潍坊模拟）如图所示，xOy为平面直角坐标系，在区域内存在匀强电场，方向沿y轴正方向，电场强度大小；在y＞0的区域Ⅰ及的区域Ⅱ内存在匀强磁场，方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小，一带正电的粒子以初速度v0从O点进入第一象限，速度方向与y轴正方向的夹角α＝37°，不计粒子重力。已知粒子质量为m，电荷量为q，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）粒子在区域Ⅱ内运动的轨迹半径；
（2）粒子运动过程中离开x轴的最大距离；
（3）粒子从O点射出后第11次经过x轴的位置坐标。
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秘籍10 带电粒子在复合场、组合场中的运动问题
一、复合场中的运动考向
1、电场、磁场与重力场叠加的复合场：考查学生分析带电粒子在三种场共同作用下的受力，据牛顿第二定律确定加速度，进而分析运动轨迹。常需将复杂运动按初始条件和受力分解为简单分运动研究。
2、交变复合场中的粒子运动：当复合场中电场或磁场周期性变化，考查学生分段分析粒子在不同时段的受力与运动，结合场变化规律确定各阶段运动性质，建立物理量联系，求特定时刻粒子的位置和速度，对逻辑与数学运算能力要求高。
二、组合场中的运动考向
1、电场与磁场依次出现的组合场：考查学生综合分析带电粒子在电场加速、磁场偏转等不同阶段的运动，明确在电场用牛顿定律、动能定理分析加速，在磁场用洛伦兹力与圆周运动规律分析偏转，衔接各阶段速度、能量等物理量，求粒子最终运动状态。
2、多区域组合场中的复杂运动：题目设多个不同电场、磁场区域，带电粒子穿梭其中。考查学生梳理运动过程，确定不同区域运动轨迹和衔接点，依各区域场特点用相应物理规律，推导粒子在组合场中的运动，求通过各区域时间、最终射出位置等。
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动（计算题）
题型二 借助分立场区考查磁偏转+电偏转问题（计算题）
题型三 带电粒子(带电体)在叠加场作用下的运动（计算题）
1、带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法
Ⅰ组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．
Ⅱ带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3步：用规律
2、先电场后磁场模型
【运动模型】
Ⅰ带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图.
Ⅱ带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图.
3、先磁场后电场模型
【模型构建】(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．
4、带电粒子在组合场中运动的应用---质谱仪模型
【模型构建】
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图所示)
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；由以上两式可得r＝ ，m＝，＝.
5、带电粒子在组合场中运动的应用---回旋加速器模型
1．构造：
如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
2．原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能：
由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．总时间：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.
6、带电粒子在叠加场中的运动模型
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
3．有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
1．（2025 重庆模拟）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，在真空坐标系xOy中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的两个区域，分别分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为v0、沿x轴正方向从坐标原点O进入x＞0区域，x＞0区域存在磁感应强度大小B1、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场和另一未知的匀强电场。粒子进入x＞0区域后恰好做匀速直线运动，不计粒子重力。求：
（1）x＞0区域中电场强度E1的大小和方向；
（2）第二象限中电场强度大小E0与磁感应强度大小B0；
（3）保持第二象限中磁感应强度大小不变，将电场强度大小增大为原来的4倍，同时左右调整入射P点的位置，使粒子仍能从O点进入x＞0区域，求粒子进入x＞0区域后，运动过程中距离x轴最远位置的坐标。
【解答】解：（1）粒子进入x＞0区域后恰好做匀速直线运动，根据平衡条件由
qv0B1＝qE1
解得
E1＝v0B1
方向沿y轴负方向
（2）粒子从O到P，根据动能定理有
解得
粒子在B0中做匀速圆周运动
r＝d
洛伦兹力提供向心力
解得
（3）将第二象限中电场强度大小增大为原来的4倍，根据动能定理有
解得
v＝2vo
磁感应强度大小不变
解得
r1＝2d
其运动轨迹如图
由图可知
即粒子从O点进入x＞0区域时速度方向与y轴负方向的夹角为
θ＝300
该速度沿x轴和y轴正方向的分速度大小为
vx＝vsin30°＝v0
则粒子进入x＞0 区域后的运动可分解为沿x轴正方向的匀速直线运动和速度大小为
的匀速圆周运动，可知
解得
粒子做圆周运动的周期为
第一个周期内粒子运动
和
距离x轴最远，根据粒子运动的周期性，粒子运动和（n＝0，1，2…）时距离x轴最远位置的横坐标分别为
（n＝0，1，2 ）
（n＝0，1，2 ）
纵坐标分别为
综上所述，最远的位置坐标为和（n＝0，1，2…）。
2．（2025 淄博一模）如图所示，线圈匝数为n、面积为S，其两端与平行板电容器两极板M、N连接，线圈内有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小随时间变化关系为Bt＝kt（k是磁感应强度变化率，且未知）。宽度均为L的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域边界竖直，其中Ⅰ内匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度的大小为B，Ⅱ内有水平方向的匀强电场，Ⅲ内匀强磁场方向垂直纸面向里。一电子从靠近电容器M板的P处由静止释放，经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，速度与水平方向夹角θ＝30°，电子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°。已知电子的电荷量大小为e，质量为m，重力不计，不计线圈内变化磁场对电子运动的影响。
（1）求线圈内磁感应强度变化率k；
（2）若Ⅱ区中电场强度为零，要使电子恰能返回Ⅱ区，求Ⅲ区中磁感应强度的大小B2；
（3）若保持（2）中B2不变，并在Ⅱ区加上水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E，电子仍从P处由静止释放，求电子在Ⅲ区中的运动时间t。
【解答】解：（1）由法拉第电磁感应定律可知：，且
电子在MN间被加速过程有：，
电子在区域Ⅰ中偏转过程中，由几何关系得：2r1sinθ＝L
由向心力公式可得：
联立可得：。
（2）若电子恰能回到Ⅱ区则电子在Ⅲ区中的运动轨迹应与Ⅲ区的右边界相切，由几何关系得：r2+r2sinθ＝L
又
联立可得：。
（3）电子进入Ⅱ区后竖直方向和水平方向速度分量分别为：
v1＝vsinθ v2＝vcosθ
沿水平方向有：
联立解得：
电子进入Ⅲ区时合速度为：
由得：
电子进入Ⅲ区合速度与水平方向的夹角应满足：
联立可得：，即α＝60°
因
由几何关系可知电子在磁场Ⅲ中转过的圆心角为：Δθ＝300°
又
解得：。
3．（2025 汕头一模）如图1所示，三维坐标系Oxyz中，在y＞0的空间同时存在沿y轴正方向的匀强电场和沿x轴负方向的匀强磁场，在y＜0的空间存在z轴正方向的匀强磁场。带负电的离子从P（0，d，0）以速度v0在yOz平面内沿z轴正方向发射，恰好做匀速直线运动。两处磁场磁感应强度大小均为B，不计离子重力，答案可含π。
（1）求匀强电场的电场强度大小E；
（2）撤去y＞0空间内的匀强磁场，离子仍从P点以相同速度发射，且经Q（0，0，2d）进入y＜0的磁场空间，求离子在Q点的速度；
（3）离子在y＜0的磁场空间中速度第一次垂直y轴时，求离子的坐标。
【解答】解：（1）离子做匀速直线运动
qv0B＝qE
解得
E＝v0B
（2）撤去磁场后，离子做类平抛运动
（y方向上）电场力方向上
初速度v0方向上
2d＝v0t
电场力方向上的速度分量
vy＝at
Q点时的速度大小为
解得
由
得
θ＝45°
（3）当离子进入y＜0的磁场后，在z方向做匀速直线运动，在xoy平面做匀速圆周运动，当圆周运动转过的圆心角为90°时，速度第一次垂直y轴，在电场中
qE＝ma
在磁场中，xoy平面
解得
R＝2d
转过90°圆心角的时间为
z＝v0t
x＝R＝2d
y＝﹣R＝2d
此时离子坐标（2d，﹣2d，（2+π）d）
4．（2025 河东区一模）亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件，它能产生标准磁场，因此在物理实验中经常被使用。如图所示，一对通有等大同向恒定电流的亥姆霍兹线圈同轴排列，形成平行于中心轴线O1O2向右的匀强磁场。现有一粒子源放置于轴上某位置O，持续垂直于轴线向外发射速度大小为v0的粒子，粒子所带电荷量均为+q，质量均为m。在轴线上P点垂直于轴放置一半径为R的圆形探测屏，用于接收粒子，探测屏圆心P与粒子源间的距离为d，不计粒子重力和粒子间相互作用。若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于，求：
（1）线圈中电流的方向（从左往右看顺时针或逆时针方向）；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）断开线圈中电流，在原磁场所在空间加上平行于轴线向右的匀强电场，使所有粒子恰好打在探测屏边缘，则电场强度E的大小；
（4）若该空间同时存在上述磁场和电场，沿O1O2轴平移探测屏，使所有粒子恰好打在探测屏的圆心，探测屏圆心与粒子源间的距离有哪些值。
【解答】解：（1）根据安培定则，要产生如图所示方向的磁场，则亥姆霍兹线圈应通顺时针方向的电流（从左往右看）
（2）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得
其中
解得
（3）粒子在电场中做类平抛运动
沿x轴方向有
垂直于x轴方向有
R＝v0t
由牛顿第二定律可知
qE＝ma
联立解得
（4）根据运动独立性，粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，垂直于x轴方向做匀速圆周运动，故粒子回到x轴时间为粒子做匀速圆周运动周期的整数倍
x轴方向有
qE＝ma
解得
5．（2025 1月份模拟）如图，cd边界与x轴垂直，在其右方竖直平面内，第一、二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三、四象限存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内，某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入，小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动，此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g，已知磁感应强度大小均为。求：
（1）电场强度的大小和P点距y轴的距离；
（2）小球第一次到达最低点时速度的大小；
（3）小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
【解答】解：（1）依题意，小球从P点运动到坐标原点O，速率没有改变，即动能变化为零，由动能定理可知合力功为零，电场力与重力等大反向，可得
qE＝mg
解得
可知小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图1：
图1
根据
解得
由几何关系，可得xP＝r+rcos30°
联立，解得
（2）把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°的，如图2：
图2
其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡，即F洛＝qv0B＝mg
小球沿x轴正方向做匀速直线运动，与x轴负方向成45°的对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力，可知小球第一次到达最低点时速度的大小为
（3）由第二问分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图3所示：
图3
根据
又
由几何关系，可得小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°，则所用时间为
联立，解得
6．（2025 聊城模拟）坐标系O﹣xyz中，在z＞0的空间存在沿z轴负方向的匀强电场E1，在﹣L≤z＜0的空间存在方向沿y轴正方向的匀强磁场B1，如图甲所示。一比荷为c带正电的粒子以初速度v0自P（0，﹣2L，L）点沿y轴正方向运动，一段时间后恰由坐标原点O进入匀强磁场的空间，粒子重力忽略不计。
（1）求电场强度E1的大小；
（2）为使粒子能够返回匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小B1的取值范围；
（3）如图乙所示，若将匀强磁场变为方向平行xOy平面、与y轴夹角45°，磁感应强度大小B2，同时在z＜0的空间加上匀强电场E2，方向沿z轴正方向。求粒子经过O点进入z＜0的空间后，第10次通过xOy平面的位置坐标。
【解答】解：（1）由题意
2L＝v0t
qE1＝ma
得：
（2）粒子自O点进入磁场空间后，速度分解如图a所示
粒子沿y轴方向分运动为匀速直线运动，沿﹣z方向分运动为匀速圆周运动，如图b所示
vy＝v0
vx＝at＝v0
由
要使粒子能够返回匀强电场，则
r≤＜L
得：
（3）粒子自O点进入z＜0的空间后，速度分解如图a所示，再将v如图c分解
又
qE2＝qvy1B2
可知粒子沿vy1、vy2方向均为匀速直线运动，即粒子沿y轴方向分运动为匀速直线运动，对于va＝v0沿z轴负方向，与磁场垂直，在z＜0的空间垂直于B2的平面内做匀速圆周运动，进入z＞0空间后，在电场力的作用下做匀变速直线运动，此后再次进入z＜0的空间，轨迹如图d
由
得：
由几何关系可知，粒子第10次经过xOy面时
LOM＝5×2R＝5L
x坐标
在y轴方向上，粒子运动的时间
qE1＝ma
y坐标：
综上所述，第10次经过xOy平面的位置坐标
7．（2025 济南一模）直角坐标系xOy如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域边界均平行于y轴。宽度为1.5L的Ⅰ区域内存在磁感应强度大小为B（未知）、方向垂直于纸面向里的匀强磁场；宽度为L的Ⅱ区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小；Ⅲ区域内存在磁感应强度大小也为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场（磁场宽度足够大）。一质量为m、带电量为+q的粒子由点P（0，﹣0.5L）以速度v0沿x轴正方向射入Ⅰ区域，经点Q（1.5L，0）射入Ⅱ区域，然后射入Ⅲ区域，粒子经Ⅲ区域偏转后再次返回Ⅱ区域。已知sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，不计粒子重力。求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子刚射入Ⅲ区域时的速度；
（3）粒子第二次经过Ⅲ区域左边界时的位置与x轴的距离d。
【解答】解：（1）粒子在区域Ⅰ中的运动轨迹如图所示
由几何知识得：，解得：r1＝2.5L
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv0B＝m
解得：B
（2）设粒子进入Ⅱ区域时速度方向与x轴正方向夹角为α，在Ⅱ区域的运动时间为t，
进入Ⅲ区域时的速度方向与x轴正方向间的夹角为θ，速度大小为v
由几何知识得：sinα
x轴方向：L＝v0tcosα
y轴方向：vy＝v0sinαt
tanθ，v
解得：vv0，θ＝53°
（3）设粒子在Ⅲ区域中运动的轨道半径为r2，第一次进入Ⅲ区域时与x轴的距离为y0，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m
由运动学公式得：y0
粒子第二次经过Ⅲ区域左边界的位置距x轴的距离d＝2r2cosθ﹣y0
解得：dL
8．（2025 市中区校级一模）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内，抛物线与y轴之间有沿y轴负方向的匀强电场，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，圆与x轴相切于P点，在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度也为B的匀强磁场，在第一象限内有一平行于x轴的无限长荧光屏（图中未画出），在P点沿与x轴负方向成60°角的方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子在圆形磁场中偏转后沿x轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点射入第一、四象限内的匀强磁场中，粒子经磁场偏转后恰好垂直打在荧光屏上。不计粒子的重力。
（1）求粒子从P点射出的初速度大小；
（2）求匀强电场的电场强度大小；
（3）求荧光屏与x轴的距离；
（4）若粒子在P点射入磁场的速度方向在与y轴正向夹角为30°的范围内任意可调，求荧光屏上能接收到粒子的区域长度。
【解答】解：（1）如图
由几何关系，粒子在圆形磁场中的运动半径
r＝R
得
（2）粒子在电场中做类平抛运动
由抛物线方程得
x＝v0t
qE＝ma
解得
（3）电场中，由动能定理
解得
设粒子进入磁场时速度与y轴负方向的夹角为θ，则
解得
粒子垂直打在荧光屏上，荧光屏离x轴的距离为
d＝r'sinθ
解得
d＝R
（4）改变粒子从P点射入磁场的方向，假设粒子仍能通过O点，则
x1＝v0t1
可得，则假设成立。
设O点的速度为v1与y轴负方向的夹角为α，则有
即所有粒子都垂直打在荧光屏上
在P点与x轴负方向成60°角进入磁场的粒子，打在荧光屏上时与y轴的距离
在P点与x轴正方向成60°角进入磁场的粒子
则区域长度
9．（2025 江西模拟）如图所示，平面直角坐标系的第二象限有一个匀强电场，其场强大小为E＝180V/m，方向沿x轴负方向，图中的虚线是电场的理想边界，其上方没有电场；第四象限存在一个磁感应强度，方向垂直纸面向外的匀强磁场；第一象限存在磁感应强度，方向沿y轴正方向的匀强磁场。在第二象限有一线状发射装置，不断射出质量m＝9.0×10﹣31kg、电荷量e＝1.6×10﹣19C的电子，电子的速度大小，方向沿y轴负方向，这些电子经电场偏转后都能经过坐标原点O进入第四象限。求：
（1）设电子进入电场的位置坐标为（x，y），求出x、y满足的关系式；（其中x＜0）
（2）这些电子离开第四象限进入第一象限与x轴的交点到坐标原点O的距离；
（3）这些电子在第一象限中会经过一些相同的位置，请写出这些位置的坐标。
【解答】解：（1）电子做类平抛运动，电子能过坐标原点O，则有：
y＝v0t
消去t得：
y2＝﹣x
（2）电子在第四象限做匀速圆周运动
由洛伦兹力提供向心力，有
设电子进入磁场时速度方向与x轴成θ角，则由几何关系得
v0＝vsinθ
x＝2Rsinθ
解得
x＝0.1m
（3）电子在第一象限做螺旋线运动，周期为
，
则有
y＝v0nT（n＝1，2，3 ），
解得y＝0.05nπ（n＝1，2，3 ），
又x＝0.1m，
则这些位置的坐标（0.1m，0.05nπm）（n＝1，2，3 ）
10．（2025 潍坊模拟）如图所示，xOy为平面直角坐标系，在区域内存在匀强电场，方向沿y轴正方向，电场强度大小；在y＞0的区域Ⅰ及的区域Ⅱ内存在匀强磁场，方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小，一带正电的粒子以初速度v0从O点进入第一象限，速度方向与y轴正方向的夹角α＝37°，不计粒子重力。已知粒子质量为m，电荷量为q，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）粒子在区域Ⅱ内运动的轨迹半径；
（2）粒子运动过程中离开x轴的最大距离；
（3）粒子从O点射出后第11次经过x轴的位置坐标。
【解答】解：（1）在电场中加速，，区域Ⅱ：，
（2）粒子在区域Ⅱ中速度方向与x轴平行时离开x轴的距离最大，在电场中，x轴方向不受力，速度不变，设粒子进入区域Ⅱ的速度方向与y轴负方向夹角为β
则有：v0sinα＝vsinβ，粒子运动过程中离开x轴的最大距离：，
（3）区域Ⅰ：，
一个周期，粒子两次经过x轴，前进的距离为x0，则有：x0＝2r1cosα﹣2r2cosβ+2v0sinα t，vcosβ＝v0cosα﹣at，qE＝ma
粒子从O点射出后第11次经过x轴的位置：x＝5x0+2r1cosα，，所以位置坐标为
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