第一次定时作业数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题4卡中对应的方框内涂黑．
1. 下列各数是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（ ）之间
A. 和0 B. 0和1 C. 1和2 D. 2和3
4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A. 5 B. C. 6 D.
5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题中真命题是（ ）
A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段
C. 正多边形的中心角等于其每一个内角
D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形
7. 如图，将正方形分成4个完全一样的小正方形，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到四个更小的正方形，……，依次操作次，得到的图形中共有（ ）个正方形．
A. B. C. D.
8. 如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，正方形边长为，为线段上一点，为边上一点，满足，与相交与点，且，则长度为（ ）
A. B. C. D.
10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确个数是（ ）
①若，则；
②若关于的方程的解为和，则的值为，
③若关于的方程有两个不相等的实数根，则．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. _______．
12. 一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，，，现将它们背面朝上，从中任意抽取两张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为偶数的概率为___________．
13. 如图，四边形是矩形，连接，点、分别为、边的中点，连接，，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则___________．
14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的平方和为___________．
15. 如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径______：的面积______．
16. 对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为___________；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为___________．
三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）
（2）化简，其中为整数且，请选择合适的代入求值．
18. 寒假期间，青少年很容易陷入“宅”生活，长时间面对电子屏幕，缺乏必要的身体锻炼，这不仅会影响他们的身体健康，还可能导致心理问题如情绪波动、注意力不集中等，某校为了解学生寒假期间体育锻炼的情况，寒假结束时，在全校组织了一次跳绳测试，现分别从八、九年级随机抽取了20名同学的成绩，部分成绩如下，成绩用跳绳个数表示，其评分标准分为（，，，，），其中八年级成绩如表：
跳绳个数
频数（人）
频率（）
九年级学生跳绳测试成绩的扇形统计图如图所示，评分为B的学生的跳绳个数为：，，，，，，，，，，，．
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
八、九两个年级跳绳测试成绩的平均数，中位数，众数如表所示：
（1）填空：______，_____，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的跳绳测试成绩较好？（写出一条理由即可）
（3）假如该校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计该校八、九年级达到和等级的总人数？
19. 在学行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹）
已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
①__________，，．
平分，平分，
，，
②__________，
．
．
四边 是平行四边形，
，．
，即③__________，
四边形是平行四边形．
请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________．
20. 春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元．
（1）求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？
（2）随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值．
21. 如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动．到点停止运动．过作交于点，过作交于点．设运动时间为秒．四边形的面积为，的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出，关于函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
22. 寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米．
（1）求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）；
（2）小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为米分，小红步行的速度为米分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位）
23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，且点在该拋物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值：
（3）将原拋物线向左平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，点是原抛物线与新抛物线的交点，将点向上平移个单位得点，若，问：平面内是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
24. 如图，是等边三角形，、分别是、边上的点（点、不与端点重合），，连接、为交于点，点为延长线上一点，且，点为平面内上方、左侧一点，，延长交于点．
（1）若点是中点，，求线段的长度；
（2）若，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明；
（3）若，为内部一点，当最小时，直接写出面积的最小值．
第一次定时作业数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题4卡中对应的方框内涂黑．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】A
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】 ① ②.
【16题答案】
【答案】 ①. ②.
三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
【17题答案】
【答案】（1）
（2）；
【18题答案】
【答案】（1），，，
（2）九年级的跳绳测试成绩较好，理由见解析
（3）估计该校八、九年级达到和等级的总人数为人
【19题答案】
【答案】作图见解析，①；②；③；④互相平分
【20题答案】
【答案】（1）1月份至多卖出坝坝茶盒
（2）
【21题答案】
【答案】（1），
（2）见解析，函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小
（3）
【22题答案】
【答案】（1）米
（2）小红先到达学校自习室
【23题答案】
【答案】（1）
（2）的最大值为
（3）或
【24题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
