2025年河南省重点中学内部摸底试卷
数学（三）
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．
考生应首先阅读试题卷上的文字信息、然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．）
1．如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．-1.5 B.0 C.1 D.1.5
2．如图所示为某几何体的展开图，则该几何体的名称是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．球 D．圆柱
3．据大河网2025-2-17消息：郑州新郑国际机场是拥有全球货运机场40强的机场，年货运保障能力110万吨．数据“110万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点在上，且，则的度数是（ ）
A.70° B.75° C.80° D.85°
7．在四张无差别卡片上依次写下4个数字（如图所示），卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张．分别作为点的横、纵坐标，则点在反比例函数图象上的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在矩形中，为边上不与端点重合的一动点，过点作交于点，在点的移动过程中线段长度的最值说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值
10．如图甲所示的电路，电源电压恒定，闭合开关，移动滑片P从一端到另一端．电压表示数随电流表示数变化的图象如图乙所示．以下分析错误的是（ ）
A．该函数为一次函数
B．为时，对应的为
C．的最大功率为
D．电路的最小总功率为
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个随的增大而增大的函数解析式，它是___________．
12．关于的不等式组的正整数解为___________．
13．某教育局组织了一场同课异构教学优质课大赛，最终成绩按照说课成绩占30%、讲课成绩占70%计算总成绩．王老师说课环节得90分，讲课环节得80分，那么王老师的最终成绩为___________分．
14．如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为___________．
15．如图所示，在菱形中，是边上不与端点重合的一点，将沿折叠，点的对应点为点交菱形的边于点，当时，的长为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．长时间注视手机、PAD屏幕时，会使眼睛感到干涩、疲劳、屏幕散发的蓝光会影响泪液的分泌，导致眼睛表面水分蒸发，眼睛变得干涩，甚至出现酸痛感，严重的还可能．友眼睛的视疲劳．某学校开展了“眼向未来，睛彩世界”的爱眼，护眼宣传活动，并对部分学生周六不间断使用手机的时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
备注：A：B：C：D：；
（1）本次抽样调查的样本容量为___________，扇形图中C部分对应的圆心角度数为___________；
（2）条形图中用眼时间的中位数位于___________（选填“A”“B”“C”或“D”）时间段内；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校有学生2400个，请你估计不间断用眼时间超过1.5小时的学生大约有多少个？
18．小商桥，位于河南省漯河市临颍县与郾城区交界的小商河（颍河故道）上．小商河为古时商王经此而得名，桥因河而取名，河因桥而出名．小商桥始建于隋开皇四年（584年），已有一千四百多年的历史，其主拱的结构近似为圆弧形．某校“综合与实践”小组的同学为测量小商桥的主拱所在圆的半径，设计如下测量思路：将主拱记为，弦为水平面，在实地勘测拱桥后，“综合与实践”小组在上取了一点，测得，求小商桥所在圆的半径．（结果精确到，参考数据：0.73，）
19．如图所示，在中，，为的角平分线，请用无刻度直尺和圆规完成作图．
（1）作的高线，交于；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，判断与的数量关系，并说明理由．
20．如图1所示．在面积为6的四边形中，对角线．设，请按要求作答．
（1）求与之间的函数解析式，及对应的的取值范围；
（2）图2为单位长度为1的的平面直角网格坐标系，其中每个小正方形的顶点称为格点，在图2中描绘出与的函数图象；
（3）若函数图象上最上方的格点为，最下方的格点为，直接写出点到线段的距离．
21．）健身馆可以提供各种健身设施和课程，不仅是一个健身的场所，更是促进健康生活方式的重要推动力．已知甲、乙两个健身馆的单次健身费用标价相同，年后由于市场竞争，甲、乙两健身馆都采取了不同程度的促销手段．
设刘刚年健身次数为（次），甲健身馆所需费用为（元），乙健身馆所需费用为（元）．已知年后在乙健身馆健身4次费用为160元．
（1）甲、乙两个健身馆单次健身费用的标价为___________元；
（2）求的函数解析式；
（3）若刘刚一年内健身60次，则选哪个健身馆比较合算，请说明理由．
22．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集；
（3）抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
23．【综合实践】延时课上，某数学兴趣小组用大小不同的两个等腰直角三角板进行探究．已知，三角板与三角板均为等腰直角三角板，其中，，设与的夹角为．
（1）【问题发现】如图1所示，当时，请填空：
①的值为___________；
②与所夹锐角为___________度．
（2）【类比探究】如图2所示，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）【拓展延伸】如图3所示，在直角三角形中，，若，当点到直线的距离为1时，直接写出的长．
数学
说明：
1．如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据提供的解法的评分标准精神进行评分．
2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，但原则上不超过后继部分应得分数之半．
3．评分标准中，如无特殊说明，均为累计给分．
4．评分过程中，只给整数分数．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．A
【解析】设叶片盖住的点表示的数为x，则-2
【解析】该展开图为圆柱体的展开图．故选 D．
3．B
【解析】110万=1100000=1.1×10．故选 B．
4．D
【解析】A．a，故A不符合题意；
B．（a），故B不符合题意；
C．a与a不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D．，故D符合题意．故选D
5．D
【解析】将方程整理为一般式可得：方程有两个不相等的实数根．故选 D．
6．B
【解析】如图所示，由题意得：=30°．．故选B．
7．A
【解析】依据题意画树状图可得，共有12种等可能结果，其中在反比例函数图象上的结果有4种，在反比例函数图象上的概率为．故选A．
8．B
【解析】连接CO，DO，BD，如图所示．C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，和是等边三角形．设OD与CB交于点P．可知
B．BPO的面积等于的面积．
长度．故选B．
9．B
【解析】设．由一线三等角性质可知：△ABP∽．
．
整理，得当时，有最大值．故选B．
10．C
【解析】图象为直线，故该函数为一次函数，故A正确；
当I为0.3A时，对应的U为，故正确；
当滑片移动到最左端时，电路中只有，由欧姆定律可知，此时电路中的电流最大，由可知，电源电压一定，电路中的电流最大时，的功率最大，的最大功率P=UI大=12V×0.6A=7.2W，故C错误；
当滑片P移动到最右端时，电路中的电流最小，电路的总功率最小，电路的最小总功率，故D正确．故选 C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．y=x+1（答案不唯一）
【解析】如y=x+1，无论x>0或x≤0，y都随x的增大而增大．（答案不唯一）
12.1
【解析】解不等式①，得．解不等式②，得．所以不等式组的解集为．其正整数解为1．
13.83
【解析】王老师的最终成绩为90×30%+80×70%=83（分）．
14.
【解析】如图所示，连接AF．∵四边形ABCD是正方形，CD，（SAS）．
．
如图所示，作点关于的对点G，连接DG，GF．由轴对称性质可知AF=GF，由三角形三边关系可知，即．在中，的最小值为．
15.或
【解析】分类讨论如下：当点Q在线段CD上时，如图1所示，设．
在Rt中，．依据题意可得，解得；
当点在线段上时，如图2所示，可得．
综上可得PD的长度为或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解：（1）
（2）
．
17．解：（1）100 162°
【解析】本次抽查样本容量为（个），故扇形图中C部分对应的圆心角度数为．
（2）C
【解析】共有100个数据，故该组数据的中位数为第50个和第51个数据的平均数，应该位于C组．
（3）C组数据为45个，补充条形统计图如下：
（4）（个）．
答：该校2400名学生中，估计不间断用眼时间超过1.5小时的学生大约有1320个.
18．解：如图所示，主拱所在的圆为，半径为，作直径，连接．
．
在RtABD中
，．
．
答：小商桥的主拱所在圆的半径约为．
19．解：（1）如图所示，AE即为所求．
（2）AF=AD．
理由：平分．
．
．
．
20．解：（1），
，
即．
与的函数解析式为．
（2）依据函数解析式描绘出的函数图象如图所示．
（3）点到线段的距离为．
提示：点的坐标为（2，6），点的坐标为（6，2），两点关于直线对称，故直线与线段AB的交点即为AB的中点，且AB．
由勾股定理可得，．
21．解：（1）50
【解析】设甲、乙两个健身馆单次健身费用的标价为元，乙健身馆的实际单次收费为0.8m．
根据题意，得0.8m×4=160，解得m=50．
（2）根据题意，得，
即．
答：的函数解析式为的函数解析式为．
（3）选甲健身馆比较合算．
理由：当x=60时，，
，
刘刚一年内健身60次，选甲健身馆比较合算．
22．解：（1）抛物线与轴交于点，点．
设抛物线解析式为
．整理，
得．
（2）．
【解析】将化为顶点式，
得．
点坐标为（1，-1）．
点的坐标为（3，0），
不等式的解集为．
（3）存在．
由抛物线的对称性可知
故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为（1，-1）．
如图所示，作点关于轴的对称点因点P的坐标为（1，-1），
可得Q点坐标为（1，1）
设直线的解析式为．
∵点A（–1，0），Q（1，1），
直线的解析式为．
联立方程组可得
解得（舍）．
将代入，得．
故的坐标为（5，3）
综合以上可得点M的坐标为（1，-1）或（5，3）．
23．解：（1）
【解析】①如题图1所示，均为等腰直角三角形，
．
．
（2）结论成立．
理由：如图1所示，设与交于点，
都是等腰直角三角形，
．
．
．
由“8”字模型可得，．
，与所夹锐角，故（1）中结论成立．
（3）或．
【解析】在等腰中，．如图2所示
，当点在左侧时，作于点．
，
四点共圆．
．
为等腰直角三角形．
．
在中，，
．
在中，；
如图3所示，当点在右侧时，作于点，
四点共圆．
．
为等腰直角三角形．
．
在中，，
．
综上所述：的长为或．
