北京市2025年中考第一次数学模拟考试卷
（时间：100分钟 分值：100分）
一、单选题（共8小题，每题2分，共16分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．如图，下列4种标志中既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
1．C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形是关于直线对称，中心对称图形是关于点对称，要注意区别．据轴对称和中心对称的特点判断即可求解．
【详解】解：A.是中心对称，但不是轴对称，不合题意；
B.既不是轴对称，也不是中心对称，不合题意；
C. 既是轴对称又是中心对称，符合题意；
D. 是轴对称，但不是中心对称，不合题意．
故选：C.
2．中国科学家利用嫦娥六号采回的月壤样品，取得了重要研究成果．其中一项研究表明，月球背面岩浆活动在4200000000年前就已存在，为月球演化研究提供了关键科学证据．其中“4200000000年”用科学记数法表示为（ ）年
A． B． C． D．
2．B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：．
3．如图，直线与相交于点O，射线于点O，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．D
【分析】本题考查的是垂线、对顶角，掌握垂直的定义、对顶角相等是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据余角的定义求出，再根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．D
【分析】此题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正误，直接利用，在数轴上位置进而分别分析得出答案．
【详解】解：由数轴上与的位置可知：，故选项A错误；
因为，，所以，故选项B错误；
因为，，所以，则，故选项C错误；
因为，则，故选项D正确；
故选：D．
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
5．D
【分析】此题考查利用一元二次方程根的情况求参数，根据判别式及二次项系数不等于零即可求出答案
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，，
∴，，
解得且，
故选：D．
6．一个口袋中有黄球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有120次摸到黄球，请你估计这个口袋中黑球的个数（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率可估计摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算这个口袋中黄球的数量进而可得黑球的数量．
【详解】解：摸到黄球的频率为，
故口袋中有黄球（个），
黑球有（个），
故选C
7．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
甲方案 乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离．
下列说法正确的是（ ）
A．甲的方案可行，乙的方案不可行
B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行
D．甲、乙的方案均不可行
7．C
【分析】此题考查了全等三角形的应用．甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离．
【详解】解：甲方案：在和中，
，
∴，
∴，
乙方案：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴甲、乙的方案均可行．
故选：C．
8．如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明．根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相关性质、平行线的性质进行逐一判断即可．
【详解】，，
点是边上的点，
，故②错误；
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，在以为直径的圆上，
，，故④正确；
，
，故①正确；
，
，
，故③正确．
故选C．
二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．当 时，分式有意义．
9．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式的有意义的条件为分母不等于零、二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．
根据分式和二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得：．
故答案为：．
10．分解因式： ．
10．
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
综合提公因式法与公式法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11．方程的解为 ．
11．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算，即可解答．本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【详解】解：∵，
去分母得：，
去括号得，
移项得，
解得：，
检验：当时，．
∴是原方程的根；
故答案为：．
12．已知点是一个反比例函数的图象和一个正比例函数图象的交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
12．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，理解反比例函数的图象是中心对称图形是解题的关键．
根据“反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称”求解即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∴由一个交点的坐标，可得另一个交点的坐标是．
故答案为：．
13．某中学为了解全校学生参加“交通法规”知识竞赛的成绩情况，随机抽取了一部分学生的成绩，并将这部分成绩分成四组（：，：，：，：）．根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图．
若该校共有学生1400人，则这次竞赛成绩在组的学生大约有 人．
13．
【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图等知识点，先由B组人数及其所占百分比得出被调查的总人数，再用总人数乘以样本中D组人数所占比例求解即可，熟练掌握两个统计图中数量之间的关系并能正确掌握频率公式是解决此题的关键．
【详解】解： ∵被调查的总人数为（人），
∴这次竞赛成绩在D组的学生大约有（人），
故答案为：．
14．如图，内接于，若，则的度数是 ．
14．/度
【分析】连接，先利用平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．
16．
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
16．甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出1000张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．学校共设有三个投票箱，目前第一、第二投票箱已经统计了所有选票，剩下第三投票箱尚未统计，结果如下表所示：
投票箱 候选人 废票 合计
甲 乙 丙
一 123 150 100 12 385
二 135 55 260 15 465
三
那么一定没有机会当选学生会主席的是 （填“甲”，“乙”或“丙”）．
16．乙
【分析】先算出甲、乙、丙已经得到选票数，再算出剩余选票数，进而即可求解．
【详解】解：甲已得选票：123+135=258，
乙已得选票：150+55=205，
丙已得选票：100+260=360，
剩余选票：1000-385-465=150，
∵205+150＜360，
∴一定没有机会当选学生会主席的是乙，
故答案是：乙．
三、解答题（共12小题，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分， 第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共68分）
17．计算：．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
18．解不等式组：
18．
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．
【详解】解：
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
19．先化简，再求值：，其中x2﹣4x﹣1=0．
19．，
【分析】先算分式的减法运算，再把除法化为乘法，进行约分化简，然后代入求值，即可求解．
【详解】原式=
=
=
=
=，
当x2﹣4x﹣1=0时，x2﹣4x=1，原式=．
20．如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，则的值为_______．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形；
（2）解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
21．为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
21．该市谷时电价元/度
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得，
，
解得：，经检验是原方程的解，
答：该市谷时电价元/度．
22．如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点，
(1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围．
22．(1)；点A的坐标为
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键．
（1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可．
（2）根据图象得到不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵
∴把点C的坐标代入，
解得，
∴一次函数表达式为，
当时，，
解得，
∵一次函数的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为．
（2）作如图：
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知，
当时，，
解得．
∴．
23．启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
平均数 中位数 众数
甲组 8 8
乙组 7.5 7.5
【数据应用】
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：_____，_____．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由．
(3)小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
23．(1)8；9；
(2)乙，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数等知识点，理解中位数、众数的意义成为解题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义即可解答；
（2）根据中位数的定义即可解答；
（3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答．
【详解】（1）解：甲组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是8、8，则甲组的中位数；
乙组学生成绩9分学生数最多，故乙组的众数．
故答案为：8，9．
（2）解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小刚的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生．
故答案为：乙．
（3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小西的观点比较片面．
24．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，取的中点，连接．若，，求的长．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线；
（2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，是的中点，则，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴为的切线．
（2）解：如图，连接，过作，垂足为．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，解得，
设的半径为，则．
解之得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵为中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
25．如图1，线段及一定点是线段上一动点，作直线，过点作于点，已知，设两点间的距离为，两点间的距离为，两点间的距离为．小明根据学习函数的经验，分别对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：
第一步：按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了、与的几组对应值．
0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7
0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78
0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41
第二步：在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象．
解决问题：
(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数的图象；
(2)结合函数图象，解决问题：当中有一个角为时，的长度约为______．
25．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查函数图象的画法，根据函数图象获取信息，直角三角形的性质；
（1）根据表格数据描点，再连线即可绘制函数图象；
（2）当中有一个角为时，或，画出直线，根据函数图象找到与函数图象交点即可．
【详解】（1）解：函数图象如下：
（2）解：当时，，即，由函数图象可得；
当时，，即，由函数图象可得；
综上所述，的长度约为或．
故答案为：或．
26．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）．
(1)若，求的值；
(2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围．
26．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握时，离对称轴越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案；
（1）由可得对称轴是直线，解得：；
（2）由，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案；
【详解】（1）解：由题意得，
，点，是抛物线上的两点，
对称轴是直线，
，
（2）抛物线，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点在抛物线上，且对于，
点在对称轴右侧，
点关于对称轴的对称点为，
当时，
，
，
当时，
，则，不符合题意；
综上所述，的取值范围是
27．已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接．
(1)如图1，补全图形，则______°；
(2)过点E作，交于点G，
①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系．
27．(1)120
(2)①；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键．
（1）先补全图形，可得为等边三角形，证明，再根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质求解；
（2）①连接，先证明为等边三角形，再证明，，则，故，再根据等腰三角形的三线合一求证；②先补全图形，证明同①即可．
【详解】（1）解：补全图形，如图，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（2）解：①，理由如下，
证明：连接
∵，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下，
证明：连接
∵，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
28．在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．
(1)如图1，已知点；
①点中是关于的“弦中点”的是_________；
②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值；
(2)如图2，，点C在线段上运动，若一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围．
28．(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①作直线，根据垂径定理可知，则可得点P在以为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可；②由①可知，点P在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与相切，过点D作垂直直线交于点F，先证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况求出的值，过点A作切线，过点B作切线，J、K、L、T分别为切点，当直线过切点时，求出m的值，得到每种情况的m的取值范围，综合两种情况即可得m的取值范围．
【详解】（1）解：①作直线，
∵P点是弦的中点，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的圆上，
∵，
∴点P在以为圆心，1为半径的圆上，
∵点在该圆上，
∴点是关于的“弦中点”，
故答案为：；
②由①可知，点P在以为圆心，1为半径的圆上，
设圆心，
∵直线上只存在一个关于的“弦中点”，
∴直线与相切，
过点D作垂直直线交于点F，
当直线与y轴交于正半轴时，
∵直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，
，
，
解得：或（舍去），
当直线与y轴交于负半轴时，
同理可得，
综上所述，b的值为或；
（2）解：过点A作切线，J、K分别为切点，连接，
则，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴, ,
∴，
代入得，
，解得，
，解得，
∴；
过点B作切线，L、T分别为切点，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
过L作轴于点V，交直线于点U，
设，
则， ，
∴四边形是矩形，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得，，
代入，
得，
解得；
过点T作轴于点R，交直线于点S，
同理，得；
∴．
综上，．
北京市2025年中考第一次数学模拟考试卷
（时间：100分钟 分值：100分）
一、单选题（共8小题，每题2分，共16分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．如图，下列4种标志中既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．中国科学家利用嫦娥六号采回的月壤样品，取得了重要研究成果．其中一项研究表明，月球背面岩浆活动在4200000000年前就已存在，为月球演化研究提供了关键科学证据．其中“4200000000年”用科学记数法表示为（ ）年
A． B． C． D．
3．如图，直线与相交于点O，射线于点O，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
6．一个口袋中有黄球和黑球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有120次摸到黄球，请你估计这个口袋中黑球的个数（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
7．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
甲方案 乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为A，B的距离．
下列说法正确的是（ ）
A．甲的方案可行，乙的方案不可行
B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行
D．甲、乙的方案均不可行
8．如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9．当 时，分式有意义．
10．分解因式： ．
11．方程的解为 ．
12．已知点是一个反比例函数的图象和一个正比例函数图象的交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ．
13．某中学为了解全校学生参加“交通法规”知识竞赛的成绩情况，随机抽取了一部分学生的成绩，并将这部分成绩分成四组（：，：，：，：）．根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图．
若该校共有学生1400人，则这次竞赛成绩在组的学生大约有 人．
14．如图，内接于，若，则的度数是 ．
15．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．
16．甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出1000张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．学校共设有三个投票箱，目前第一、第二投票箱已经统计了所有选票，剩下第三投票箱尚未统计，结果如下表所示：
投票箱 候选人 废票 合计
甲 乙 丙
一 123 150 100 12 385
二 135 55 260 15 465
三
那么一定没有机会当选学生会主席的是 （填“甲”，“乙”或“丙”）．
三、解答题（共12小题，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分， 第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共68分）
17．计算：．
18．解不等式组：
19．先化简，再求值：，其中x2﹣4x﹣1=0．
20．如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，则的值为_______．
21．为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
22．如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点，
(1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围．
23．启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
平均数 中位数 众数
甲组 8 8
乙组 7.5 7.5
【数据应用】
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：_____，_____．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由．
(3)小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
24．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，取的中点，连接．若，，求的长．=
25．如图1，线段及一定点是线段上一动点，作直线，过点作于点，已知，设两点间的距离为，两点间的距离为，两点间的距离为．小明根据学习函数的经验，分别对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：
第一步：按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了、与的几组对应值．
0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7
0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78
0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41
第二步：在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象．
解决问题：
(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数的图象；
(2)结合函数图象，解决问题：当中有一个角为时，的长度约为______．
26．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）．
(1)若，求的值；
(2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围．
27．已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接．
(1)如图1，补全图形，则______°；
(2)过点E作，交于点G，
①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系．
28．在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．
(1)如图1，已知点；
①点中是关于的“弦中点”的是_________；
②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值；
(2)如图2，，点C在线段上运动，若一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围．
