15.3平行四边形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若平行四边形的一边长是12cm，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．5cm和7cm B．20cm和30cm C．8cm和16cm D．6cm和10cm
2．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对边相等
3．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4．如图，，且，则（ ）
A．80° B．100° C．105° D．120°
5．如果 ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长是（ ）
A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=16，BD=24，AC=12，则△OBC周长为( )
A．26 B．34 C．40 D．52
7．如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和等边，F为的中点，连接，，．则以下结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．下列命题中,为假命题的是（ ）
A．等腰梯形的对角线相等
B．一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组邻角互补的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线互相平分
9．如图所示，在ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．16cm D．11cm
10．如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，，，则平行四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知，下列说法错误的是（ ）
A．与之间的距离是线段的长度
B．
C．线段的长度就是与两条平行线间的距离
D．
12．如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
13．如图，在中，M是对角线上一点，过点M分别作，分别交边于点E，F，交边于点G，H．则 （填“>”“＜”或“=”）．
14．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，则 的长是 。
15．已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，则∠C＝ .
16．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
17．如图，点A、E、B、D在同一条直线上，在△ABC和△DEF中，BC = EF，AC//DF，CB//FE．连接AF、DC．线段AF、DC的关系是 ．
三、解答题
18．如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于O，EF是过点O的任一直线交AD于点E，交BC于点F，猜想OE和OF的数量关系，并说明理由．
19．已知：如图，在 ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．
20．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，求线段的长度．
21．在中，BE平分交AD于点E．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且．求证：．
22．已知：如图,在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF.
求证：AD=DF.
23．如图，O是等边三角形内任意一点，，点D，E，F分别在，，上．求证：．
24．如图，为的对角线的交点，过点作直线分别交，于点，.
（1）求证：.
（2）若，，，求四边形的周长.
（3）若，直接写出的值为______.
《15.3平行四边形的性质与判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B A B C C B A
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=AC，OB=BD，然后利用三角形三边关系分析求解即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC，OB=BD，
A、∵AC=5cm，BD=7cm，
∴OA=2.5cm，OB=3.5cm，
∴OA+OB=6cm＜12cm，不能组成三角形，故错误；
B、∵AC=20cm，BD=30cm，
∴OA=10cm，OB=15cm，
∴能组成三角形，故正确；
C、∵AC=8cm，BD=16cm，
∴OA=4cm，OB=8cm，
∴OA+OB=12cm，不能组成三角形，故错误；
D、∵AC=6cm，BD=10cm，
∴OA=3cm，OB=5cm，
∴OA+OB=8cm＜12cm，不能组成三角形，故错误；
故选B．
考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质进行判断.
【详解】∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键.
3．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确，
平行四边形不是轴对称图形，故②错误，
平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确，
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设，作出如图的辅助线，证明是等边三角形，由，得到，据此求解即可．
【详解】解：作，，与交于点，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
5．A
【详解】解：如图所示：
∵ ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，
∴AB+BC=20cm，
∴AC=25﹣20=5（cm）．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确掌握平行四边形对边关系是解题的关键．
6．B
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=6，OB=OD=12，BC=AD=16，即可求出△OBC的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=6，OB=OD=12，BC=AD=16，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=6+12+16=34．
故选：B．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
7．C
【分析】由平行四边形的判定定理判断②正确，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①正确，然后由三角形三边关系判断③错误，即可得出结论．
【详解】解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，故②正确；
四边形为平行四边形，
，
又，
，故①正确；
和都是等边三角形，
，，，
，
，故③错误；
其中正确的有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、含直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
8．C
【详解】试题分析：利用直角梯形的性质、平行四边形的判定及性质逐一进行判断后即可得到正确的选项．
解：A、等腰梯形的对角线相等，正确，是真命题；
B、一组对边平行，一组对角相等，能得到另一组对角也相等，从而判断平行四边形，故正确，是真命题；
C、一组邻角互补，只能得到一组对边平行，故不能判定平行四边，故错误，是假命题；
D、平行四边形的对角线互相平分，正确，是真命题；
故选C．
点评：本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定及性质，难度不大，属于基础题，解题的关键是牢记有关的性质及判定方法．
9．B
【分析】由AC=3cm，△ABC的周长为8cm，可得AB+BC的值，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，即可求得结果．
【详解】解： ∵△ABC的周长=AB+BC+AC=8cm，AC=3cm，
∴AB+BC=5cm，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AB+CD+AD+BC=10cm，
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等．
10．A
【分析】设，先根据平行四边形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，从而可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得．
【详解】设，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
又，
，
解得，
即，
是等腰直角三角形，
，
，
平行四边形ABCD的面积是，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
11．C
【分析】本题考查平行线的判定与性质、平行线间的距离定义、平行四边形的判定与性质等知识，结合平行线的性质及平行线间的距离定义数形结合即可判断A、C选项对错；再由平行四边形的判定与性质即可判定B、D选项对错，从而确定答案，熟记平行线间的距离定义、平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴与之间的距离是线段的长度；该选项正确，不符合题意；
B、∵，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∴；该选项正确，不符合题意；
C、由图可知与和不垂直，线段的长度就是与两条平行线间的距离说法错误，符合题意；
D、∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；该选项正确，不符合题意；
故选：C．
12．B
【分析】证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题．
【详解】连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝×12＝3，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝3，
∴S阴＝3．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握同底等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，先证明则，同理可证明即可得到答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
同理可证，
∴
∴
即．
故答案为：
14．4cm
【分析】根据平行四边形的性质得到CD的长及，利用平分证得CE=BC，由此求出DE的长.
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴CD∥AB,CD=AB=7cm，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴ cm，
∴cm．
故答案为：4cm.
【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，角平分线的性质，利用等角对等边求出CE=CD是解题的关键.
15．45°
【详解】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
且
故答案为
点睛：平行四边形的对角相等，邻角互补.
16．（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后根据平行四边形的性质和分类讨论的方法，求出点C的坐标．
【详解】解：如图所示，作AM∥x轴，作BM⊥AM轴于点M，
∵A（﹣4，2），B（2，5），
∴AM=2﹣（﹣4）=6，
∵点C、D分别在x轴、y轴上，
∴当AB∥C1D1时，则OC1=AM，此时点C1的坐标为（﹣6，0）；
当AB∥C2D2时，则OC2=AM，此时点C2的坐标为（6，0）；
当AB为对角线时，设点C3的坐标为（c，0），则，得c=﹣2，此时点C3的坐标为（﹣2，0）；
故答案为：（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，画出相应的图形是解答本题的关键，注意考虑问题要全面，不要漏点．
17．平行且相等
【详解】试题分析：根据题意知：由AC∥DF，CB∥FE得∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,再由BC = EF，可证△ABC≌△DEF,从而得到AC=DF,可以得证四边形ACDF是平行四边形，从而判断出结果：平行且相等．
考点：三角形全等的判定，平行四边形的判定
18．结论：OE=OF．理由见解析.
【详解】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．
试题解析：结论：OE=OF．
理由∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
19．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质推出∠ADC+∠DAB=180°，根据角平分线得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出结论；
（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，得到平行四边形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根据平行四边形的性质和平行线的性质推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的长，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1）∵在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，
∵DF，AE分别是∠ADC，∠DAB的平分线，
∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，
∴∠ADF＋∠DAE＝（∠ADC＋∠DAB）＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AE⊥DF；
（2）如图，过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH，
∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10，
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA，
∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA，
∴DC＝FC，AB＝EB，
在 ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，
∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4，
∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，
∴FH＝FE＋EH＝12，
在Rt△FDH中，DF＝ .
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行证明是解此题的关键．
20．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和勾股定理，由平行四边形的性质得，根据勾股定理得，可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴．
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）作于O，由平行四边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，证出，得出，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，证明得出，再证明得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：作于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵BE平分，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
（2）证明：作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．见解析
【分析】首先过A作AG∥EF，分别交BE，BC于H，G两点，连结HF，再证明四边形AHFE为平行四边形，进而得出答案.
【详解】证明：过A作AG∥EF，分别交BE，BC于H，G两点，连结HF.
∵EF⊥BC，AG∥EF，
∴AG⊥BC.
∵AB=AF,
∴AG是△ABF的中垂线.
∴BH=FH，
∴∠HBC=∠HFB，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠HBC，
∴∠ECB=∠HFB，
∴HF∥AC，即AE∥HF，
又∵AH∥EF，
∴四边形AHFE为平行四边形，
∴AD=DF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质，得出∠ECB=∠HFB是解题关键．
23．证明见解析
【分析】如图所示，延长交于G，分别证明都是等边三角形，得到，则，再证明四边形是平行四边形，得到，即可证明．
【详解】证明：如图所示，延长交于G，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的性质，平行四边形的性质与判定，正确作出辅助线构造等边三角形和平行四边形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）12；（3）20.
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到CD∥AB，OC=OA由平行线的性质得到∠OAB=∠OCD，推出△OAF≌△OCE（ASA）．根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据△DEO≌△BFO得到OE=OF=1.5，BF=DE，于是得到EF=3，BF+CE=AB=5，即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到S ABCD=2S四边形CEFB=10×2=20．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，又，
．．
（2）同（1）可证△DEO≌△BFO（ASA）．
∴OE=OF=1.5，BF=DE，
∴EF=3，BF+CE=AB=5，
∴四边形EFBC的周长=3+5+4=12
（3）∵△DEO≌△BFO，
∴S四边形CEFB=S△BCD，
∴S ABCD=2S四边形CEFB=10×2=20，
故答案为20．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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