2024年广西桂林市中考一模考试数学试题
1．（2024九下·桂林模拟）的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2024，
故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2024九下·桂林模拟）下列交通标志图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．（2024九下·桂林模拟）“品桂林经典，享激情桂马”，2024年3月17日上午8时，2024桂林马拉松赛在桂林市中心广场鸣枪开跑，30000名选手全力以赴，共享桂林山水.将数据30000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法.
4．（2024九下·桂林模拟）下列单项式中，能够与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
B、与是同类项，能合并，故本选项符合题意；
C、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
D、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同类项定义，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024九下·桂林模拟） 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：直角三角形的一个锐角是，
它的另一个锐角是，
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出结果.
6．（2024九下·桂林模拟）为了解某县七年级8000多名学生的心理健康情况，心理老师从中抽取了500名学生的评估报告进行统计分析，下列说法不正确的是（ ）
A．样本容量是500
B．样本是500名学生的心理健康情况
C．个体是一个学生的心理健康情况
D．总体是8000多名学生
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵为了解某县七年级8000多名学生的心理健康情况，
∴总体是8000多名学生的心理健康情况，
∴D选项不正确，
故答案为：D．
【分析】根据数据统计中样本容量定义，样本定义，总体定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024九下·桂林模拟）如图，直线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
8．（2024九下·桂林模拟）已知在中，，，，则等于（ ）
A．6 B．16 C．12 D．4
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图所示：
∵，，
∴
故答案为：B
【分析】结合题意根据锐角三角函数的定义即可求解。
9．（2024九下·桂林模拟）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商6月至8月份统计，该品牌新能源汽车6月份销售120辆，8月份销售144辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，由题意得：
，
故答案为：A．
【分析】设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据6月份的销售量（增长率）2=8月份的销售量，列出方程即可．
10．（2024九下·桂林模拟）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．实验中没有两组角相等，此说法不成立；本选项不合题意；
B．由图可知，有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形有可能全等；本选项不合题意；
C．由实验无法得出此结论，本选项不合题意；
D．由实验可得出此结论，本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
11．（2024九下·桂林模拟）如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为8，则的值为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过作于，如图：
∵，
∴，
设点的坐标为，
则，，
∵的面积为8，
∴，
∵在反比例函数上，
∴，
即，
故答案为：C．
【分析】过作于，根据等腰三角形的性质可得，设点的坐标为，则，，再根据三角形面积可得，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
12．（2024九下·桂林模拟）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等的不动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数（为常数）有两个不相等的不动点，
∴二次函数与函数有两个交点
∴有两个不相等的实数根
∴
∴
解得．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到二次函数与函数有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
13．（2024九下·桂林模拟）点A（2，-3）在第 象限.
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点A（2，-3）在第四象限.
故答案为：四.
【分析】根据各象限内点的坐标符号特征：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），即可判断得出答案.
14．（2024九下·桂林模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
15．（2024九下·桂林模拟）如图是某地球仪的主视图，、、分别是赤道平面、地轴、黄道平面，我们知道地球仪的地球是倾斜的，地球仪的地球姿态是公转时的姿态，地球公转时，地轴并不是垂直于黄道平面（地球公转轨道平面），所以地球是斜着身子进行公转的，就产生了黄赤交角，其度数为，地球仪上地轴的倾斜角度与黄赤交角是互余的，所以地球仪上地轴的倾斜角等于 ．
【答案】
【知识点】余角
16．（2024九下·桂林模拟）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为袋中装有2个红球和3个黄球，一共是5个球，
所以从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
17．（2024九下·桂林模拟）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据等边三角形性质，角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据等角对等边即可求出答案.
18．（2024九下·桂林模拟）如图，点是以为直径的半圆的圆心，是半圆上的一动点，以为对角线作菱形，且，经过、的直线分别与半圆交于、点，交于点．已知，则的长为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
四边形是菱形，，
，，是等边三角形，则
∵
∴，则
∵，
，，，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质得到是等边三角形，则，，由垂径定理得到，再根据勾股定理即可求出答案.
19．（2024九下·桂林模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；求算术平方根
【解析】【分析】先将算术平方根和0次幂化简，再进行计算即可．
20．（2024九下·桂林模拟）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：，
，
，
，
把其解集在数轴上表示，如图所示：
．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据题意先移项，再合并同类项，未知数系数化为1，即可求出答案.
21．（2024九下·桂林模拟）如图，在中，，，点在边上，且．
（1）求的度数；
（2）尺规作图：作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）在（2）的条件下，求证：．
【答案】（1）解：，，
；
（2）解：如图所示，射线、线段为所求；
（3）证明：由（2）可知平分，
，
在和中
，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（3）由角平分线的定义得到，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，则，即可求出答案.
22．（2024九下·桂林模拟）某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为分（为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：，B等级：，C等级：，D等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 频数（人数）
A
B 16
C
D 4
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的__________，__________，__________；
（2）这组数据的中位数所在的等级是__________；
（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
【答案】（1）8，12，30
（2）B
（3）解：（人），
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生约有400人．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数：（人），
等级A的人数为：（人），
等级C的人数为：（人），
等级C的频率为：，
∴，
故答案为：8，12，30；
（2）解：由（1）可知，本次调查共抽取了40人，
A等级有8人，B等级有16人，
中位数是第20、21个数的平均数，则这组数据的中位数所在的等级是B；
故答案为：B；
【分析】（1）由B等级的人数除以它的频率即可求出总人数，用总人数乘以A等级的频率即可求出a的值，求得C等级的人数即可得到m的值；
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据用样本估计总体的方法进行计算即可．
23．（2024九下·桂林模拟）为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元．
（1），两种型号节能灯的单价分别是多少元？
（2）若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元；
（2）解：设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，
，即，
∵、均为正整数，
或，
共有两种购买方案，分别是：方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯2盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏；
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，根据购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，根据恰好用了50列出方程，解方程即可求出答案.
24．（2024九下·桂林模拟）联想与思考
【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1，在锐角中，、、的对边分别是、、，设的内切圆半径为，的面积为，则．小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角形的面积与它的外接圆半径有怎样的关系呢？
【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：
（1）如图2，设锐角的外接圆半径为，同学们得出猜想：．
在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程：
连接并延长交于点，连接 ______，______. ______
（2）请你根据上述启发，结合图3，证明：．
【解决问题】
（3）结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积与它的外接圆半径之间的关系（用含有、、和的式子表示），并说明理由．
【答案】解：（1）连接并延长交于点，连接，
，.
故答案为：，，；
（2）证明：过作于
在中，
∴
（3），理由如下：
由（1）、（2）可知，，
把代入得到，
，
即．
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，根据正弦的定义得到，即可求出答案.
（2）过作于，根据正弦的定义得到，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）根据（1）、（2）可知，，即可求出答案.
25．（2024九下·桂林模拟）综合与实践
【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题．
例如：求式子的最小值．
解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4
【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析．
（1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值；
（2）当篱笆总长为时，
①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围）
【答案】（1）解：当为时，，
∴，即：
解得，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
（2）解：①当为时，
∴，
又∵，解得，
∴；
②
，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）结合材料，，
∴，
当时，有最小值为，解得（负值舍去），
∴点P的坐标为
又∵且，解得
综上，当时，随的增大而减小．
【分析】（1）由题意可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①根据面积公式列出函数解析式，根据实际意义列出不等式组，即可求出答案.
②根据二次函数的性质即可求出答案.
（3）结合材料可得，当时，有最小值为，解得（负值舍去），则点P的坐标为，建立不等式可得，即可求出答案.
26．（2024九下·桂林模拟）探究与推理
如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒；
（1）用含有的式子表示．
（2）当为何值时，点恰好落在线段上；
（3）如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由．
【答案】（1）解：依题可知，由折叠可知
在矩形中，，，
，
又，
，
．
（2）解：由折叠可知垂直平分，
，
，
点恰好落在线段上，
，
，
；
（3）解：当或时，与矩形的边相切，理由如下：
连接，
依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为，
，
在矩形中，，
又，，，
，
，，
①当与边相切于时，如图①所示，
连接，
又，
、、三点共线
过作于
四边形为矩形，
解得；
②当与边相切于时，如图②所示
连接，并延长交于，
，，
四边形为矩形，
，
又，，
四边形为矩形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）依题可知，由折叠可知，根据勾股定理可得AC=10，再根据正弦定义可得，由直线平行性质可得，则，即可求出答案.
（2）由折叠可知垂直平分，则，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）连接，依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为，根据直线平行判定定理可得，再根据矩形性质可得，则，，分情况讨论：①当与边相切于时，连接，由题意可得、、三点共线，过作于，则四边形为矩形，由矩形性质可得，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；②当与边相切于时，连接，并延长交于，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，由正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
2024年广西桂林市中考一模考试数学试题
1．（2024九下·桂林模拟）的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．（2024九下·桂林模拟）下列交通标志图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·桂林模拟）“品桂林经典，享激情桂马”，2024年3月17日上午8时，2024桂林马拉松赛在桂林市中心广场鸣枪开跑，30000名选手全力以赴，共享桂林山水.将数据30000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·桂林模拟）下列单项式中，能够与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·桂林模拟） 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ）
A． B． C． D．或
6．（2024九下·桂林模拟）为了解某县七年级8000多名学生的心理健康情况，心理老师从中抽取了500名学生的评估报告进行统计分析，下列说法不正确的是（ ）
A．样本容量是500
B．样本是500名学生的心理健康情况
C．个体是一个学生的心理健康情况
D．总体是8000多名学生
7．（2024九下·桂林模拟）如图，直线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·桂林模拟）已知在中，，，，则等于（ ）
A．6 B．16 C．12 D．4
9．（2024九下·桂林模拟）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商6月至8月份统计，该品牌新能源汽车6月份销售120辆，8月份销售144辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·桂林模拟）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（ ）
A．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等
B．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
11．（2024九下·桂林模拟）如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为8，则的值为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
12．（2024九下·桂林模拟）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等的不动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024九下·桂林模拟）点A（2，-3）在第 象限.
14．（2024九下·桂林模拟）因式分解： ．
15．（2024九下·桂林模拟）如图是某地球仪的主视图，、、分别是赤道平面、地轴、黄道平面，我们知道地球仪的地球是倾斜的，地球仪的地球姿态是公转时的姿态，地球公转时，地轴并不是垂直于黄道平面（地球公转轨道平面），所以地球是斜着身子进行公转的，就产生了黄赤交角，其度数为，地球仪上地轴的倾斜角度与黄赤交角是互余的，所以地球仪上地轴的倾斜角等于 ．
16．（2024九下·桂林模拟）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 ．
17．（2024九下·桂林模拟）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ．
18．（2024九下·桂林模拟）如图，点是以为直径的半圆的圆心，是半圆上的一动点，以为对角线作菱形，且，经过、的直线分别与半圆交于、点，交于点．已知，则的长为 ．
19．（2024九下·桂林模拟）计算：．
20．（2024九下·桂林模拟）解不等式：，并把解集表示在数轴上．
21．（2024九下·桂林模拟）如图，在中，，，点在边上，且．
（1）求的度数；
（2）尺规作图：作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）在（2）的条件下，求证：．
22．（2024九下·桂林模拟）某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为分（为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：，B等级：，C等级：，D等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 频数（人数）
A
B 16
C
D 4
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的__________，__________，__________；
（2）这组数据的中位数所在的等级是__________；
（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
23．（2024九下·桂林模拟）为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元．
（1），两种型号节能灯的单价分别是多少元？
（2）若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
24．（2024九下·桂林模拟）联想与思考
【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1，在锐角中，、、的对边分别是、、，设的内切圆半径为，的面积为，则．小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角形的面积与它的外接圆半径有怎样的关系呢？
【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：
（1）如图2，设锐角的外接圆半径为，同学们得出猜想：．
在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程：
连接并延长交于点，连接 ______，______. ______
（2）请你根据上述启发，结合图3，证明：．
【解决问题】
（3）结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积与它的外接圆半径之间的关系（用含有、、和的式子表示），并说明理由．
25．（2024九下·桂林模拟）综合与实践
【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题．
例如：求式子的最小值．
解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4
【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析．
（1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值；
（2）当篱笆总长为时，
①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围）
26．（2024九下·桂林模拟）探究与推理
如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒；
（1）用含有的式子表示．
（2）当为何值时，点恰好落在线段上；
（3）如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2024，
故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法.
4．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
B、与是同类项，能合并，故本选项符合题意；
C、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
D、与不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同类项定义，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：直角三角形的一个锐角是，
它的另一个锐角是，
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出结果.
6．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵为了解某县七年级8000多名学生的心理健康情况，
∴总体是8000多名学生的心理健康情况，
∴D选项不正确，
故答案为：D．
【分析】根据数据统计中样本容量定义，样本定义，总体定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图所示：
∵，，
∴
故答案为：B
【分析】结合题意根据锐角三角函数的定义即可求解。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，由题意得：
，
故答案为：A．
【分析】设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据6月份的销售量（增长率）2=8月份的销售量，列出方程即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．实验中没有两组角相等，此说法不成立；本选项不合题意；
B．由图可知，有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形有可能全等；本选项不合题意；
C．由实验无法得出此结论，本选项不合题意；
D．由实验可得出此结论，本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过作于，如图：
∵，
∴，
设点的坐标为，
则，，
∵的面积为8，
∴，
∵在反比例函数上，
∴，
即，
故答案为：C．
【分析】过作于，根据等腰三角形的性质可得，设点的坐标为，则，，再根据三角形面积可得，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数（为常数）有两个不相等的不动点，
∴二次函数与函数有两个交点
∴有两个不相等的实数根
∴
∴
解得．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到二次函数与函数有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
13．【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点A（2，-3）在第四象限.
故答案为：四.
【分析】根据各象限内点的坐标符号特征：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），即可判断得出答案.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
15．【答案】
【知识点】余角
16．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为袋中装有2个红球和3个黄球，一共是5个球，
所以从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据等边三角形性质，角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据等角对等边即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】菱形的性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
四边形是菱形，，
，，是等边三角形，则
∵
∴，则
∵，
，，，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，由菱形的性质得到是等边三角形，则，，由垂径定理得到，再根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；求算术平方根
【解析】【分析】先将算术平方根和0次幂化简，再进行计算即可．
20．【答案】解：，
，
，
，
把其解集在数轴上表示，如图所示：
．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据题意先移项，再合并同类项，未知数系数化为1，即可求出答案.
21．【答案】（1）解：，，
；
（2）解：如图所示，射线、线段为所求；
（3）证明：由（2）可知平分，
，
在和中
，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（3）由角平分线的定义得到，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，则，即可求出答案.
22．【答案】（1）8，12，30
（2）B
（3）解：（人），
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生约有400人．
【知识点】统计表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数：（人），
等级A的人数为：（人），
等级C的人数为：（人），
等级C的频率为：，
∴，
故答案为：8，12，30；
（2）解：由（1）可知，本次调查共抽取了40人，
A等级有8人，B等级有16人，
中位数是第20、21个数的平均数，则这组数据的中位数所在的等级是B；
故答案为：B；
【分析】（1）由B等级的人数除以它的频率即可求出总人数，用总人数乘以A等级的频率即可求出a的值，求得C等级的人数即可得到m的值；
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据用样本估计总体的方法进行计算即可．
23．【答案】（1）解：设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：种型号节能灯的单价为20元，种型号节能灯的单价为10元；
（2）解：设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，
，即，
∵、均为正整数，
或，
共有两种购买方案，分别是：方案①：购买种型号节能灯1盏，种型号节能灯2盏；方案②：购买种型号节能灯2盏，种型号节能灯1盏；
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设种型号节能灯的单价为元，种型号节能灯的单价为元，根据购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买种型号节能灯盏，种型号节能灯盏，根据恰好用了50列出方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】解：（1）连接并延长交于点，连接，
，.
故答案为：，，；
（2）证明：过作于
在中，
∴
（3），理由如下：
由（1）、（2）可知，，
把代入得到，
，
即．
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，根据正弦的定义得到，即可求出答案.
（2）过作于，根据正弦的定义得到，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）根据（1）、（2）可知，，即可求出答案.
25．【答案】（1）解：当为时，，
∴，即：
解得，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
（2）解：①当为时，
∴，
又∵，解得，
∴；
②
，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）结合材料，，
∴，
当时，有最小值为，解得（负值舍去），
∴点P的坐标为
又∵且，解得
综上，当时，随的增大而减小．
【分析】（1）由题意可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①根据面积公式列出函数解析式，根据实际意义列出不等式组，即可求出答案.
②根据二次函数的性质即可求出答案.
（3）结合材料可得，当时，有最小值为，解得（负值舍去），则点P的坐标为，建立不等式可得，即可求出答案.
26．【答案】（1）解：依题可知，由折叠可知
在矩形中，，，
，
又，
，
．
（2）解：由折叠可知垂直平分，
，
，
点恰好落在线段上，
，
，
；
（3）解：当或时，与矩形的边相切，理由如下：
连接，
依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为，
，
在矩形中，，
又，，，
，
，，
①当与边相切于时，如图①所示，
连接，
又，
、、三点共线
过作于
四边形为矩形，
解得；
②当与边相切于时，如图②所示
连接，并延长交于，
，，
四边形为矩形，
，
又，，
四边形为矩形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）依题可知，由折叠可知，根据勾股定理可得AC=10，再根据正弦定义可得，由直线平行性质可得，则，即可求出答案.
（2）由折叠可知垂直平分，则，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）连接，依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为，根据直线平行判定定理可得，再根据矩形性质可得，则，，分情况讨论：①当与边相切于时，连接，由题意可得、、三点共线，过作于，则四边形为矩形，由矩形性质可得，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案；②当与边相切于时，连接，并延长交于，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，由正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
