试卷类型：A
潍坊市高考模拟考试
数 学
2025.3
注意事项：
1 .答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的推考证号、姓名。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将
答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3 .考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一■单项选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1 .在复平面内，复故z=当对应的点的坐标为
A.(-2,l) B. (2,-1) C. (-2,i) D.(2,-i)
rx1 +xtx
le*+ln(x + l),x^0,
A.0 B.1 C.2 D.3
3 .已知等差数列值］的前兄项和为S.，若，=2,03 +% =24,则& =
A. 12 B.14 C.42 D.84
4,若双曲线"刍-专=1 (a >0 ,b >0)的焦距是其实轴长的2倍冽 的渐近线方程为
a 6
A.y = /^x B./= ± /3x C.y= D.y = ±j5x
5.巳知四>0且。al,d与夕成正比例关系，其图象如图所示， , /
且，=1"产+ 1,则。=
A.1 B.2 \/\
C.3 D,4 / 1--------1
6 若一组样本数据.，巧，巧,物的平均数为2,方差为4,则数据.，巧,巧，应，朋+2,
% +2,2*3 +2,2%4 +2的平均数和方差分别为
A.4,14 B.4,6 C.3,14 D,3,6
高三数学试题第1页(共4页)
7.某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛.歌嚷采取3局2胜制，假设每局比
赛中甲获胜的概率均为等，且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下，甲第一
局获胜的概率是
A.4- B.-j- C.-1- D.告
4 4 3 3
8.巳知函数/W = lsin( +-^-)l + 1面(%- ) I倒图象的对称轴方濯为
o n
A. *=萼+有kwZ B, 尊+*,kwZ
C. *=殍-塞,kwZ D. 4=殍-雪,*wZ
4 o 4 12
二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得。分。
9.巳知点 P(2,2)，圆 C：/ +/ =18,则
A.点P在C内
B 点P与C上的点之间的最大距离为时
c.以点p为中点的弦所在直裁的方程为 +r -4=o
d.过点p的直线被c截得弦长的最小值为yio
10.巳知圆台的高为2,其母线与底面所成的角为.，下底面半径是上底面半径的2倍，则
上该圆台的上底面半径为2
B.该圆台的体积为等
c.该圆台外S朦(圆台的上、下底面的圆周均在球面上)的表面积为争
D.用平面截该圆台，若所截图形为椭圆，则椭圆离心率取值范围为(0,亨］
u.设函数/⑺=争片,数列川满足航吟则
人巧BJU.) 5 为定值
C.数列I24为等比数列 D % < 1 +S
4 - I 5
高三数学试题第2页(共4页)
三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分。
12 .写出一个同时具有下列性质①②的函数式切=________________,
0(，用)=/<*1)+/U)；额切在(0, + 8 )上是增函数.
13 .巳知集合4=|0,l,a+2|,B=|l,a2| ^AUB =4,则实数a =_____________ ,
14________________________________________________________________________ .巳知同一平面内的单位向量生,。2，。3 则3一电)*。3的最小值是__________________ ；
若% + / 与。3 不共线，IO + 与 + 的 =1 声，,zeR,玲 +ye2 +ze3 =0,x +y +z=2025,
则—一+=一+，-= ,
x+y +z y+z -----------------------
四■解答题:本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 . (13 分)
如图,四棱台ABCD -4为G5中，上、下底面分别为边长1,2的正方形，
平面 ABCD9DtD = 1 ,ABt = CBt. Di c>
(D证明也A 〃平面ABxCx
(2)求直线DBt与平面ABXC所成角的正切值.
A - B
16 . (15 分)
在△XBC中，角4,B,C所对的边分别为明6,c,已知acoaC + b =0,6 =条
(1)求 cosC；
(2)若△的，的面积为上。是BC上的点，且乙3 =第求CD的长.
17 . (15 分)
巳知函数*-(*+2)”-ln2,*wIL
X
(1)当4>2时,求函数A%)的单调递增区间5
(2)当k=2时，求/(切>0的解集；
(3)若函数/〃)图象上有三个点48,C,并且从左到右横坐标成等裁数列，判断曲线
大,)在点B处的切线斜率与A,C两点连线斜率的大小关系.
高三数学试题第3页(共4页)
18 .(17分)
已知抛物线E的顶点为坐标原点0,焦点为(1,0)，过点”(2,0)的直线与E交于4,
B两点，过点8作y轴的垂线与直线OA相交于点P.
(1)求E的方程；
(2)证明:点P在定直线！上；
(3)延长B0交⑵中的直线I于点Q,求四边形ABPQ面积S的最小值
19 . (17 分)
n维空间中点的坐标可以表示为(巧,巧,一，…，能)，其中句(，= 1,2,3,…亦)为该点
的第i个坐标定义R维空间中任意两点过的，小4，…工),风力，力，力，…")之间的
平均离差二乘距离d(4B) =' (々-力7 设「维空间点集M= I (一用声i, ，4)I
芍=0或1,其中i = l,2,3,…#] (ng2)
⑴若「=3,A,B w机且点4(0,1,0) ,dQ4,b)=卷写出所有的点B的坐标；
(2)任取n维空间中的不同两点P,QgM.
⑴若”4,求d(P,Q)』的概毫
(9 )记随机变量X=d(P,Q)，求 (*)的取值范围.
高三数学试题第4页(共4页)
高三数学参考答案及评分标准
2025. 3
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1 -4 ABCB 5 -8 BADC
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9. AC 10. BCD 11. ACD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.1皿（答案不唯一） 13.0或2 14.-2 2
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15.解:⑴证明:连结3。交于4c点0,连结。与㈤2，则。为4C/O的中点，…1分
易知平面45CZ）〃平面CR ,
又平面48CDG平面BDDiBi =3。,平面481G01G平面8。。向=BR,
所以80〃与，，........................................................ 2分
又名，=予眇= 00,所以四边形映为0为平行四边形，故为0. .......... 5分
又平面45iC,05iU平面4&C,所以。，〃平面.............. 6分
（2）由（1）知QO〃与0,所以当0JL平面48C。，
因为8DU平面4BCD,所以从0JL8Z）,................................................................... 8分
又 BOJ_4C,且为oruc = o,
所以3。_L平面4当C,所以乙0为直线。巴与平面力与C所成的角. ..... 10分
又0D =a,0B、=D、D = \,山东小北高考防复制水印
所以lan乙DB[0 =党-=也,...............................................................................12分
（Jo I
所以直线0乡与平面4与C所成角的正切值为、笈 ........................ 13分
2 / 2 _ 2
16.解：（[）由 acosC + 6 = 0,彳导 q - 2ab—— + 6 = 0,即 / + 362 -c1 =0,.................. 2 分
又b 二号,
所以a ...................................................................................................... 4分
所以cosC =--=-乌. ...................................................................................... 6分
a 5
（2） sinC = - cos2 C = 2g, ............................................................................... 7 分
S 1 , . P 1 、.历后 2 6 1 2
Saabc =yaosinC = ----- -c —c - -y- = yc .
由已知△4BC的面积为:，可得Be =},
4 O H-
高三数学答案第1页（共4页）
所以 c =、② b =I =-y. ...................................................................................... 10 分乙
又乙ADB=哼3 TT4 ■
=乙C +乙DAC,
所以 sin Z.ZZ4C = sin(^^ - C) = *cosC + gsinC =..................................... 12 分
乙 乙 ，u
在△4C0中，由正弦定理得一^7 二 —4^/, ............................................ 13分
sinzLZ/XG sinZ^ADC
1 、河 一
则 CD = A。*卷'=Z 10 二幕................................... 15 分
sin Z.ADC 、厄 10
~2
17.解：(1)由题意知/(%)的定义域为(0, + 8 ),........................................................ 1分
则/(%) =2痴 _(,+2) +J_ = 2. -(心+2)% + 1 =("-132二0, ............... 3 分
% % 0C
1 1
因为j2,所以卷<左,令,⑴>0,
K 乙
彳寻0 .............................................................................................. 4分
k 2
所以/(%)的单调递增区间是+8). ................................................ 5分
K 2
(2)当左=2 时/(%) X ..................................... 6 分
所以/(%)在(0,+8)上单调递增，且/(2)=0, .................................................... 7分
所以/(%)〉0的解集为(2,+8). ....................................................................... 8分
(3)由题意不妨设4(化i ,yj ,C(x2，夕2) ,8(他,”)，且与＜x2,
贝lj kAC， =—.Vj— — —x2 =x—t —- x2 [小(若' 一%：) - ( A; +2) (%~ l - x2) + In町 ~- lnx2 ] =k(x~ ] +的)一(k
In%1-lnx2
+ 2) + xx - x2 ........................................................................... 9分
1 2
/(%o) = 2辰0 - (Z； + 2) + —“0 =从阳 +%2)- (4+2) +3--]--+---- , ........ 10分
所以左二21一/(与)=ln.%1_-h^__A_山东小北高考防复制水印
Xt -x2 Xj -x2 xx +x2
9/ _ x 2(」-])
= 1 「L (/】_'4.1 - 1 i一nx. 2\) -2 ( ~— "2 ) 1 % - %2 由 X| + %<> J =
1 (/ j Xj In
”1 x2 \
-Xq %2 - Xj ),
~ ~ ~ --- + 1
x2
令" : e (0,1) ,g(0 =ln/ _2(；1),g/a)=十一 4 衣二，":12〉0，
牝 2 + 1 % (4 + 1) (+1)
.........................................................................................................................12分
所以g(，)在(0,1)上是增函数，......................................... 13分
所以gQ) ＜g(l) =0,又因为「一＜0,故宜二经＞/(出). ................ 14分
Xj 一42 町一 42
综上知，曲线/(%)在点6处的切线斜率小于4,C两点连线斜率.............15分
高三数学答案第2页(共4页)
18.解：(1)由题意设抛物线的标准方程为r =2px(p>o),
因为抛物线的焦点为(1,0),
所以p=2,
3
所以/ =4%........................................................................................ 分
(22)由题意可设直线AB的方程为% = my +2,与/ =4%联立，整理得:
y -4my -8=0,
A = 167n2 + 32 > 0,
设4(町，力)，3(42,”)，
6
贝 IJ% +% = -8,..................................................................... 分
直线OA的方程为y = &,令夕=外,
xi
则④二侬2.，又力”=-8且yj =4盯,
J\
为2
所以 ” -=^7^= -2, ................................................................ 8
力 4 _ 分
所以点P的横坐标为-2,山东小北高考防复制水印
9
所以点P在定直线4 = -2上.................................. 分
(3)直线。8的方程为y=N,令力-2,
x2
一2y2
贝 Ij y = ,因为* =4/2且夕I 力=一 8,
42
二y =—- 2
JO
所以 —% = - 8 =/i,.............................................................................. 分
72 %
T
所以Q点坐标为(-2,%),因为火阳，力)，
所以4Q与4二-2垂直，
1
所以四边形43PQ为直角梯形，..................................... 1分
因为 18Pli +2/4QI =42 +2,1 尸QI = I力-力1 ,
所以 S =;x (孙 +x2 +4) x 1% -% ，
2 2
因为町 +x2 =学 + 字=了［ (% +力尸 一2%夕2〕=了(16/ +16) =4m2 +4, 3分
1/2 -/i = /(-2 +%)2 -4%夕2
=\/16/n2 +32
4
=4 \/m2 + 2 ,.................................................................................. 分
所以 S = ~~x (4m2 +8) x4 \/rn2 + 2
1 5
=8(m2 +2)2 ,.................................................................................. 1 分
6
该函数为偶函数且在［0, +8) 1上单调递增，.......................... 1 分
1 7
所以m =0时,S取最小值为16、2 ........................................................... 1 分
高三数学答案第3页(共4页)
19.解：（1）因为点4的坐标为（0,1,0）,并且〃 （4,8） = 2 ,
所以点8的坐标中有且只有一个坐标与4的坐标对应相等，
3
所以点8的坐标可能为（0,0,1）,（ 1,1,1）,（1,0,0）. ................................ 分
（2） （ i ）（固定点 P）：设点 P（Pi ,p2 p3 卬4）,Q（（h ,（h，%，％），
1 4 I
因为了 2 （Pi -/）2 二了 [（Pl -/）~ + （p2 -。2）~ +（P3 -%）2 +（P4 -4
】 分
因为Pi =0或1，%=0或1,
所以（P「％）2，（P2-%）2,（P3 -夕3）2，"4-%）2中有两项等于0 ,两项等于1
6
分
7
所以满足条件的所有可能情况有C； =6种，...... 分
8
因为两不同点P,Q所有可能情况共有24 - 1 = 15种, 分
9
所以d（P,Q）=2的概率............ 分
O
（ii）设随机变量X=”（P,O）其中1,2,3,…，几, 分
因为口x=》=W， 1<分
n 1 Ck
所以 (X ) = Z I/ "_])( C + 2 C： + 32C^ + …+，C：), 12
rl 2 -1 分
因为(1 +%)” = C + C\x + C2nx2 + C>3 +…+ Cnxn,山东小北高考防复制水印
两边同时求导，毒
3
n{1 + x)n_1 = C： +2C：夕 +3C：久2 + + riC'nx~x, ......................................... 分
上式两边同乘町求导得
以 1 + ,忒)(]+ 4 ) “ - 2 = C： + 22 cl + 32 C：%2 + …+九2 c：/I ,......................... 14分
令a x - 1得 5
+ 220；+32^ + …+ n2c = n( ti + 1)2” -2, 分
所以以X）= 川几 +1 )2""
r _ 9 (几 + I"— _ (2 + 1)21 "+ —n
16
zr(2n -1) 分,“2”一1） 一 4几（2"_1）一4（1_：）'
(几+2)2"-1 _ (H
内力(几 + 1)(2"| -1) n(2n -1)
-2-2(2,, + 1 +n2+2n-l)
所以MX )单调递减，
因为心2,
1 1 17
所以 (『) (不,彳]. ......... 1 分
高三数学答案第4页（共4页）
