2025年九年级数学中考三轮冲刺练习一次函数线段和差及周长最值问题
1．如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）求k、b和m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C（2，0）．
（1）求直线AB和AC的表达式．
（2）点P是y轴上一点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．
（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．
3．如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与x轴交于点B（4，0），直线l1与l2交于点C（2，n）．
（1）求点C的坐标及直线l2的函数表达式；
（2）若点D是线段BC上一个动点，点D的横坐标是m，△ADB的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式；
（3）在y轴上是否存在点P，使得PB+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线l1：y＝﹣3x+3与坐标轴交于A、B两点，与过点C（4，0）的直线l2交于点D，且AD＝AB．
（1）求点D的坐标及直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积：
（3）在y轴上是否存在一点P，使|PC﹣PD|最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出|PC﹣PD|的最大值；若不存在，请说明理由．
5．如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．
（1）求B'点的坐标；
（2）求折痕CM所在直线的表达式；
（3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．
6．如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．
（1）点M的坐标为 ；
（2）y轴上有一动点Q，连接QM，QA，求△QMA周长的最小值及此时点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△QMA的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线l⊥x轴，交直线MQ于点G，交直线AB于点H，若GH的长为3，求点F的坐标．
7．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，1），直线l2：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线l1与l2交于点E（2，m）．
（1）求m的值和直线l1的表达式；
（2）点G是x轴上的一个动点，连接GB，GE，求GB+GE的最小值和此时点G的坐标；
（3）在直线CD上是否存在一点P，使得△BEP的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点．
（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图1，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出CE+EF的最小值．
（3）如图2，已知点D（0，﹣2），在x轴上是否存在点P，使得∠PDO＝2∠PBO，若存在，请直接写出点P的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x向下平移1个单位后的直线l1与直线l2：y＝mx+7相交于点A（2，n）．
（1）求直线l2的表达式；
（2）点B（1，a）在直线l2上，若点C为y轴上一点，求△ABC的周长的最小值；
（3）在（2）的条件下，若在直线l1上有一个动点M，使得△ABM的面积是△ABC的面积的5倍，求出M点的坐标．
10．直线l：y＝x+a（a＞0）分别交x、y轴于A、B两点，且点C坐标为（a，0）．点D、点E分别是线段AC、AB上的动点，CE与BD交于点P．
（1）如图1，若CE交y轴于点G，BE＝BG，CB＝CD，求∠BPC的大小；
（2）如图2，若AE+ADAB，BD+CE的最小值是5，求直线l的表达式；
（3）如图3，当a＝6时，点D是CO中点，CE与BD的夹角是45°，求点E的坐标．
11．如图，直线yx+15与x轴，y轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的点．
（1）若BD＝5．
①求AD的长．
②若△ODE是等腰三角形，求点E的坐标．
（2）连结BE，若BD＝AE，当OD+BE最小时，求点E的坐标．
12．如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
（1）求出直线l2的函数表达式；
（2）在y轴上有一点P，使得BP+CP最小，求点P的坐标；
（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，满足∠ACF＝2∠CAO，请求出点F的坐标，判断△BCF的形状并说明理由．
13．在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x+4交于A（1，3），直线l1交y轴于点C（0，1），直线l2分别交x轴、y轴于点B，D．
（1）分别写出直线l1和l2的表达式为 ， ；（直接写答案）
（2）点C到直线AB的距离为 ；（直接写答案）
（3）点P为直线l2上一动点，若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；
（4）在该平面内找一点Q，使它到四个顶点的距离之和QA+QO+QB+QC最小，求点Q的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO顶点A、C分别在y轴和x轴上，已知OA＝3cm，OB＝5cm．
（1）求直线OB的解析式；
（2）若射线OB上有一点P，△OCP面积为3cm2时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使PQ+BQ最小，求出点Q的坐标．
15．如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）．
（1）求m的值和直线l2的函数表达式；
（2）直线l2在第一象限内的部分上有一点E，且△ADE的面积是△ADB面积的一半，求出点E的坐标，并在x轴上找一点P，使得CP+PE的值最小，求出这个最小值；
（3）若点Q为y轴上一点，且△BDQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
参考答案
1．【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴5＝1+b，
∴b＝4，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴m＝﹣2+4＝2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k．
∴k，b＝4，m＝2；
（2）对于直线l1：yx+1，令y＝0，得到x＝﹣2，
∴D（﹣2，0），
∴OD＝2，
对于直线l2：y＝﹣x+4，令y＝0，得到x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，AD＝6，
∵C（2，2），
∴S△ADC6×2＝6；
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B（﹣1，5），C（2，2）关于x轴的对称点是（2，﹣2），
则设经过（2，﹣2）和B（﹣1，5）的函数解析式是y＝mx+n，
则，
解得：，
则直线的解析式是yx．
令y＝0，则x0，解得：x．
则E的坐标是（，0）．
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）．
2．【解答】解：（1）把B（﹣3，0）代入y＝kx，
∴﹣3k0，
∴k，
∴直线AB的函数表达式为：yx，
把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣2x+4；
（2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′C与y轴的交点即为P点，
如图：
当﹣2x+4x时，
解得x＝1，
将x＝1，代入y＝﹣2x+4，
解得：y＝2．
所以A的坐标为：A（1，2）
作A关于y轴的对称点A′，则A′坐标为：A′（﹣1，2），
∵A′（﹣1，2），C（2，0）；
∴设A′C所在直线解析式为：y＝mx+n，将A′，C代入得：
，
解得：，
即解析式为：yx，
令x＝0，y，
即P点坐标为：P（0，）．
（3）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
①当∠EDF＝90°时，
如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE135°，
∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，
过点A作AG⊥BC于G，
∴AG＝DG＝2，
∵OG＝1，
∴OD＝1，
∴D（﹣1，0）；
②当∠DFE＝90°时，如图所示：
由图可知：BG＝OB+OG＝4，AF＝2，F（1，0），OG＝1，
由对折得，AE＝AB＝2，BD＝DE，
∴EF＝AE﹣AF＝22，
设DF＝a，BD＝4﹣a，则DE＝4﹣a，
由勾股定理可知：
DF2+EF2＝DE2，
a2（4﹣a）2，
解得：a1，
∴BD＝4﹣（1）＝5，
∴OD＝OB﹣BD＝3﹣（5）2，
∵D在x轴负半轴，
∴D（2，0）．
综上所述：D点坐标为：（﹣1，0）或（2，0）．
3．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+2过点C（2，n），
∴n＝2+2＝4，
∴C（2，4），
∵直线y＝kx+b过B（4.0），C（2，4），
∴，解得，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣2x+8；
（2）设D坐标是（m，h），
∵D（m，h）在直线y＝﹣2x+8上，
∴h＝﹣2m+8，
∵直线y＝x+2与x轴交于点A，
∴y＝0时x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∵S△ADB6h
＝3h
＝3（﹣2m+8）
＝﹣6m+24，
∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣6m+24；
（3）如图，作出B关于y轴的对称点B′，连接B′C，与y轴的交点即为P点，此时，PB+PC在值最小，
∵B（4，0），
∴B′（﹣4，0），
∴C（2，4），
∴B′C2，
∴PB+PC的最小值为2，
设直线B′C的解析式为y＝k′x+b′，
∴，解得，
∵直线B′C的解析式为yx，
令x＝0，则y，
∴P点坐标（0，）．
4．【解答】解：（1）作DE⊥x轴于点，
由题意，∠BOA＝∠DEA＝90°，∠BAO＝∠DAE，
∵AD＝AB，
∴△DAE≌△BAO（AAS），
∴AE＝OA，DE＝OB，
由y＝﹣3x+3，令x＝0，得y＝3，
∴B（0，3），OB＝3，
令y＝0，得﹣3x+3＝0，得x＝1，
∴A（1，0），OA＝1，
∴AE＝OA＝1，OE＝2，DE＝OB＝3，
∴点D的坐标为（2，﹣3），
设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
代入C（4，0）和D（2，﹣3），
得，
解得，
∴直线l2的解析表达式为；
∴点D的坐标为（2，﹣3），
直线l2的解析表达式为；
（2）由题意得，AC＝4﹣1＝3，DE＝3，
∴；
（3）存在，理由如下：
延长CD交y轴于点P，则点P即是所求的点，
此时|PC﹣PD|的最大值为线段CD的长度．
令x＝0，代入，
解得y＝﹣6，
∴点P的坐标为（0，﹣6）．
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
．
综上，点P的坐标为（0，﹣6）时，
|PC﹣PD|的最大值为．
5．【解答】解：（1）∵四边形OABC是长方形，OA＝10，
∴BC＝OA＝10，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B'C＝BC＝10，
在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6，
∴B'O，
∴B'（8，0）；
（2）设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x，
∵OA＝10，B′O＝8，
∴B'A＝2，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B'M＝BM＝6﹣x，
在Rt△AB'M中，B′A2+AM2＝B′M2，
∴22+x2＝（6﹣x）2，
解得x，
∴M（10，），
设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得：
，
解得：，
∴CM所在直线的解析式为yx+6；
（3）折痕CM上存在一点P，使PO+PB'最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，如图，
∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点，
∴PB＝PB'，
∴PO+PB'＝PO+PB≥OB，
当O、P、B共线时，PO+PB'最小，
∵，
∴PO+PB'的最小值为．
6．【解答】解：（1）已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0，得y＝4；
令y＝0，得2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵点M为线段AB的中点，
∴，即M（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）作点M关于y轴的对称点M′，连接M′A交y轴于点Q，连接QM，如图，
则QM＝QM′，
∴QM+QA＝QA+QM′＝AM′，
∵M（﹣1，2），
∴M′（1，2），
∵点A、M是固定点，
∴，
∴△QMA周长的最小值为AM+AM′，
又A（﹣2，0），M′（1，2），
∴，
∴，
∴△QMA周长的最小值为；
设直线AM′的解析式为y＝kx+b，把点A，点M′的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AM′的解析式为，
当x＝0时，，
∴；
（3）设直线MQ的解析式为y＝mx+n，把点M，点Q的坐标代入得：
，
解得，，
∴直线MQ的解析式为，
设点F的坐标为（x，0）
又过点F的直线l与MQ交于点G，
∴，
又∵直线AB和解析式与直线l交于点H，
∴H（x，2x+4），
∵GH＝3，
∴，
整理得，，
解得，，或，
∴点F的坐标为：或．
7．【解答】解：（1）把点E（2，m）代入y＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2，
∴点E（2，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴yx+1；
（2）作点B关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于G，
则此时GB+GE的值最小，
∵B（0，1），
∴F（0，﹣1），
设直线EF的解析式为y＝ax+c，
∴，
解得，
∴直线EF的解析式为yx﹣1，
当y＝0时，x，
∴G（，0），
∴EF，
故GB+GE的最小值为；
（3）存在，
当点P在y轴的左侧时，如图，
∴S△BEP﹣S△BED＝S△BDP＝53×2＝2，
∵BD＝3，
∴xP，
把xP代入y＝﹣x+4得，yP，
∴P（，），
当点P在y轴的右侧时，同理可得P（，），
综上所述，存在，点P的坐标为（，）或（，）．
8．【解答】解：（1）∵直线分别交x轴、y轴于点A、点B．
∴令x＝0，得y＝9．
∴点B的坐标为（0，9）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b．
代入点B（0，9）和点．
得．
解得，
∴直线BC的解析式为yx+9．
（2）过点M分别作x轴和y轴的垂线，分别交x轴和y轴于点G和点H．
∵点B（0，9）和点．
∴OB＝9，OC，
∵△ABM与△ACM的面积比为4：5，
∴，
根据平行线成比例线段可得，
即，
解得OH＝5．
同理可得OG＝2，
∴点M的坐标为（2，5），
∵点A是直线yx+9与x轴的交点，
∴令y＝0，解得x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
又∵点M（2，5），点．
∴直线AB的与x轴的交点为（﹣3，0），
AC，
∴∠BAC＝60°，∠MAC＝30°，
∴∠BAE＝∠MAC，
在射线AB上取点C′，使得AC′＝AC，连接C′E，过点C′作x轴的垂线，交x轴于点I，
在△C′AE和△CAE中．
，
∴△C′AE≌△CAE（SAS）．
∴C′E＝CE，C′A＝CA．
由三角函数可得，sin∠BACsin60°，
解得：C′I，
∴CE+EF＝C′E+EF≥C′I，
故CE+EF的最小值为．
（3）在x轴上存在点P，使∠PDO＝2∠PBO；理由如下：
∵直线y＝﹣x+8交y轴于点B，
∴B（0，8），
∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点D，
∵D（0，﹣3），
∴OB＝8，OD＝3．
（3）如图3，在y轴负半轴上取一点Q，使OQ＝OD＝2，
∵∠POB＝90°，OQ＝OD，
∴PQ＝PD，
∴∠PDO＝∠PQO＝∠PBO+∠BPQ，
∵∠PDO＝2∠PBO，
∴∠PBO＝∠BPQ，
∴PQ＝BQ＝BO﹣OQ＝7，
∴OP3，
∴P（3，0）或（﹣3，0），
综上，在x轴上存在点P，使∠PDO＝2∠PBO，P（3，0）或（﹣3，0）．
9．【解答】解：（1）∵直线y＝x向下平移1个单位后得直线l1，
∴直线l1的解析式为y＝x﹣1，
把A（2，n）代入得：n＝2﹣1＝1，
∴A（2，1），
把A（2，1）代入y＝mx+7得：
1＝2m+7，
解得m＝﹣3，
∴直线l2的表达式为y＝﹣3x+7；
（2）作B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于C，如图：
把B（1，a）代入y＝﹣3x+7得：
a＝﹣3+7＝4，
∴B（1，4），
∵A（2，1），
∴AB，
∴要使△ABC的周长的最小，只需AC+BC最小，
∵B，B'关于y轴对称，
∴BC＝B'C，B'（﹣1，4），
∴AC+BC＝AC+B'C，
∵A，C，B'共线，
∴此时AC+B'C最小，即△ABC的周长的最小，周长最小值为AB'，
∵A（2，1），B'（﹣1，4），
∴AB'3，
∴△ABC的周长的最小值为3；
（3）设直线l1交y轴于E，直线l2交y轴于D，连接DM，连接DM，如图：
由（2）知，B'（﹣1，4），A（2，1），
∴直线AB'解析式为y＝﹣x+3，
令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
在y＝﹣3x+7中，令x＝0得y＝7，
∴D（0，7），
∴CD＝4，
∵B（1，4），A（2，1），
∴S△ABC＝S△ADC﹣S△BDC4×24×1＝2，
∵△ABM的面积是△ABC的面积的5倍，
∴S△ABM＝10，
由A（2，1），B（1，4），D（0，7）可得，B为AD的中点，
①当M在AB左侧时，S△ADM＝2S△ABM＝20，
在y＝x﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，
∴E（0，﹣1），
∴DE＝7﹣（﹣1）＝8，
∴S△ADE8×2＝8，
∴S△MDE＝S△ADM﹣S△ADE＝20﹣8＝12，
∴8 （﹣xM）＝12，
∴xM＝﹣3，
在y＝x﹣1中，令x＝﹣3得y＝﹣4，
∴M（﹣3，﹣4）；
②当M在AB右侧时，同理可得S△M'DE＝S△ADM'+S△ADE＝20+8＝28，
∴8 xM＝28，
∴xM＝7，
在y＝x﹣1中，令x＝7得y＝6，
∴M（7，6）；
综上所述，M的坐标为（﹣3，﹣4）或（7，6）．
10．【解答】解：（1）∵y＝x+a（a＞0）分别交x、y轴于A、B两点，
∴令x＝0，得y＝a，即B（0，a），
令y＝0，得x＝﹣a，即A（﹣a，0），
∴OA＝OB＝a，
∵点C坐标为（a，0），
∴OC＝a＝OA＝OB，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∠BAO＝∠OAB＝45°，
∵CB＝CD，BE＝BG，
∴∠CBP67.5°，∠BGP67.5°，
∵∠BGP＝∠OBC+∠BCP，
∴67.5°＝45°+∠BCP，
∴∠BCP＝22.5°，
在△BCP中，∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BPC＝90°；
（2）由（1）可知∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝90°，OA＝OB＝OC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴ACAB，
∵AE+ADAB，
∴AE+AD＝AC＝CD+AD，
∴AE＝CD，
如图，过A作AF⊥x轴，且AF＝AB，连接EF，
∴∠FAE＝∠BCD＝90°﹣∠BAC，
∵AB＝BC，
∴AF＝BC，
在△AEF和△CDB中，
，
∴△AEF≌△CDB（SAS），
∴AE＝BD，
∴BD+CE＝AE+BE≥CE，当且仅当C、E、F三点共线时取等，
∴BD+CE的最小值为CF＝5，
∵OA＝OC＝a，
∴AF＝CBa，AC＝2a，
∴CF|a|＝5，
∵a＞0，
∴a＝5，
∴直线l的表达式为y＝x+5；
（3）∵a＝6，
∴OC＝6，
∵D是OC中点，
∴OD＝3，D（3，0），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
将B（0，6），D（3，0）代入得，
，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
过点C作CH∥BD交l于点H，
设直线CH的解析式为y＝﹣2x+m，
将C（6，0）代入得，m＝12，
∴直线CH的解析式为y＝﹣2x+12，
令x+6＝﹣2x+12，
解得x＝2，
∴y＝8，
∴H（2，8），
过H作HQ⊥CE于点Q，
∵CE与BD的夹角是45°，
∴∠BPD＝45°，
∴∠BCE＝∠BPD＝45°，
∴HQ＝CQ，
过Q作GK∥y轴交x轴于点K，过H作HG⊥GK于点G，
∴∠CQK＝∠GHQ＝90°﹣∠GQH，
在△CQK和△QHG中，
，
∴△CQK≌△QHG（AAS），
∴CK＝GQ，KQ＝GH，
设Q（t，n），
∵H（2，8），C（6，0），
∴CK＝2﹣t，GQ＝8﹣n，KQ＝n，KC＝6﹣t，
∴，
解得，
∴Q（0，2），
设直线CE解析式为y＝k1x+b1，将C（6，0），Q（0，2）代入得，
，解得，
∴直线CE解析式为yx+2，
再联立直线l和直线CE解析式得，
，解得，
∴E（﹣3，3）．
11．【解答】解：（1）①直线yx+15与x轴，y轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：（20，0）、（0，15），
设点D（m，m+15），
则BD2＝m2+（m+15﹣15）2＝25，则m＝4，
即点D（4，12），
由点A、D的坐标得，AD＝25；
②D（4，12），设点E（x，0），
则DE2＝（x﹣4）2+144，OE2＝x2，DO2＝160，
当DE＝OE时，则（x﹣4）2+144＝x2，
解得：x＝20，
当DE＝DO或DO＝OE时，
即（x﹣4）2+144＝160或x2＝160，
解得：x＝±4或8，
即点E的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（8，0）或（20，0）；
（2）过点A作AH⊥AB且AH＝OB＝15，
则∠EHA+∠BAO＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠EAH＝∠OBD，
∵DB＝AE，AH＝OB，
则△AEH≌△BDO（SAS），
则EH＝DO，
则OD+BE＝EH+BE≤BH，
即OD+BE的最小值为DH，即点B、E、H共线，
∵直线AB的表达式为：yx+15，AB⊥AH，
则直线AH的表达式为：y（x﹣20）x，设点H（m，m），
由AH＝15得：（m﹣20）2+（m）2＝152，则m＝29（舍去）或11，
即点H（11，﹣12），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：yx+15，
则点E（，0）．
12．【解答】解：（1）∵直线yx+2与x轴交于点A，
∴点A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝2OB，
∴OB＝2，
∴点B（2，0），
∵点D（0，﹣4），
∴设直线l2的函数表达式为y＝kx﹣4，
∴0＝2k﹣4，
∴k＝2，
∴直线l2的函数表达式为y＝2x﹣4；
（2）如图，作点B关于y轴的对称点B'（﹣2，0），连接CB'交y轴于点P，
∵yx+2与y＝2x﹣4交于点C，
∴点C（4，4），
设直线B'C的解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得，
∴直线B'C的解析式为yx，
当x＝0时，y，
∴点P（0，）；
（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：
设直线l1：yx+2与y轴相交于点N，过点C作CM∥x轴，
∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y轴，N（0，2），
∵∠ACF＝2∠CAO，
∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，
∵A（﹣4，0），C（4，4），
∴OA＝MC＝4，
∵∠CMF＝∠AON，
∴△AON≌△CMF（ASA），
∴MF＝ON＝2，
∴F（0，6），
∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，
CB2＝42+（4﹣2）2＝20，
FB2＝22+62＝40，
∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，
∴△BCF是等腰直角三角形．
13．【解答】解：（1）把A（1，3），点C（0，1）代入y＝k1x+b得，
，
解得，
∴直线l1：y＝2x+1；
把A（1，3）代入y＝k2x+4得3＝k2+4，
∴k2＝﹣1，
∴直线l2的表达式为y＝﹣x+4；
故答案为：y＝2x+1，y＝﹣x+4；
（2）过C作CH⊥AB于H，
在y＝﹣x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，∴B（4，0），D（0，4），
∴OD＝OB＝4，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BDO＝45°，
∴△CHD是等腰直角三角形，
∵CD＝OD﹣OC＝3，
∴CH＝DHCD，
∴点C到直线AB的距离为，
故答案为：；（3）∵S△APC＝S△AOC，
∴①点P在过原点且平行于AC的直线上，
∴直线OP的解析式为y＝2x，
解得，
∴P（，）；
②把直线l2，向上平移1个单位长度得y＝2x+2，
解得，
∴P（，），
综上所述，若S△APC＝S△AOC，点P的坐标为（，）或（，）；
（4）如图，连接AO，BC交于一点Q，
则点Q到四个顶点的距离之和QA+QO+QB+QC最小，
∵A（1，3），
∴直线OA的解析式为y＝3x，
∵C（0，1），B（4，0），
∴直线BC的解析式为yx+1，
解得，
∴Q（，）．
14．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，OA＝3cm，OB＝5cm，
根据勾股定理，得AB4（cm），
∴B（4，3），
设直线OB的解析式为y＝kx，把B（4，3）代入，得k，
∴直线OB的解析式为yx；．
（2）S＝S△OPCOC yP4xx，
当S＝3时，x＝2，
∴P（2，），
∴S关于x的函数关系式为Sx，当S＝3cm2时，点P的坐标为（2，）；
（3）如图，作出点B关于x轴的对称点D，连接PD交x轴于点Q，连接BQ，此时PQ+BQ最小，
可得BQ＝DQ，D（4，﹣3），
∴PQ+BQ＝PQ+DQ＝PD，
∴PQ+BQ最小值为，
设直线PD函数关系式为：y＝mx+n，
可得，
解得，
∴直线PD函数关系式为yx+6，
令y＝0得x+6＝0，
解得x，
∴Q（，0）．
15．【解答】解：（1）∵点B（2，m）在直线l1：y＝﹣3x+3上，
∴m＝﹣3×2+3＝﹣3，
设直线l2的解析式为：y＝kx+b，
∵直线l2经过点A（4，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线l2的解析式为yx﹣6；
（2）当y＝0时，0＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴D（1，0），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵点B的纵坐标为：m＝﹣3，
∴S△ADB3×3，
设E的坐标为：（a，a﹣6），
则S△ADE3×（a﹣6），
解得：a＝5，
∴E（5，），
∵点C在直线l1：y＝﹣3x+3上，
∴x＝0时，y＝3，
∴点C（0，3），
作C关于x轴的对称点C′（0，﹣3），
连接C′E，交x轴于P点，连接CP，此时CP+EP有最小值，
最小值为C′E的长，如图1所示：
C′E；
（3）由得：，
∴B（2，﹣3），
∴BD，
分三种情况：
①BQ＝BD时，作BM⊥y轴于M，如图2所示：
则BM＝2，OM＝3，
设Q的坐标为（0，y），
由勾股定理得：（3+y）2+22＝10，
解得：y＝﹣3±，
∴点Q的坐标为（0，3）或（0，3）；
②当QD＝QB时，如图3所示：
点Q在BD的垂直平分线上，则DN＝BNBD，
由勾股定理得：CD，
∴CN＝CD+DN，
∵∠COD＝∠CNQ＝90°，∠OCD＝∠NCQ，
∴△OCD∽△NCQ，
∴，即，
解得：CQ＝5，
∴OQ＝CQ﹣OC＝5﹣3＝2，
∴点Q的坐标为（0，﹣2）；
③DQ＝DB时，如图4所示：
由勾股定理得：OQ2+OD2＝DQ2，即OQ2+12＝10，
解得：OQ＝3，
∵当Q（0，3）时，Q与C重合，B、D、Q三点共线，不合题意，
点Q的坐标为（0，﹣3）；
综上所述，Q的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣2）或（0，3）或（0，3）．
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