2025年九年级中考数学二轮专题复习二次函数中几何最值问题
1．如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）．
（1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．
2．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
3．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
4．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝10，设AC＝x，这个四边形的面积S随的变化而变化．
（1）写出S与x之间的函数关系式： ；
（2）求x当为何值时，这个四边形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动．
（1）求运动几秒钟时，五边形APQCD的面积为64cm2？
（2）移动几秒钟时△PBQ的面积最大？并求出△PBQ面积的最大值？
6．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝6cm，OC＝4cm，以OA，OC为邻边作矩形OABC．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿AO向点O运动，同时点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动．过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP．设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）记△OMP的面积为S，求S与t的函数解析式；
（2）当t为何值时，△OMP的面积有最大值，最大值为多少？
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒，
（1）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？
（2）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
8．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，求筝形的面积？
（2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？
9．经典再现 图1是我们熟悉的“赵爽弦图”，此图可用“出入相补法”证明勾股定理．即图1是四个全等的直角三角形围成大正方形ABCD和小正方形EFGH，设AE＝a，BE＝b，AB＝c．
（1）请结合图1，证明勾股定理：a2+b2＝c2；
经典延伸 将图1经过一定拉伸可得到图2，图2可以看成是两组全等三角形围成四边形ABCD和四边形EFGH，若四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，且∠EFG＝60°，EF＝2，AE＝m，BH＝n．
（2）当m＝2n，矩形ABCD的面积为时，求n的值；
（3）当m+n＝8时，直接写出矩形ABCD面积的最大值．
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ ；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？
11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）若P、Q两点的距离为时，求t的值？
（2）当t为何值时，△BPQ的面积最大？并求出最大面积．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为t s．
（1）PB＝ cm，BQ＝ cm．（用含有t的式子表示）
（2）设△PBQ的面积为S，当t为何值时，△PBQ的面积最大？求该最大值．
13．如图，在菱形ABCD中，AD＝10，∠A＝60°，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，且BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．
（1）设四边形EFGH的面积为S，BE＝x，求S与x的函数关系式；
（2）当BE为何值时，四边形EFGH的面积最大，最大值是多少？
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12cm，BC＝2AB，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，那么△BPQ的面积S随出发时间t而变化．
（1）求出S关于t的函数解析式，写出t的取值范围；
（2）当t取何值时，S最大？最大值是多少？
15．如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A＝60°，AB＝6．
（1）求∠HEA的度数；
（2）判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（3）设EB＝x，四边形EFGH的面积为y，求y的最大值．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵AE＝BF＝CG＝DH＝x cm，
∴BE＝CF＝DG＝AH＝（8﹣x）cm，
y＝4x（8﹣x）＝﹣2x2+16x（0＜x＜8），
（2）y＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝4时，y有最大值为32，
故当x＝4时，阴影部分面积最大值为32cm2．
2．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
3．【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），
∴a＝2（x+y），
∵当x＝12时，y＝10，
∴a＝2（12+10）＝44．
故答案为：44cm；
（2）∵由（1）知，a＝44cm，a＝2（x+y），
∴y＝22﹣x，
∴S矩形＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），
∴当x11时，S矩形最大＝﹣112+22×11＝121（cm2）．
答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
4．【解答】解：（1）设AC＝x，
则BD＝10﹣x，
∴SAC×BDx（10﹣x）x2+5x；
故答案为：Sx2+5x；
（2）S＝﹣x2+5x（x﹣5）2，
∵0，
∴开口向下，
则当x＝5时，S有最大值
答：当x为5cm时，这个四边形ABCD的面积最大，最大面积是cm2．
5．【解答】解：（1）根据题意，AP＝tcm，PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∴，
∵S矩形ABCD＝72．
由题意得；
∴t＝2或4，
P，Q两点出发2秒或4秒时，五边形APQCD的面积为64cm2．
（2）∵，
，﹣1＜0，开口向下，
∴当t＝3时，S△PBQ有最大值9．
6．【解答】解：（1）由矩形性质可知OA＝6，AB＝4，
∴点B的坐标为（6，4），
设直线OB的解析式为y＝kx，
∴4＝6k，解得，
∴，
延长NP交x轴于点H，
∴点P的横坐标OH＝CN＝t，AM＝t，
∴OM＝6﹣t，点，
∴，
∴
；
（2）由（1）中解析式得：S（t﹣3）2+3，
当t＝3时，△OMP的面积有最大值，最大值为3．
7．【解答】解：（1）由椭圆可知：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，则BP＝（12﹣2t）cm，
，
解得：t＝2或4，
由边长可知：0≤t≤6．
∴t＝2或4都符合题意，
∴即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（2），
∵﹣4＜0，0≤t≤6，
∴当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
8．【解答】解：（1）∵AD＝CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．
同理点B在AC的垂直平分线上．
∴BD垂直平分AC．
∴AC⊥BD．
∴S筝形＝S△ADC+S△ABC
．
又∵筝形的两条对角线长分别为6cm，8cm，
∴（cm2）．
（2）令AC＝x cm，则BD＝（6﹣x） cm，
由（1）知，
S筝形ABCDx （6﹣x）
3x
（x﹣3）2，
又∵AC，BD的长度为整数值，
则当AC＝3时，
S筝形ABCD有最大值，最大值为．
此时BD＝6﹣3＝3（cm）．
即当AC＝3，BD＝3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为．
9．【解答】解：（1），
即正方形ABCD的面积＝S△CDG+S正方形EFGH+S△ADF+S△ABE+S△CBH
a2+b2，
∴a2+b2＝c2；
（2）过点E作EQ⊥HG于Q，分别过点A，点C作BE的垂线，垂足分别为P、M，
∵四边形EFGH是菱形，EF＝2，∠EFG＝60°，
∴∠EHG＝∠EFG＝60°，HG＝EF＝EH＝2，
∴∠HEQ＝30°，
∴，
∴，
∴；
∵EH∥FG，则∠EFG＝∠AEP＝60°，
∴∠PAE＝30°，
∴，
∴，
∵BE＝BH+HE＝n+2，
∴；
∠HCM＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形ABCD的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴2n2+3n﹣14＝0，
解得n＝2或（舍去）；
（3）如图所示，分别过点A，点C作BE的垂线，垂足分别为P、M，过点E作EQ⊥HG于Q，
∵四边形EFGH是菱形，∠EFG＝60°，EF＝2，
∴∠EHG＝∠EFG＝60°，EH＝HG＝EF＝2，
∴∠HEQ＝30°，
∴EH＝2HQ＝2，
∴，
∴；
∵FG∥EH，
∴∠AEP＝∠EFG＝60°，
∴∠PAE＝30°，
∴，
∴APm，
∵BE＝HE+BH＝2+n，
∴；
∵∠MCH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
∴，
∵S平行四边形ABCD＝S△FDA+S△DCG+S菱形EFGH+S△ABE+S△CBH，
∴
，
∵m+n＝8，
∴n＝8﹣m，
∴26（m﹣4）2，
∵，
∴当m＝4时，平行四边形ABCD的面积有最大值，此时的最大值为．
10．【解答】解：（1）由题意得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，
∵AB＝12cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2t cm，（12﹣2t）cm，4t cm；
（2）∵BQ＝4t cm，BP＝（12﹣2t）cm，∠B＝90°，
∴S△PBQBP BQ（12﹣2t） 4t＝（﹣4t2+24t）（cm2），
即S△PBQ＝﹣4t2+24t，
由题意得：﹣4t2+24t＝32，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4，
答：当运动时间是2s或4s时△PBQ的面积为32cm2；
（3）由（2）可知，S△PBQ＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36，
∵﹣4＜0，
∴当t＝3时，△PBQ的面积有最大值为36，
答：当t为3s时，△PBQ的面积有最大值．
11．【解答】解：（1）由题知，
BP＝6﹣t，BQ＝2t．
在Rt△BPQ中，
PQ2＝PB2+PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，
又因为P、Q两点的距离为，
所以（6﹣t）2+（2t）2＝（）2，
解得．
又因为0≤t≤4，
所以上述两解都符合题意，
故t的值为2或．
（2）由（1）知，
t），
又因为0≤t≤4，
所以当t＝3时，
S△BPQ有最大值为9cm2．
12．【解答】解：（1）根据题意得AP＝2t cm，BQ＝4t cm，
∴BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：（12﹣2t），4t；
（2）
＝﹣4（t﹣3）2+36，
当t为3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
13．【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
在△DHG中，DG＝DH，
∴，
同理，，
∴，
∴∠HGF＝180°﹣（∠DGH+∠CGF）＝180°﹣90°＝90°，
同理∠GHE＝90°，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵BE＝BF＝DG＝DH，
∴AB﹣BE＝BC﹣BF＝CD﹣DG＝AD﹣DH，
即AE＝CF＝CG＝AH＝10﹣x，
∵∠A＝60°，
∴△AEH和△CFG都是等边三角形，
∴EH＝FG＝10﹣x，
过点B作BM⊥EF，垂足为M，
∴∠BME＝90°，
在Rt△BME中，
∵∠BEM＝30°，
∴，
由勾股定理得，EMx，
∴，
∴，
（2）由（1）知，，
∵抛物线开口向下，
∴当BE＝5时，矩形EFGH的面积最大，最大值是．
14．（2）由（1）中所得函数解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
∵AB＝12cm，BC＝2AB，
∴BC＝24cm．
又∵动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，
∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴，
∵点P和点Q分别在AB和BC上运动，
∴0≤t≤6．
（2）∵S＝﹣4t2+24t，
∴当t时，S有最大值，
且0≤3≤6，
∴．
故当t＝3时，S有最大值为36．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵BE＝BF＝DG＝DH，
∴AE＝AH，
∵∠A＝60°，
∴△AEH为等边三角形，
∴∠AEH＝60°；
（2）四边形EFGH是矩形，理由如下：
∵DG＝DH，
∴∠DHG＝∠DGH＝30°，
同理，∠CGF＝60°，
∴∠DGH+∠CGF＝90°，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠DGH+∠CGF＝90°，
∴∠HGF＝90°，
同理，∠GHE＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（3）由△AHE是等边三角形，
∴EH＝AE，
∵AB＝6，EB＝x，
∴AE＝EH＝6﹣x，
∴EFx，
∴y＝S矩形EFGH＝EH EF＝（6﹣x） x，
∴当x3时，函数有最大值，
∴当x＝3时，四边形EFGH的面积最大，最大值为：9．
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