2025年九年级数学中考二轮专题复习直角三角形斜边上的中线
一、选择题
1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
3．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，有一点P，AP＝1，连接AP，BP，取BP的中点G．连接CG，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C． D．14
二、填空题
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝ °．
7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则BC的长为 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是 度．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AH⊥BC于点H，BM⊥AC于点M，并且点N是AB的中点，△HMN的周长是，则AH的长是 ．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
12．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．
13．已知：如图，BE、CD为△ABC的两条高，点M是BC的中点，点N是DE的中点．
（1）求证：ME＝MD；
（2）若BC＝26，ED＝10，求MN的长．
14．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB的中点．
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形．
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC＝BC，若CE＝4，BF＝1，求CD的长．
15．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B A A B A
1．【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF2，
∵H是AF的中点，
∴CHAF2．
故选：B．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝90°，OD＝OB，
∵DF＝FE，
∴CF＝FE＝FD，
∵EC+EF+CF＝18，EC＝5，
∴EF+FC＝13，
∴DE＝2CF＝13，
∴DC12，
∴BC＝CD＝12，
∴BE＝BC﹣EC＝7，
∵OD＝OB，DF＝FE，
∴OFBE，
故选：A．
3．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝2，BC＝1，
∴OE＝AEAB＝1，
DE，
∴OD的最大值为：1．
故选：A．
4．【解答】解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CNAB＝5，CMDE＝2，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣2＝3．
故选：B．
5．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接EG，CE，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB13，CEAB，GEAP1，
∴；
∵CG≤CE+GE，
∴当C，G，E三点共线时，CG最大，最大值为GE+CE；
∵，
∴CG的最大值为7；
故选：A．
二、填空题
6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，
∴EC＝EA＝EBAB，
∴∠ECA＝∠CAB＝30°，
∴∠CEB＝60°，
∵AD＝BD，点E是AB中点，
∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，
∴DEAB，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝75°，
故答案为：75．
7．【解答】解：连接BE，DE，如图所示：
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，
∴BEAC，DEAC，
∵AC＝6，
∴BE＝DE＝3，
过点E作EF′⊥BD于点F′，
则点F′是线段BD的中点，
∵BD＝4，
∴BF′＝2，
根据勾股定理，得EF′，
∴线段EF的最小值为，
故答案为：．
8．【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵点D是AB的中点，AB＝4，
∴EDAB＝2，ADAB＝2，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中点，
∴AE＝DE＝2，
∴AD＝DE＝AE＝2，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴ACAD＝2，
∴BC2，
故答案为：2．
9．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠BCD＝90°22.5°，
∠ACD＝90°67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝67.5°，
∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
10．【解答】解：∵AB＝AC，AH⊥BC于点H，
∴BH＝CH，
∵BM⊥AC于点M，
∴∠BMC＝90°，
∴MHBC4＝2，
∵△HMN的周长＝MN+NH+MH，
∴MN+NH，
∵∠AHB＝∠AMB＝90°，N是AB中点，
∴MNAB，NHAB，
∴MN+NH＝AB，
∵BHBC＝2，
∴AH．
故答案为：．
三、解答题
11．【解答】（1）证明：连接DE，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，
∴DEAB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF3，
∴△EDC的面积CD×EF5×3＝7.5．
12．【解答】（1）证明：连接ME、MD，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵M是BC的中点，
∴DMBC，
同理可得EMBC，
∴DM＝EM，
∵N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：
∵BC＝10，ED＝6，
∴DMBC＝5，DNDE＝3，
由（1）可知∠MND＝90°，
∴MN4，
∴S△MDEDE MN6×4＝12．
13．【解答】（1）证明：∵BE、CD为△ABC 的高，
∴BE⊥CE，CD⊥BD，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵点M是BC的中点，
∴MDBC，MEBC，
∴ME＝MD；
（2）解：∵N为DE中点，ME＝MD，ED＝10，
∴MN⊥ED，EN＝DNED＝5，
∴∠MNE＝90°，
∴EN2+MN2＝ME2，
∵MEBC＝13，
∴52+MN2＝132，
∴MN＝12．
14．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴△ABC和△ABD是直角三角形，
∵点E是AB的中点，
∴CEAB，DEAB，
∴CE＝DE，
∴△CDE是△ECD是等腰三角形；
（2）解：过点E作EG⊥CD于G，如图所示：
∵CE＝DE，
∴CG＝DG，
∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴CE＝AE＝BE＝4，AE⊥AB，
∵BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝3，
由勾股定理得：CE5，
由三角形的面积公式得：S△CEFCF EGCE EF，
∴EG2.4，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：CG3.2，
∴CG＝DG＝3.2，
∴CD＝CG+DG＝6.4．
15．【解答】解：（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AEDB，
∵∠DCB＝90°，
∴CEBD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
∵EF⊥AC．
∴EF3
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