2024-2025学年四川省都江堰市领川实验学校高二下学期入学考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组样本数据，，，，，，则是该组数据的( )
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
2.直线与直线垂直，垂足为，则( )
A. B. C. D.
3.点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
4.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示收支差额车票收入支出费用，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议不改变车票价格，减少支出费用；建议不改变支出费用，提高车票价格下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则( )
A. 反映建议，反映建议 B. 反映建议，反映建议
C. 反映建议，反映建议 D. 反映建议，反映建议
5.已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为( )
A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 抛物线 D. 圆
7.已知直线：，：相互平行，且，间的距离为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知圆，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列，前项和，则( )
A. B.
C. D. 为公差为的等差数列
10.等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是( )
A. B.
C. 当时最小 D. 时的最小值为
11.已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是( )
A. B. 的离心率等于
C. 的内切圆半径是 D. 双曲线渐近线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过两圆和的交点的直线方程为 ．
13.观察下列各式：，则 ．
14.袋中有红球黑球黄球绿球共个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黄球的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
长轴长为，离心率为；
轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为．
16.本小题分
已知直线经过两直线与的交点，且垂直于直线．
求直线的方程；
求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
17.本小题分
已知等差数列中，
求数列的通项公式
求数列的前项和及
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点为为其上顶点，正三角形
求椭圆的离心率；
若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于的面积是，求椭圆的方程．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点到准线的距离为．
求的方程；
已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．
参考答案
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15.解：解：由题意，椭圆的长轴长为，离心率为，
可得，可得，则，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为．
综上，椭圆的方程为或．
解：由题意，设椭圆的标准方程为，
如图所示，为椭圆的一个焦点，分别为短轴的两个端点，且焦距为，
则为一等腰直角三角形，所以，所以，
故所求椭圆的标准方程为．
16.解：由，得，即点，
由题意设直线为，
因为直线过，
所以，得，
所以直线的方程为；
当时，，
当时，，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
．
17.解：依题意，设数列的首项是，公差是，
因为，所以，解得
所以数列的通项公式．
因为，
所以，
则．
18.解：设，显然，因为为正三角形，则，
所以椭圆的离心率．
由知，，椭圆的方程为：，显然，
由消去并整理得：，
，即有，设，
则有，
，因此，
整理得，满足，点到直线的距离，
，
的面积，解得，
所以椭圆的方程为．
19.解：抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
．
由知，抛物线：，，
设点的坐标为，
则，
点坐标为，
将点代入得，
整理得，
直线斜率，
当时，，
当时，，即，
当且仅当，即时，取等号，
当时，，即，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，，
所以直线斜率的最大值为．
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