2024-2025学年上海市晋元高级中学高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为非零实数，则“”是“”成立的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若函数的最小值，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4.已知，有下列两个结论；
存在在第一象限，在第三象限；
存在在第二象限，在第四象限；
则( )
A. 均正确 B. 均错误 C. 对错 D. 错对
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知全集，集合，则 ．
6.已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
7.若幂函数的图象经过点，则实数 ．
8.已知，则 ．
9.已知角的终边经过点，则 ．
10.方程的解集为 ．
11.若存在，使成立，则实数的取值范围是 ．
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则不等式的解集为 ．
13.已知，且有，则 ．
14.设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ．
15.已知函数与的图像有个不同公共点其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
16.记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
所有偶函数都具有性质；
具有性质；
已知，若函数具有性质，则
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，集合，．
求集合；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
Ⅰ求的值；
Ⅱ若角满足，求的值．
19.本小题分
某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
小时内含小时为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值单位：与游玩时间单位：小时满足关系式：；
到小时含小时为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为即累计经验值不变；
超过小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为．
当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩小时的累积经验值；
该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数且，是偶函数，函数且．
求的值；
若函数有零点，求的取值范围；
当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”已知函数是函数在集合上的“约束函数”．
若，，判断函数的奇偶性，并说明理由；
若，，，求实数的取值范围；
若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.因为
所以；
因为，所以，
当时，，解得，
当时，
若，由，得，解得，
所以，又可得，即，
当时，由，可得，所以，
又，可得，
综上所述：实数的取值范围为．
18.解：Ⅰ由角的终边过点得，
所以．
Ⅱ由角的终边过点得，
由得．
由得，
所以或．
19.解：由题意可得：当 时，则 ，且 ；
当 时，则 ；
当 时，则 ；
综上所述： ．
若 ，则 ，所以 ．
由可得： ，则 ，
由题意可得：当 时， 恒成立，
整理得 对任意 恒成立，
因为 的开口向上，对称轴 ，
则 时， 取到最小值 ，
可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
20.解：因为为偶函数，所以，都有，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以．
有零点，即，即有解，
令，则函数图象与直线有交点，
当时，无解，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
值域为，
由有解可得，
综上可知，的取值范围是．
，
当时，，
由，当且仅当时取等号，所以的最小值为，
因为，，使得成立，
所以，
即 对任意的恒成立，
设，
所以当时，恒成立，
所以，即，
设函数在单调递减，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
21.因为，所以对有，
令，且，
因为，
所以，
所以，
所以，且定义域为关于原点对称，
所以是偶函数；
当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上，
所以在上单调递增，在上单调递增，
不妨假设，
所以，
即，
设，
当时，，在上单调递增，显然满足要求，
当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得，
当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求，
综上可知，的取值范围是；
不妨设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对，都有，
首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以使得，则，则，
这与“，都有”矛盾，
所以不存在，使得；
假设存在，使得，
设，则，，
所以使得，则，则，
这与“，都有”矛盾，
所以不存在，使得，
由上可知，当时，；
再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，
所以，使得，则，则，
这与“，都有”矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有，
所以是上的严格增函数．
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