2024-2025学年上海市延安中学高二下学期3月调研数学试卷
一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中正确的是( )
A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C. 平行于轴的直线的倾斜角为
D. 若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
2.已知三条不同的直线，，以及两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知圆，，则两圆的位置关系( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是( )
A.
B.
C. 三棱锥的体积为
D. 和的夹角为
三、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.圆的半径为
6.直线的倾斜角为 ．
7.已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为
8.直线与直线的夹角的大小为 ．
9.已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆角的的扇形，则此圆锥的母线长为
10.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则侧面积为 ．
11.已知空间向量，，，若，，共面，则实数 ．
12.已知，是球的球面上两点，，为球面上的动点若三棱锥体积的最大值为，求球的表面积 ．
13.已知直线过，且与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为 ．
14.已知实数满足，则的取值范围为
15.已知向量，满足，，且则在上的投影向量的坐标为 ．
16.已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点：
求点到平面的距离；
求平面与平面所成的二面角的大小．
18.本小题分
如图，平行六面体中，已知，且；
用表示，并求；
求异面直线与所成角的大小；
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知的顶点；
若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
20.本小题分
如图，，是两条海岸线，为海中一个小岛，为海岸线上的一个码头．已知，，到海岸线，的距离分别为， 现要在海岸线上再建一个码头，使得在水上旅游直线经过小岛．
求水上旅游线的长；
若小岛正北方向距离小岛处的海中有一个圆形强水波，从水波生成时的半径为为大于零的常数强水波开始生成时，一游轮以 的速度自码头开往码头，问实数在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．
21.本小题分
已知圆过，，且圆心在轴上．
求圆的标准方程；
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记，面积为，求的最大值．
参考答案
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17.解：
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，
，
设平面的法向量为，则
令，则，故，
点到平面的距离为．
由得，．
设平面的法向量为，则
令，则，故，
，
平面与平面所成的二面角为．
18.解：由题意可得：，
，
，
，
，
，
由可得：，
所以，
，
设异面直线与所成角为，
则，
所以
19.解：因，且，则，
因，
则直线的方程为，即．
设点，则线段的中点为，
将其代入所在直线方程中，得，
将点代入所在的直线方程中，得，
解得，即，
设点关于直线对称得点，
则，得，即，
因三点共线，则，
直线所在的直线方程为，即．
20.解：以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．
则由题设得：，直线的方程为．
由，及得，．
直线的方程为，即，
由得即，
，即水上旅游线的长为．
设试验产生的强水波圆，由题意可得，生成小时时，游轮在线段上的点处，
则，
．
强水波不会波及游轮的航行，即 对恒成立，，
当时，
当．
当且仅当时等号成立，
所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．
21.解： 由圆心在 轴上，
设圆的方程为 ，
又圆过 ， ，
得 ，解得，，
所以圆的方程为 ；
若直线 斜率不存在时，
直线 与圆交点为
直线被圆截得的弦长为 ，
故直线 符合题意；
若直线 斜率存在时，设 ，
整理得 ，
所以圆心 到直线 的距离为 解得 ，
直线 ，
故直线 符合题意；
综上所述，直线 的方程为 或 ；
解：由题意知， ，
设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
解得 或 ，
则点 的坐标为 ，
又直线 的斜率为 ，
同理可得：点 的坐标为 ，
由题可知： ，
故 ，
又 ，
同理 ，
，
当且仅当 时等号成立．所以 的最大值为 ．
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