内蒙古赤峰市2025届高三下学期3·20模拟考试数学试题
一、单选题
1．如图，向量对应的复数是，则的值为（ ）
A．6 B． C．13 D．
2．已知集合，其中表示不超过的最大整数，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量和满足与的夹角为，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知锐角满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，且，若，则（ ）
A． B．是公差为2的等差数列
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．是周期为的函数
B．与函数是同一函数
C．是的一条对称轴
D．在区间上的取值范围是
11．数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线（如图所示），则下列关于曲线的说法正确的有（ ）
A．周长大于25
B．共有4条对称轴
C．围成的封闭图形面积小于14
D．围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1
三、填空题
12．展开式的常数项为 .
13．锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 .
14．已知函数在上的最大值比最小值大，则 .
四、解答题
15．为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
性别 身高 合计
低于 不低于
女 20
男 50
合计 200
(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中的，的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于”有关联？
(3)将样本频率视为概率，在全市不低于的学生中随机抽取6人，其中不低于的人数记为，求的期望.
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，求的取值范围.
17．已知数列中，.
(1)若依次成等差数列，求；
(2)若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和.
18．如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足.
(1)当时，求证：；
(2)若平面与平面所成角的正切值为，求的值.
19．已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点.
（i）证明：点为线段的中点；
（ii）求的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B A C D B ACD AD
题号 11
答案 ABC
12．60
13．
14．1
15．（1）由图，低于的学生有人，则不低于170cm的学生有人.
从而，；
（2）零假设为：性别与身高没有关联，
计算可得
根据的独立性检验，推断不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170cm有关联；
（3）样本中抽中不低于175cm的频数为人
样本中抽中不低于175cm的频率为
将样本频率视为概率，在全市不低于170cm的学生中随机抽取6人，
其中不低于175cm的人数记为，则
.
16．（1）函数的定义域为，，
故，，
所以，在点处切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，且，
有两个极值点等价于有两个不等正根，
即有两个不等正根，
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
如下图所示：
当时，直线与函数的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为、，
由图可知，当或时，，则，
当时，，则，
所以，函数的增区间为、，减区间为，
此时，函数的极大值点为，极小值点为，
故当时，有两个极值点，
综上，的取值范围为.
17．（1），
又依次成等差数列，所以，
即，解得.
（2）证明：因为，
且，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
可得，则，
.
18．（1）方法一：由可得，，
即，即.
如图：
当时，在中，，，，因为，所以，又，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又平面，所以.
又在平行四边形中，，，为中点，所以，
，平面，
所以平面.
又平面，所以.
方法二：（向量方法）
因为平面平面，平面平面，所以过作于，则平面；
连接，因为，所以.
在中，，，.
所以，则，
.
，
当时，.
.
所以.
（2）如图，由（1）得：两两垂直，故可以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.
平面中，，.
，
设平面的法向量为：，
则,
令，则；
平面中，由（1）可知，，
设，因为，，
所以.
，
设平面的法向量为，
则,
令，则；
由题意，设平面与平面所成角为，且，则.，解得.
即平面与平面所成角的正切值为时，的值为.
19．（1）
为的垂直平分线上一点，则.
.
点的轨迹为以为焦点的双曲线，且
故点的轨迹方程为.
（2）
（i）设，
双曲线的渐近线方程为①，②
当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，
与双曲线联立
由，且，故可得.
由；
.
.
点为线段的中点.
当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知，
此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点.
综上，点为线段的中点.
（ii）由（i）知，.
.
当且仅当，即时取等号.
又，
的取值范围为.
