云南省景东彝族自治县漫湾镇中学 2024-2025 学年高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 满足： = (1,3), ( ) ⊥ ，则 =( )
A. 1 B. 3 C. √ 10 D. 10
2.在 中，角 的对边分别为 ，若 = 2 , = 2√ 2, = 2，则 =( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 2√ 3
2 2
3.在 中，动点 满足 = 2 ，则 点轨迹一定通过 的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
4.已知点 为 外接圆的圆心， + = 2 且| | = | |，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
√ 3
5.已知非零向量 , 满足3| | = | |，向量 在向量 方向上的投影向量是 ，则 与 夹角的余弦值为( )
9
√ 3 1 √ 3 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
6.在 中，∠ = 90 ，| | | | = 1， 是 所在平面内一点， = + 3 ，则 的
| | | |
最大值为( )
A. 5 + 2√ 3 B. 10 + 2√ 3 C. 5 2√ 3 D. 10 2√ 3
7.在 中， 、 分别在边 、 上，且 = 2 ， = 4 ， 在边 上(不包含端点).若 =
1 2
+ ，则 + 的最小值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8.已知点 1, 2, , ( ∈ , ≥ 2)均在圆 上，若有 1 + + + 2 = 0 ，则必有 1, 2, , 平分
圆 .则满足要求的 的个数为( )
A. 0个 B. 仅有1个 C. 仅有2个 D. 3个或以上
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于同一平面内的任意三个向量 ，下列四种说法错误的有( )
A. ( ) = ( ) B. 若 // ，且 // ，则 //
C. 若| | = | |，则 = 或 = D. | + | ≤ | + | + | |
第 1 页，共 9 页
10.在等腰 中，已知 = 4, = = 8，若 分别为 的垂心 外心 重心和内心，则
下列四种说法正确的有( )
A. = 0 B. = 24 C. = 16 D. = 12
11.在锐角 中，已知角 的对边分别为 ，且3 cos + 3 cos = 2，cos2
3cos( + ) = 1，则下列说法正确的是有( )
A. 的外接圆的周长为4√ 3
B. 的周长的取值范围为(3 + 3√ 3, 9]
3√ 3 9√ 3
C. 的面积的取值范围为( , ]
2 4
3 √ 3 √ 3
D. 的内切圆的半径的取值范围为( , ]
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 = (1, )与 = (4,2)的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ．
1
13.如图，在 中，∠ = ， = 2 ， 为 上一点，且满足 = + ，若| 3 | = 2，2
| | = 3，则 的值为 ．
2
14.已知平行四边形 的面积为9√ 3，∠ = ， 为线段 的中点．若 为线段 上的一点，且 =
3
5
+ ，则| |的最小值为 ．
6
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量 , 满足| |= √ 3, | | = 1，设 与 的夹角为 ，
(1)若对任意实数 ，不等式| + | ≥ | + |恒成立，求cos 的值；
(2)根据(1)中 与 的夹角 值，求 与 + 2 夹角的余弦．
16.(本小题12分)
三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花!
第 2 页，共 9 页
(1)如图1，在 中，∠ = 90 ，点 是 上一点，且满足： + = 2 ，以点 为圆心， 的长
为半径作圆交 于点 ，交 于点 .若| | = 4, | | = 2| |，求| |的值．
3
(2)如图2，在 中，点 分 所成的比为 ，点 为线段 上一动点，若 = 4，求 (2 + 3 )
2
的最小值．
17.(本小题12分)
三角形 中， , , 分别是角 , , 的对边，已知点 是 的中点，点 在线段 上，且 = 2 ，线段
√ 3
与线段 交 . ( + )(sin sin ) = ( )sin , = ， 4
(1)求角 的大小；
(2)若 = + ，求 + 的值；
(3)若点 是三角形 的重心，求| |的最小值．
18.(本小题12分)
如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 在线段 上且是靠近 点的一个三等分点， 交
于点 ， 交 于点 ．
(1)用 和 表示 ；
(2)若 = ，求实数 ；
(3)过点 的直线与边 ， 分别交于点 ， ，设四边形 的面积为 1，梯形 的面积为 ，求
1
2 的 2
最小值．
19.(本小题12分)
第 3 页，共 9 页
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 = ( 1, 1), = ( 2, 2).作： = ， = ，当
, 不共线时，记以 , 为邻边的平行四边形的面积为 ( , ) = | 1 2 2 1|；当 , 共线时，规定
( , ) = 0．
(1)已知 = (1,2), = (2,4)，求 ( , )；
(2)若向量 = + ( , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)，求证： ( , ) + ( , ) = (| | + | |) ( , )；
(3)记 = , = , = ，且满足 = + ( > 0, , ∈ ), ⊥ , | | = | | = | | = 1，求
( , ) + ( , )的最大值．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】 > 2且 ≠
2
13.【答案】1
14.【答案】√ 5
→ → → →
15.【答案】解：(1)将不等式| + | ≥ | + |两边同时平方，
2 2 2 2
得 + 2 + 2 · + + 2 · ，
2 2
即 2 + 2 · 2 · 0
→ → → →
因为| | = √ 3，| | = 1，设 与 的夹角为 ，
则 2 + 2√ 3 cos 1 2√ 3cos 0恒成立，
所以 = (2√ 3cos )2 4( 1 2√ 3cos ) 0，
√ 3
即(cos + )2 0，
3
√ 3
解得 = ．
3
√ 3
(2) 由(1)知 = ．
3
2 2则 · ( + 2 ) = + 2 · = + 2| || |cos
√ 3
= 3 + 2√ 3 × 1 × ( ) = 1，
3
第 5 页，共 9 页
2
| + 2 2
2
| = + 4 · + 4
√ 3
= 3 + 4 × √ 3 × 1 × ( ) + 4 = 3，
3
则| + 2 | = √ 3，
→ → →
→ → → ·( +2 )
则 < ， + 2 >= → → →
| |·| +2 |
1 1
= = ，
√ 3×√ 3 3
→ → → 1
故 与 + 2 夹角的余弦值为 ．
3
16.【答案】【详解】(1)设| | = ，则| | = | | = ，| | = 2 , | | = √ 5 ，
又| | = (√ 5 1) = 4，
所以 = √ 5 + 1，
又2 = + + + = + + + ，
所以 + = 0, | | = | | = ，
所以| | = √ 2 ，
所以| | = (√ 2 1) = (√ 2 1)(√ 5 + 1) = √ 10 √ 5 + √ 2 1．
(2)因为 (2 + 3 ) = [2( + ) + 3( + )]
= (5 + 2 + 3 )，
又点 分
3 3
所成的比为 ，即 = ，所以2 + 3 = 0 ，
2 2
则 (2 + 3 ) = 5 ，
设| | = (0 ≤ ≤ 4)，则| | = 4 ，
当 = 0或 = 4时 (2 + 3 ) = 5 = 0，
当0 < < 4时 (2 + 3 ) = 5
+4 2
= 5 (4 ) ≥ 5( ) = 20，当且仅当 = 4 ，即 = 2时取等号．
2
即 (2 + 3 )的最小值为 20．
17.【答案】【详解】(1)因为( + )(sin sin ) = ( )sin ,，
所以由正弦定理可得( + )( ) = ( ) ，整理得 2 + 2 2 = ，
2
2
+ 2 1
故cos = = = ，
2 2 2
因为 ∈ (0, )，所以 = ．
3
第 6 页，共 9 页
(2)如图，
2 1
由题意可得 = , = ，
3 2
2 2
因为 , , 三点共线，故可设 = + (1 ) = + (1 ) = + 2(1 ) , ∈
3 3
，
2 3
又因 , , 三点共线，故 + 2(1 ) = 1 = ，
3 4
1 1 1 1 3所以 = + ，故 + = + = ．
2 4 2 4 4
(3)因为
2 2 1 1 1
= + = + = + ( ) = + ,
3 3 2 3 3
所以 =
1 1 1
= + (
1 1 1 1 + ) = = (2 )，
2 4 3 3 6 12 12
1 √ 3
因为 △ = sin = ，所以 = 1， 2 4
1于是| |= | 2 |，两边平方化简得：
12
2 2
144|
|2 = (2 )2 = 4 4 + = 4 2 4 cos + 2 = 4 2 2 + 2 ≥ 4
3
2 = 2 = 2，当且仅当2 = 时取等号，
2 √ 2
所以144| |2 ≥ 2，即| | ≥ √ = ．
144 12
√ 2
所以| |的最小值为 ．
12
1
18.【答案】【详解】(1)由题意可得 = ，
3
1 1 2 1
所以 = + = + = + ( ) = + ．
3 3 3 3
2 1
(2)设 = ，由(1)得 = + ，
3 3
所以
2 1 4 1
= + = + ，
3 3 3 3
即
4 1
= + ．
3 3
第 7 页，共 9 页
4 1 5
因为 , , 三点共线，所以 + = 1，解得 = ，
3 3 3
所以
4
=
1
+ ，
5 5
又 = + = + = + ( ) = (1 ) + ．
4
1 = 1
所以{ 5，解得 = ．
1 5
=
5
(3)设 = , = ( > 0, > 0)，
因为 , 分别是 , 的中点，所以 是 的重心，
1 1 1 1所以 = + = + ．
3 3 3 3
1 1 1 1
因为 , , 三点共线，所以 + = 1，即 + = 3．
3 3
3 1
所以 2 = △ △ = △ ， = 4 1 △ △ = ( ) 4 △ ，
1
所以 1
= 4
3
．
2
4
1 1 +
因为 + = 3，所以 = 3，即 + = 3 ≥ 2√ ，
4 2
所以 ≥ ，当且仅当 = = 时等号成立，
9 3
4 1
7
所以( 1) = 9 4 = ．
32 min 274
19.【答案】【详解】(1)由 = (1,2), = (2,4)，得 ( , ) = |1 × 4 2 × 2| = 0．
(2)由向量 = ( 1, 1), = ( 2, 2)，向量 = + ，得 = ( 1 + 2, 1 + 2)，
因此 ( , ) = |( 1 + 2) 1 ( 1 + 2) 1| = | || 1 2 2 1|，同理 ( , ) = | || 1 2 2 1|，
所以 ( , ) + ( , ) = (| | + | |)| 1 2 2 1| = (| | + | |) ( , )．
(3)依题意， = + , > 0, , ∈ ， ⊥ ，
3
则当 , = 为锐角时， , = ，当 , = 为钝角时， , = ，
2 2
1 1
当 , = 为锐角时， ( , ) + ( , ) = 2 | || |sin , + 2 | || |sin ,
2 2
= sin + sin ( ) = sin + cos = √ 2sin ( + )
2 4
当 = 时， ( , ) + ( , )取到最大值√ 2；
4
1 1
当 , = 为钝角时， ( , ) + ( , ) = 2 | || |sin , + 2 | || |sin ,
2 2
第 8 页，共 9 页
3
= sin + sin( ) = sin cos = √ 2sin( )，
2 4
3
当 = ，即 = 时， ( , ) + ( , )取得最大值√ 2，
4 2 4
所以 ( , ) + ( , )的最大值√ 2．
第 9 页，共 9 页
