2024-2025学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期1月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.房间里有盏电灯，分别由个开关控制，至少开盏灯用以照明，则不同的方法种数是( )
A. B. C. D.
4.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
6.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
8.设函数若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点，，，则( )
A.
B. 方向上的单位向量坐标是
C. 是平面的一个法向量
D. 在上的投影向量的模为
10.已知函数，则 ( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
11.若数列前项和，满足，其中，，则称是数列( )
A. 若，则是数列 B. 若，则是数列
C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足，且，则 ．
13.函数的极小值点为，则实数的值为 ．
14.设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为为圆心，且，使得，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值；
讨论函数的单调性．
16.本小题分
已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，
，且．
求数列，的通项公式
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，．
证明：平面平面
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，且的周长为设的中点为为坐标原点，直线与直线相交于点．
求椭圆的标准方程．
是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
求的正弦值的最大值．
19.本小题分
已知函数定义域为，，若，，当时，都有则称为在上的“点”．
设函数．
(ⅰ)当时，求在上的最大“点”；
(ⅱ)若在上不存在“点”，求的取值范围；
设，且，．
证明：在上的“点”个数不小于
参考答案
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15.解：由，有，，
可得曲线在点处的切线方程为，
整理为，
代入原点，有，可得，
故实数的值为；
由，，
当时，在上恒成立，
可得函数的增区间为，没有减区间；
当时，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为．
综上可知，当时，在单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
16.解：设等比数列的公比为，因为，
所以，所以．
所以，所以，
所以，所以，
所以，．
由可得，
所以，
，
所以
，所以．
17.解：证明：取的中点，连接，，．
四边形为平行四边形，又因为，，
所以为等边三角形，所以，，
在中，，，
因为，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
．
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即，令，得，
则，即，令，得，
，则，
故二面角的正弦值为．
18.【详解】由题意
故椭圆的标准方程为．
显然的斜率不为，设的方程为，
联立，得，
，
，
，直线的方程为，从而，
，
若为等腰三角形，则，
又，
存在直线使得为等腰三角形，此时的方程为或．
由知，，
，同理，
，
当且仅当时取等号，最大值时，取最大值，
最大值时有，
，即的正弦值的最大值为．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是结合两角和的正切公式结合值域化简得出最大值即可．
19.当时，，则，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
即对，，当时，都有，
即在上的最大“点”为；
由题意可得在时恒成立，，
令，，则
当时，恒成立，故在上单调递减，
则，
故在上单调递减，此时，符合要求
当时，令，则，
则当，即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去
当，即时，恒成立，
故在上单调递减，则，
故在上单调递减，此时，符合要求
当，即时，
若，，若，，即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有，
解得，
由，
故，由，
故，即当时，符合要求
综上所述，
若在上的“点”个数为，则，符合要求若在上的“点”个数为，
令在上的“点”分别为、、，其中、，，、，
若，则若，由，则，即，若，
由题意，，，
故，即，又，故，符合要求
若，则，，，，
由，则，若，即，
则，若，
由题意，，且，又，故，即，，，，
即有，即，
由，故，又，
故，即在上的“点”个数不小于．
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