浙江省台州市温岭中学 2024-2025 学年高一（下）3 月考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 2,1,2}, = { | 2 ≤ ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. ( 2,1) B. [ 2,1] C. { 2,1} D. { 2,1,2}
2.设命题 : > 0, 2
1
+ ≥ 2，则命题 的否定为( )
1 1
A. > 0, 2 + < 2 B. ≤ 0, 2 + ≥ 2
C. ≤ 0, 2
1 1
+ < 2 D. > 0, 2 + < 2
3.已知角 的终边上一点 的坐标为( 1,2)，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则tan( + ) =( )
4
1 1
A. B. C. 3 D. 3
3 3
1
4.若向量 ， 满足| | = | | = 1，且 ( ) = ，则向量 与 的夹角为( )
2
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
5.已知 = 89, = 0. 5
7, = 0.810，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1 0.2 1
6.若 = ( ) , = 3 , = 6
0.2，则 , , 的大小关系为( )
3 2
A. > > B. > > C. > > D. > >
2
7.已知 , 为正实数且 + = 2，则 + 的最小值为( )
3 5
A. B. √ 2 + 1 C. D. 3
2 2
1
8.已知函数 ( ) = 2sin ( ) , ( > , ∈ )，若 ( )的图象的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标均不
6 2
属于区间(3 , 4 )，则 的取值范围是( )
11 17 17 23 5 2 8 11
A. [ , ] ∪ [ , ] B. [ , ] ∪ [ , ]
18 24 18 24 9 3 9 12
1 2 8 7 1 17 17 29
C. ( , ] ∪ [ , ] D. ( , ] ∪ [ , ]
2 3 9 6 2 24 18 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递减的是( )
1
A. = 2 B. =
2 + 1 C. = D. = 1| |
2
第 1 页，共 8 页
1
10.已知 ∈ (0, )，sin + cos = ，则下列结论正确的是( )
5
12
A. sin cos = B. ∈ ( , )
25 2
7 4
C. sin cos = D. tan =
5 3
|lg |, > 0, ( )
11.已知函数 ( ) = { 若函数 = ( )所有零点的乘积为1，则实数 的值可以为( ) 3 + 2, ≤ 0,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 3, ( > 0) 1 1
12.已知函数 ( ) = { ，则 ( ) + ( )的值为 ．
2 + 3, ( ≤ 0) 4 2 3
13.已知实数 ， 满足( + 1)2 + 2 = 1，则 = 27 36 的最大值是 ．
0 1
14.设 为实数，若实数 0是关于 的方程
+ (1 ) = ln + ln 的解，则 = ．
0
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
+1
已知全集 = ，集合 = { | ≤ 2}，集合 = { || 1| < 3}．
2
(1)求集合( ) ∩ ；
(2)设集合 = ( ) ∩ ，若集合 = { | < < + 1}，且 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，求实数 的取
值范围．
16.(本小题12分)
在直角梯形 中，已知 // ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 2，点 是 边上的中点，点 是
边上一个动点．
1(1)若 = ，求 的值；
2
(2)求 的取值范围．
17.(本小题12分)
第 2 页，共 8 页
+
已知函数 ( ) = 2 是定义在 上的奇函数， ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) =
2 + + 1．
+4
(1)求 ( )和 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在区间( 2,2)上的单调性并证明；
(3)若对 ∈ [ 1,2]，都有 ( ( )) < ( 4 )，求实数 的取值集合．
18.(本小题12分)
某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋
转﹐旋转一周所需时间为 = 24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12(可视为点).现4号座
舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为 分钟．
(1)求1号座舱与地面的距离 与时间 的函数关系 ( )的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时 的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为 米，若在0 ≤ ≤ 0这段时间内， 恰有三次取得最大值，求
0的取值范围．
19.(本小题12分)
定义：若对定义域内任意 ，都有 ( + ) > ( )( 为正常数)，则称函数 ( )为“ 距”增函数．
(1)若 ( ) = 2 ， ∈ (0, +∞)，试判断 ( )是否为“1距”增函数，并说明理由；
1
(2)若 ( ) = 3 + 4， ∈ 是“ 距”增函数，求 的取值范围；
4
2
(3)若 ( ) = 2 + | |， ∈ ( 1, +∞)，其中 ∈ ，且为“2距”增函数，求 ( )的最小值．
第 3 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】81
1
14.【答案】 或 1
+1 +1 +1 2 +4 +5
15.【答案】解：(1) ≤ 2 2 ≤ 0 ≤ 0 ≤ 0，
2 2 2 2
( )( )
等价于{ 5 2 ≥ 0，解得 ≥ 5或 < 2，
2 ≠ 0
故 = { | ≥ 5或 < 2}， = { |2 ≤ < 5}，
而 = { || 1| < 3} = { | 3 < 1 < 3} = { | 2 < < 4}，
所以( ) ∩ = { |2 ≤ < 5} ∩ { | 2 < < 4} = { |2 ≤ < 4}．
(2)由(1)知， = { |2 ≤ < 4}，
由 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，故 为 的真子集，
又 = { | < < + 1} ≠ ，
≥ 2
故{ ，解得2 ≤ ≤ 3，
+ 1 ≤ 4
故实数 的取值范围是2 ≤ ≤ 3．
16.【答案】解：(1)由图知： = + ， = = ，
所以
1 1 1
= + = + = ( )，
2 2 2
第 4 页，共 8 页
2
所以
1 1
= ( + ) ( ) = ( + )，
2 2
又 = 2 = 2 = 2， // ，∠ = 90 ，
1 1
所以 = × (0 + 1 × 2 12 0) = ．
2 2
1 1
(2)由(1)知： = + = + = + ( )，
2 2
令
1 1
= 且0 ≤ ≤ 1，则 = = (1 ) ， = ( ) + ( )，
2 2
1 2 2
所以 = ( )
1 1 1
(1 )( ) + ( + ) ( ) = (
2 2 2 2
1 1 1 1
1)( + ) + = ( )2 ．
2 2 4 16
则
1 1
∈ [ , ]．
16 2
+
17.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2 是定义在 上的奇函数， +4
所以 (0) = = 0，即 = 0，
4
所以 ( ) = 2 ，且满足 ( ) = 2 = ( )，即 ( ) = ； +4 +4 2+4
设 < 0，则 > 0，
即 ( ) = ( )2 + ( ) + 1 = 2 + 1，
又 ( )是定义在 上的偶函数，
则 ( ) = ( ) = 2 + 1，
2 + + 1, ≥ 0
所以 ( ) = { ；
2 + 1, < 0
(2) ( )在区间( 2,2)上单调递减，
证明：任取 1, 2 ∈ ( 2,2)，且 1 < 2，
2 4 + 2+4
则 ( 1) ( ) =
1 2
2 2 2 =
1 2 1 2 1 2
1+4 2+4 (
2
1+4)(
2
2+4)
1 2( 1 2)+4( 2 1) ( 1 2)( 1 2 4)= 2 2 = 2 ， ( 1+4)( 2+4) ( 1+4)(
2
2+4)
由 2 < 1 < 2 < 2 ，
可得 1 2 < 0，
2 2
1 2 4 < 0， 1 + 4 > 0， 2 + 4 > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以 ( )在区间( 2,2)上单调递减；
第 5 页，共 8 页
(3)因为 ( )是定义在 上的偶函数，
1
且当 ≥ 0时， ( ) = 2 + + 1，其对称轴为 = ，
2
所以当 ≥ 0时， ( )单调递增，
对 ∈ [ 1,2]，都有 ( ( )) < ( 4 )，
即| ( )|max < | 4 |，
由(1)可知， ( )是定义在 上的奇函数，
且 ∈ [ 1,2]时， ( )单调递减，
2 1
所以| ( )|max = | (2)| = | | = ， 4+4 4
1 1 1
所以| 4 | > ，即 4 > 或 4 4 4
< ，
4
1 1
当 4 > 时，即 4 4 > 44
4 = 4√ 2，解得 > √ 2，
1 1 √ 2 √ 2
当 4 < 时，即 4 < 4
4 4 = 4 ，解得0 < < ， 4 2 2
√ 2
综上所述，实数 的取值集合为{ | > √ 2或 0 < < }．
2
18.【答案】解：(1)设1号座舱与地面的距离 与时间 的函数关系的解析式为 ( ) = sin ( + ) + ( >
0, > 0, ≥ 0)，则 = 30， = 32，
所以 ( ) = 30sin( + ) + 32( > 0)，
2
依题意 = 24min，所以 = = ( /min)，
12
当 = 0时 ( ) = 32，所以 = 0，
故 ( ) = 30sin + 32( ≥ 0)；
12
(2)令 ( ) = 17，即30sin + 32 = 17，
12
1
所以sin = ，
12 2
又0 ≤ ≤ 24，所以0 ≤ ≤ 2 ，
12
7 11
所以 = 或 = ，解得 = 14或 = 22，
12 6 12 6
即 = 14或 = 22时，1号座舱与地面的距离为17米；
(3)依题意 1 = 30sin + 32， 5 = 30sin ( + 8) + 32， 12 12
第 6 页，共 8 页
所以 = |(30sin + 32) [30sin ( + 8) + 32]|
12 12
= |30sin 30sin ( ( + 8)) |
12 12
2
= 30 |sin sin ( + )|
12 12 3
3 √ 3
= 30 | sin cos |
2 12 2 12
= 30√ 3 |sin ( )|，
12 6
令 = + , ∈ ，解得 = 8 + 12 , ∈ ，
12 6 2
所以当 = 8 + 12 , ∈ 时， 取得最大值，
故8 + 12 × 2 ≤ 0 < 8 + 12 × 3，解得32 ≤ 0 < 44，
所以 0 ∈ [32,44)．
19.【答案】解：(1)对任意的 ∈ (0, +∞)， ( + 1) ( ) = (2 +1 1) (2 ) = 2 1，
∵ > 0，2 > 1 ∴ 2 1 > 0，
∴ ( + 1) ( ) > 0，
故 ( )是“1距”增函数；
1 1 1
(2) ∵ ( + ) ( ) = ( + )3 ( + ) + 4 3 + 4 = 3 2 + 3 2 + 3 ，
4 4 4
又 ( )为“ 距”增函数，
∴ 3 2
1
+ 3 2 + 3 > 0恒成立，
4
∵ > 0，
1
∴ 3 2 + 3 + 2 > 0恒成立，
4
1
∴ = 9 2 12( 2 ) < 0，
4
∴ 2 > 1，∴ > 1；
2
(3) ∵ ( ) = 2 + | |， ∈ ( 1, +∞)，其中 ∈ ，且为“2距”增函数，
∴当 > 1时， ( + 2) > ( )恒成立，
∵ = 2 增函数，
∴ ( + 2)2 + ( + 2) > 2 + | |
当 ≥ 0时，( + 2)2 + ( + 2) > 2 + ，即4 + 4 + 2 > 0恒成立，
第 7 页，共 8 页
∴ 4 + 2 > 0，解得 > 2，
当 1 < < 0时，( + 2)2 + ( + 2) > 2 ，即4 + 4 + 2 + 2 > 0恒成立，
∴ ( + 1)( + 2) > 0，解得 > 2，
综上所述 > 2，
2
又 = 2 + | | = (| | + )2 ，
2 4
∵ > 1，
∴ | | ≥ 0，
2
当 0时，| | = 0，则 = (| | + )2 的最小值为0，即函数 ( )的最小值为1，
2 4
2 2 2
当 2 < < 0时，即| | = ，函数 = (| | + )2 的最小值 ，函数 ( )的最小值为2 4 ，
2 2 4 4
2
综上所述 ( ) 4min = {2 , 2 < < 0
1, 0
．
第 8 页，共 8 页
