广东省汕尾市普宁华美实验学校 2024-2025学年高二下学期3月月考数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ， ， 为实数，数列 1, , , , 25是等比数列，则 的值为( )
A. 5 B. 5 C. ±5 D. 13
2.“直线 + 1 = 0与直线 1 = 0相互平行”是“ = 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知点 为抛物线 : 2 = 4√ 2 的焦点， 为 上一点，若| | = 3√ 2，则 点的横坐标为( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 3
4.已知圆 2 +2 + 2 = 0关于直线 + + 1 = 0( , 为大于0的常数)对称，则 的最大值为( )
1 1
A. B. C. 1 D. 2
4 2
5.已知函数 ( ) = 2 2 ，则( )
A. ( )有极小值，且极小值为0 B. ( )有极小值，且极小值为 2
C. ( )有极大值，且极大值为0 D. ( )有极大值，且极大值为 2
2 2
6.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的两个焦点分别为 1、 2，点 2到其中一条渐近线的距离为3，点 是
双曲线上一点，且∠ 1 2 = 60
，则| 1|| 2| =( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
7.设 为等差数列{ }的前 项和，且 ∈
，都有 > +1，若 7 8 < 0，则( ) +1
A. 的最小值是 7 B. 的最小值是 8 C. 的最大值是 7 D. 的最大值是 8
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8.已知抛物线 : 2 = 4 ，其中 ， 是过抛物线焦点 的两条互相垂直的弦，直线 的倾斜角为 ，当 =
45 时，如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”的面积为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,1,0), = (0,1,1), = (1,2,1)，则下列结论正确的是( )
A. 向量 与向量 的夹角为
6
B. ⊥ ( )
1 1
C. 向量 在向量 上的投影向量为(0, , )
2 2
D. 向量 与向量 , 共面
10.等差数列{ }的前 项和为 ，若 1 > 0，公差 ≠ 0，则( )
A. 若 4 > 8，则 12 < 0 B. 若 4 = 8，则 6是 中最大的项
C. 若 5 > 6，则 4 > 5 D. 若 3 > 4，则 4 > 5
1
11.已知函数 ( ) =
+ sin + ， ∈ ，则下列结论正确的是( )
+1
1
A. 当 = 时， ( )为奇函数
2
B. ( )的图象关于直线 = 对称
2
C. 当 = 0时， 0 ∈ [0,2 ]， ( 0) < 0
1
D. 若 ∈ [0, ]， ( ) > 0，则 > +1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数列{ }的前 项和为 ，已知 = 1 2 +3 4 + + ( 1)
1 ，则 17 = ．
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13.如图，已知 是圆柱下底面圆的圆心， 1为圆柱的一条母线， 为圆柱下底面圆周上一点， = 1，
2
∠ = ， 1 为等腰直角三角形，则异面直线 1 与 所成角的余弦值为 ． 3
1
14.已知函数 ( ) = ln ，若对任意的 ≥ ， ( ) ≤ 0成立，则正数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 3 2．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)已知 = 1时，直线 : = 为曲线 ( ) = 2 3 2的切线，求实数 的值．
16.(本小题12分)
2 2 2 √ 3
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦点与椭圆 +
2 = 1的焦点重合，其渐近线方程为 = ± .
5 3
(1)求双曲线 的方程;
1
(2)若 ， 为双曲线 上的两点，且直线 : = 过 的中点，求直线 的斜率．
3
17.(本小题12分)
如图，四边形 是边长为1的正方形， ⊥平面 ， ⊥平面 ，且 = = 1．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ．
18.(本小题12分)
已知圆 的半径为3，圆心 在射线 = 2 ( ≥ 0)上，直线 + 1 = 0被圆 截得的弦长为3√ 2．
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(Ⅰ)求圆 方程;
(Ⅱ)过点 (2,0)的直线 与圆 交于 、 两点，且△ 的面积是6( 为坐标原点)，求直线 的方程．
19.(本小题12分)
已知正项数列{ }( ∈
)的前 项和为 ，且2 2 = + .当 ≥ 4时，将 1 , 2 , , 进行重新排列，构成
新数列{ }，使其满足：| +1 | = 2或|
+1 | = 3(其中 ∈ ，1 ≤ < ).
(1)当 = 5时，写出所有满足 1 = 2的数列{ }；
(2)试判断数列{ }是否为等差数列，并加以证明；
(3)当 = 80时，数列{ }满足： 5, 10, , 5 , , 80( = 1,2,3, ,16)是公差为 且( > 0且 ≠ 4)的等差
数列，求公差 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】9
√ 3
13.【答案】
4
1
14.【答案】[ ,+∞)
15.【答案】【详解】(1) ′( ) = 6 2 2 = 2 (3 )．
令 ′( )
= 0，得 = 0或 = ．
3
( 若 > 0，则当 ∈ ∞,0) ∪ ( ,+∞)时， ′( ) > 0；当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0．
3 3
故 ( )在( ∞,0), ( ,+∞)上单调递增，在(0, )上单调递减；
3 3
若 = 0时， ( ) = 2 3， ( )在( ∞,+∞)上单调递增；
若 < 0，则当 ∈ ( ∞, ) ∪ (0,+∞)时， ′( ) > 0；当 ∈ ( , 0)时， ′( ) < 0．
3 3
( 故 ( )在 ∞, ) , (
0,+∞)上单调递增，在( , 0)上单调递减．
3 3
综上所述：当 > 0时， ( )在( ∞,0), ( , +∞)上单调递增，在(0, )上单调递减；
3 3
当 = 0时， ( )在( ∞,+∞)上单调递增；
< 0时， ( )在( ∞, ) , (0,+∞)单调递增，在( , 0)单调递减．
3 3
(2)当 = 1时， ( ) = 2 3 2 , ′( ) = 6 2 2
设切点 ( 0 , 0)，则切线方程为 0 = (2
3 2 20 0) = (6 0 2 0)( 0)
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因为切线过原点，故 2 30 +
2
0 = 6
3
0 + 2
2
0，即4
3 2
0 = 0，
1
解得 0 = 0或 0 = 4
1
所以 = 0或 = ．
8
2 2 2
16.【答案】解：(1)因为双曲线 : = 1( > 0, > 0)的焦点与椭圆 + 2 = 1的焦点重合，
2 2 5
所以 2 + 2 = 5 1 = 4．
√ 3
因为双曲线 的渐近线方程为 = ± ，
3
√ 3
所以 = ．
3
解得 = √ 3， = 1．
2
所以双曲线方程为 2 = 1
3
1
(2) ①当直线 过原点时， = 过 的中点恒成立，因为直线 与双曲线相
3
√ 3 √ 3 1
交，所以 < < ，且 ≠ ． 3 3 3
2 2
②当直线 不经过原点时，设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，则
1 2 2 2
3 1
= 1， 2 = 1， 3
( 1 2)( 1+ 2)
两式相减得 ( 1 2)( 1 + 2) = 0， 3
+ 1
即 1 2 1 2 = ．
1 2 1+ 2 3
1+ 2 1+ 2) 1 1+ 2 1由 的中点( , )在直线 2： = 上，得 = ． 2 2 3 1+ 2 3
所以 1 2 = 1，即 = 1．
1
2
17.【答案】【详解】(1)证明：因为四边形 是边长为1的正方形，
⊥平面 ， ⊥平面 ，且 = = 1．
所以以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
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(0,1,0)， (1,1,1)， (1,0,0)， (0,0,1)， (0,0,0)，
= (1,0.1)，平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
= 0，所以 ⊥ ，因为 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)由(1)可得 = (0,1,1)，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
{ = + = 0则 ，令 = 1，得 = (1, 1,1)，
= + = 0
(1,1,0)， = (0,1, 1)， = (1,1, 1)，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
= + = 0
则{ ，令 = 1，得 = (0,1,1)，
= = 0
= 1 + 1 = 0，所以 ⊥ ，
所以平面 ⊥平面 ．
18.【答案】解：
(Ⅰ)设圆心 ( , 2 )( ≥ 0)，则圆的方程为( )2 + ( +2 )2 = 9
2 1
∴ 3√ 2 = 2√ 9 ( )2，∴ = 2 或 4(舍去)
√ 2
∴圆的方程为( 2)2 + ( + 4)2 = 9
(Ⅱ)①当斜率不存在时，此时直线 方程为 = 2，原点到直线的距离为 = 2，
令 = 2代入圆方程得 = 1 或 7，∴ | | = 6，
1
∴ △ = × 6 × 2 = 6满足题意.此时方程为 = 2． 2
②当斜率存在时，设直线 的方程为 = ( 2)，
4
圆心 (2, 4)到直线 的距离 = ，
√ 2 +1
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2
4 2 9 7| | = 2√ 9 ( ) = 2√ 2 √ 2 +1 +1
2
|2 | 1 √ 9 7 |2 |原点 到直线 的距离 = ，∴ △ = × 2 2 × = 6
2 √ 2 +1 √ 2 +1 +1
整理，得25 2+ 9 = 0，此时 无解．
综上所述，所求的直线的方程为 = 2．
19.【答案】【详解】(1) ∵ 2 2 = + ，①
∴当 = 1时，2 = 21 1 +1，即( 1 1)
2 = 0，∴ 1 = 1．
当 ≥ 2时，2 1 =
2
1 + ( 1)，②
由① ②得：2 = 2 2 2 2 1 + 1，即 1 = ( 1) ．
∵ > 0， 1 = 1，∴ 1 = 1，即 1 = 1．
∴数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴ = ( ∈
)．
由题意可得当 = 5且 1 = 2的数列{ }为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4．
(2)数列{ }不可能为等差数列，证明如下：
假设{ }是等差数列，公差为 ，
当 > 0时，由题意知， = 2或3，此时， ≥ 1 +2 > 1+ 1( = 2,3, , )．
∴ 1+ 1不是等差数列{ }中的项，与题意不符．
∴ { }不可能是等差数列；
当 < 0时，由题意， = 2或 3．
此时， ≤ 1 2 < 1 1( = 2,3,4, , )．
∴ 1 1不是等差数列{ }的项，与题意不符．
∴ { }不可能是等差数列．
综上所述，{ }不可能是等差数列．
(3)由题意， ∈ ，
当 ≥ 6时，∵ 5 ≥ 1，∴ 80 = 5 + 15 ≥ 1 +90 = 91，与题意不符；
当 ≤ 3时，记 = { 5 4 , 5 3 , 5 2 , 5 1 , 5 }( = 1,2,3, ,16)，
当80 ∈ ( = 1,2,3, ,16)时， 5 ≥ 80 4 × 3 = 68，
∴ 5 = 5 ( ) ≥ 68 (16 1) × 3 = 23，
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记( )min表示集合 中元素的最小值，则( )min ≥ 23 4 × 3 = 11．
∴ 1 ( = 1,2,3, ,16)，与题意不符；
, = 5 4,
+ 1, = 5 3,
当 = 5时，取 = + 2, = 5 2此时数列{ }满足题意．
2, = 5 1,
{ 1, = 5 ,
综上所述， = 5．
【点睛】知识点点睛：本题考查了由 与 的关系式求 ，考查了等差数列的证明方法和基本量的计算，
考查了分析问题，逻辑推理，分类讨论方法，属于较难题．
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