河南省豫东名校 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,2,4,6}， = {1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2,3,4,6} B. {1,3} C. {2} D. {0}
8
2.函数 ( ) = 3 (2 1) + 的定义域为( )
1
1 1 1
A. (1, +∞) B. ( , +∞) C. [ , 1) ∪ (1, +∞) D. ( , 1) ∪ (1, +∞)
2 2 2
3.已知 ， ∈ ，则“( 2)( 2) = 0”是“( 2)2 + | 2| = 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角(正角)的弧度数是( )
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
5.设函数 ( ) = 2 + 4 + 12， ( ) = log (0 < < 1)，则函数 = ( ( ))的单调递减区间为( )
A. (2,6) B. (6, +∞) C. ( ∞, 2) D. ( 2,2)
6.若函数 ( ) = tan( + )( > 0)的最小正周期为2 ，且函数 ( )在区间( , )上单调递增，则 的
12
取值范围是( )
7 5 5 7
A. (0, ] B. (0, ] C. (0, ] D. (0, ]
6 6 12 2
3 + 1, ≤ 0, 4
7.已知函数 ( ) = { 则不等式 ( ) + ( ) > 4的解集为( ) 4 , > 0, 3
3 1 1
A. ( , +∞) B. (1, +∞) C. ( , +∞) D. ( , +∞)
2 2 3
8.已知 克糖水中含有 克糖，若再添加 克糖溶解在其中，则糖水变得更甜(即糖水中含糖浓度更大)，对应
+
的不等式为 > ( > > 0, > 0)，若 1 = log32， 2 = log2114， 3 = log + 63
28，则( )
A. 1 < 3 < 2 B. 1 < 2 < 3 C. 3 < 2 < 1 D. 3 < 1 < 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若角 的终边上有一点 ( , 3 )( ≠ 0)，则 2 的值可以是( )
√ 10 √ 10 √ 10 √ 10
A. B. C. D.
10 2 10 2
10.下列说法正确的是( )
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A. 函数 ( ) = 2 4( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2, 3)
2
(√ )
B. 函数 ( ) = 与 ( ) = 2表示同一个函数 (√ )
√ 2+4+1
C. 函数 ( ) = √ 2 + 4 + 的最小值为3
√ 2+4
D. 若关于 的不等式 2 + 2 + < 0的解集为{ | < 1或 > 2}，则 = 6
11.已知 ( )是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意的 ， ∈ ，都有 ( ) = ( ) + ( )，则下列
说法正确的是( )
A. (0) = 0
B. ( )是偶函数
1 1
C. 若 (2) = 2，则 ( ) =
4 2
( )
D. 若当 > 1时， ( ) > 0，则 ( ) = 在(0, +∞)上单调递增
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1
12.已知幂函数 ( ) = 在[0,+∞)上单调递增，且 ( ) > ，请写出一个满足条件的 的值为______．
2025 2025
13.若命题“ ∈ [ 1,2]，使得2 2 + 10 ≥ 0”是假命题，则 的取值范围是______．
14.设 > 1， > 3，且3 + = 24，则log3( 1) log3( 3)的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 + 4 > 0}， = { | 1 < 2 < 1}．
(1)当 = 2时，求 ∩ ( )；
(2)若 ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
5 3
1 cos( + ) sin( + )
(1)已知 = ，求 2 2 的值；
7 2 ( +5 )+cos(4 )
(2)若 < < ，且2 + = 1，求 的值．
2
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 (2 )．
6
(1)求函数 ( )的最小正周期和单调递减区间；
5
(2)若函数 ( )在区间[ , ]上的值域为[ 2, √ 3]，求 的取值范围．
12
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18.(本小题12分)
已知函数 = ( > 0且 ≠ 1)在[2,4]上的最大值和最小值之和为20，函数 ( ) = + 是奇函数． +1
(1)求 和 的值；
(2)用函数单调性的定义证明：函数 ( )在 上单调递增；
(3)若函数 ( ) = [ ( ) + (1 )] 1恰有两个不同的零点，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
对于函数 ( )，若存在实数 ，使得等式 ( ) (2 ) = 对定义域中每一个实数 都成立，则称函数 ( )
为 ( )型函数．
(1)若函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)是 (9)型函数，求 的值；
(2)已知函数 ( )的定义域为[ 2,4]， ( )恒大于0，且 ( )是 (4)型函数，当 ∈ (1,4]时， ( ) = ( 22 ) +
2 + 2．
16
①若 (2 2√ 2) = ，求 ( )的解析式；
11
②若 ( ) ≥ 1对任意的 ∈ [ 2,4]恒成立，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】 (答案不唯一，满足0 < < 1即可)
3
13.【答案】( 4,2)
9
14.【答案】
4
15.【答案】解：(1) = { | 2 + 4 > 0} = ( ∞, 4) ∪ (0, +∞)，
= { | 1 < 2 < 1} = { |2 1 < < 2 + 1}，
当 = 2时， = ( 5, 3)，
∴ = ( ∞, 5] ∪ [ 3, +∞)，
∴当 = 2时， ∩ ( ) = ( ∞, 5] ∪ (0，+∞)．
(2) ∵ = ( ∞, 4) ∪ (0,+∞)， = { |2 1 < < 2 + 1}，
，∴由题意得 ≠ ，
∴ 2 + 1 ≤ 4或2 1 ≥ 0，
5 1
解得 ≤ 或 ≥ ，
2 2
5 1
∴当 时， 的取值范围是( ∞, ] ∪ [ , +∞)．
2 2
1
16.【答案】解：(1)已知 = ，
7
5 3 3
cos( + ) sin( + ) cos( + ) sin( + )
则 2 2 = 2 2
2 ( +5 )+cos(4 ) 2 ( + )+cos( )
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1
+ +1 +1 6
= = = 7 = ．
2 +cos 2 +1 1 2× +1 5
7
(2)因为2 + = 1，
又sin2 + cos2 = 1，
又 < < ，
2
4 3
所以 = ， = ，
5 5
4 3 7
所以 = ( ) = ．
5 5 5
17.【答案】解：(1)解：函数 ( )
2
的最小正周期 = = ，
2
3 5
令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 6 2 3 6
5
即 ( )的单调递减区间为[ + , + ]( ∈ )；
3 6
5 2
(2)当 ∈ [ , ]时，2 ∈ [ , 2 ]，
12 6 3 6
令 = 2
2
6，即 ∈ [ , 2 ]， 3 6
画出 = 2 上的图象如图，
因为 ( )
5
在[ , ]的值域为[ 2, √ 3]，
12
3 7
所以 ≤ 2 ≤ ，
2 6 2
5 5 5 5
解得 ≤ ≤ ，即 的取值范围为[ , ]．
6 4 6 4
18.【答案】解：(1)当 > 1时，函数 = 在[2,4]上单调递增；
当0 < < 1时，函数 = 在[2,4]上单调递减，
所以函数 = 在[2,4]上的最大值与最小值之和为 2 + 4 = 20，
即 4 + 2 20 = 0，( 2 4)( 2 + 5) = 0，
解得 = 2．
2
所以 ( ) = + ， 2 +1
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( )的定义域为 ，
又函数 ( )是奇函数，
20 1
所以 (0) = 0 + = + = 0， 2 +1 2
1
解得 = ，
2
1 2 1
当 = 时， ( ) =
2 2
，
+1 2
2 1 1 1 1 1 2 1
所以 ( ) = = =2 +1 2 2 +1 2 2
1 + = + = ( )， +1 2 2 +1 2
所以函数 ( )是奇函数，满足题意，
1
所以 = 2， = ；
2
(2)证明：任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
2 1 1 2 2 1 2 1 2 2
所以 ( 1) ( 2) = ( ) = 2 1+1 2 2 2+1 2 2 1+1 2 2+1
2 1(2 2+1) 2 2(2 1+1) 2 1 2 2
= = ，
(2 1+1)(2 2+1) (2 1+1)(2 2+1)
又 1 < 2，
所以2 1 < 2 2，2 1 + 1 > 0，2 2 + 1 > 0，
2 1 2 2
所以 < 0， ( ) ( ) < 0，
(2 1+1)(2 2+1) 1 2
即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在 上单调递增．
2 21 2 2 22 +4 2 +2 2
(3)因为 ( ) + (1 ) = + 1 1 =2 +1 2
+ 1 = 1 = ，
2 +1 +1 2+2
22 +3 2 +2 22 +3 2 +2
2
所以 ( ) = [ ( ) + (1 )] 1 = 1 = 0有两个不同的实数解，
22 +3 2 +2
即22 ( 3) 2 + 2 = 0有两个不同的实数解，
令 = 2 ( > 0)，
则 2 ( 3) + 2 = 0在(0,+∞)上有两个不同的实数解，
令 ( ) = 2 ( 3) + 2，
又 (0) = 2 > 0，
( 3)
> 0 > 3
所以{ 2 ，即{ ，
= [ ( 3)]2 8 > 0 > 3 + 2√ 2或 < 3 2√ 2
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解得 > 3 + 2√ 2，
即 的取值范围是(3 + 2√ 2, +∞)．
19.【答案】解：(1)根据题目定义：若存在实数 ，使得等式 ( ) (2 ) = 对定义域中每一个实数 都
成立，
则称函数 ( )为 ( )型函数，
因为函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)是 (9)型函数，
所以 ( ) (2 ) = 9对定义域中每一个实数 都成立，即 2 = 9，
又 > 0且 ≠ 1，所以 = 3．
(2)根据题目定义：若存在实数 ，使得等式 ( ) (2 ) = 对定义域中每一个实数 都成立，
则称函数 ( )为 ( )型函数，
①因为 ( )是 (4)型函数，所以 ( ) (2 ) = 4，
当 = 1时， (1) (1) = 4，又 ( ) > 0，所以 (1) = 2；
令 = 2 2√ 2，得 (2 2√ 2) (2 (2 2√ 2)) = 4，
4 11
所以 (2√ 2) = = ，
(2 2√ 2) 4
又当 ∈ (1,4]时， ( ) = ( 2 )
2 + 2 + 2，
9 3 3 1 11
所以 (2√ 2) = [ 2(2√ 2)]
2 + 2(2√ 2) + 2 = + + 2 = = ， 4 2 2 4 4
解得 = 2，
所以当 ∈ (1,4]时， ( ) = ( 2 )
2 + 2 2 + 2；
当 ∈ [ 2,1)时，2 ∈ (1,4]，
4 4
所以 ( ) = = ．
(2 ) 2 [ 2(2 )] +2 2(2 )+2
( 22 ) + 2 2 + 2,1 < ≤ 4,
2, = 1,
综上， ( ) = {
4
2 , 2 ≤ < 1.
[ 2(2 )] +2 2(2 )+2
②根据题目定义：若存在实数 ，使得等式 ( ) (2 ) = 对定义域中每一个实数 都成立，
则称函数 ( )为 ( )型函数，
因为 ( )是 (4)型函数，所以 ( ) (2 ) = 4，
当 = 1时， (1) (1) = 4，又 ( ) > 0，所以 (1) = 2，满足 ( ) ≥ 1；
当 ∈ (1,4]时， ( ) = ( )22 + 2 + 2 ≥ 1恒成立，
1
令log2 = ，则当 ∈ (0,2]时，
2 + + 2 ≥ 1恒成立，所以 ≥ 恒成立，
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1 1 3 3
而函数 = 在(0,2]上单调递增，则 ≤ ，当且仅当 = 2时取等号，所以 ≥ ；
2 2
当 ∈ [ 2,1)时，2 ∈ (1,4]，
4 4
则 ( ) = =
(2 ) 2
，
[ 2(2 )] + 2(2 )+2
由 ( ) ≥ 1，得0 < [ 22(2 )] + 2(2 ) + 2 ≤ 4，
令log2(2 ) = ，则当 ∈ (0,2]时，0 <
2 + + 2 ≤ 4，
又 2
2
+ + 2 ≥ 1，则只需 ∈ (0,2]时， 2 + + 2 ≤ 4恒成立，即 ≤ + 恒成立，
2 2
又 + ≥ 2√ = 2√ 2，当且仅当 = √ 2时取等号，所以 ≤ 2√ 2，
3
综上， 的取值范围是[ , 2√ 2]．
2
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