甘肃省庆阳市环县一中 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列2， 4，6， 8，…的通项公式可能是( )
A. = ( 1)
2 B. +1 = ( 1) 2 C. = ( 1)
2 D. +1 = ( 1) 2
2.直线 + √ 3 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
3.平面内点 到 1(0, 2)， 2(0,2)的距离之和是8，则动点 的轨迹方程是( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
12 4 16 12 12 4 16 12
4.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，
鱼腹式吊车梁的鱼腹部分 是抛物线的一部分，其宽为8 ，高为0.8 ，
根据图中的坐标系，该抛物线的方程为( )
A. 2 = 20 B. 2 = 10 C. 2 = 20 D.
2 = 10
5.已知平面 的法向量 = ( 1,2,0)，且点 ∈ ， = (12,1, 4)，则点 到平面 的距离为( )
√ 2
A. √ 5 B. 2√ 5 C. D. 4√ 2
4
6.甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分
配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有( )
A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 42种
7.斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列{ }满
足 1 = 2 = 1， +2 = +1 + ( ∈
)，设1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 2023 = ，则 =( )
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
2 2
8.已知 为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点， 为 的左顶点，点 在 上，且 垂直于 轴，若
的斜率为1，则 的实轴长与虚轴长的比值为( )
√ 3 √ 2
A. B. √ 3 C. D. √ 2
3 2
1 2
9.设数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = ，
+1 = ，若 2024 ∈ ( 1, )，则正整数 的值为( ) 2 +1
A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知空间向量 = ( 2, 1,1)， = (3,4,5)，下列结论错误的是( )
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A. | + | = 3√ 5
√ 3
B. ， 夹角的余弦值为
6
C. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 = (4,2, )，且 ⊥ ，则实数 = 2
1
D. 在 上的投影向量为
10
11.若(2 + 1)10 = 0 + 1 + 2
2 + + 1010 ， ∈ ，则( )
A. 0 = 1 B. 0 1 + 2 3 + + 10 = 3
C. 0 + 1 + 2 + +
10
10 = 3 D. 2 + 4 + + 10 = 3
10 1
12.已知点 在圆 ：( 6)2 + ( 5)2 = 16上，直线 ： + 3 = 12与 轴、 轴分别交于 ， 两点，则( )
A. 点 到直线 的距离大于1
B. 点 到直线 的距离小于7
C. 当∠ 最大时，| | = 3√ 5
D. 以 为直径的圆与圆 的公共弦所在直线的方程为6 + 25 = 0
√ 5 1 2 2
13.我们称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知 ： + =
2 2 2
1( > > 0)， 1， 2， 1， 2为顶点， 1， 2为焦点， 为椭圆上一
点，满足下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆“的有( )
A. | 2 21 1| = | 1 2|
B. ∠ 1 1 2 = 90°
C. 四边形 1 2 2 1的内切圆过焦点 1， 2
D. 1 ⊥ 轴，且 // 2 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
14.若抛物线 2 = 4 上一点 到其焦点的距离为4.则点 的横坐标为 ．
15.已知递减等差数列{ }， 1 = 2，
2
2024是方程 2025 + 2024 = 0两个实根，当 = 0时， = ______．
16.已知直线 = 2与曲线√ 1 ( 1)2 = | | 1有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知圆 ： 2 + 2 4 4 + 4 = 0，直线 ： + 1 = 0．
(1)求证：直线 恒过定点；
(2)当 = 1时，求直线 被圆 截得的弦长．
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18.(本小题12分)
1
已知数列{ }前 项和 = (
2 + )．
2
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)数列{ 2 }的前 项和 ． +
19.(本小题12分)
如图，直四棱柱 1 1 1 1的底面为菱形， = = 2， 1 = 2√ 3．
(1)证明：平面 1 1 ⊥平面 1 1；
(2)求直线 1与平面 1 1 所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从
左到右排成一排合影留念.求：
(1)2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
(2)3名宇航员互不相邻的概率；
(3)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率．
21.(本小题12分)
已知数列{ }中， 1 = 1， +1 = ( ∈ ). +3
1 1
(1)求证：数列{ + }为等比数列，并求出{ }的通项公式 2 ；
(2)数列{ }满足 = (3
1) ，设 为数列{ }的前 项和，求使 > 恒成立的最小的整数 ． 2
22.(本小题12分)
2 2
如图，在平面直角坐标系 中，已知等轴双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左顶点 ，过右焦点 且垂
直于 轴的直线与 交于 ， 两点，若△ 的面积为√ 2 + 1．
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(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 ： = 1与双曲线 的左，右两支分别交于 ， 两点，与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，
| |
两点，求 的取值范围．
| |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】2025
4 4
16.【答案】[ 2, ) ∪ ( , 2]
3 3
17.【答案】解：(1) ∵直线 ： + 1 = 0，可化为 1 + ( 1) = 0，
1 = 0 = 1
由{ 可得{ ，
1 = 0 = 1
∴直线 恒过定点(1,1)．
(2)当 = 1时，直线 ： + 2 = 0．
圆 ： 2 + 2 4 4 + 4 = 0化为( 2)2 + ( 2)2 = 4，
半径 = 2，圆心 (2,2)．
|2+2 2|
圆心 到直线 的距离 = √ 2．
√ 1+1
∴直线 被圆 截得的弦长为2√ 2 2 = 2√ 4 2 = 2√ 2．
1 1
18.【答案】解：(1)由 = ( 2 + )①可得 1 = (1 + 1) = 1， 2 2
1
当 ≥ 2时， 2
1 2 1
1 = [( 1) + ( 1)] = ②， 2 2 2
由① ②可得： = ，显然 = 1时满足题意，故数列{ }的通项公式为 = ．
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1 1 1 1 1
(2)由(1)知 = ，故 2 = 2
= = ，
+ + ( +1) +1
1 1 1 1 1 1
依题有， = 1 + + + = 1 = ． 2 2 3 +1 +1 +1
19.【答案】证明：(1) ∵四边形 1 1 1 1是菱形，∴ 1 1 ⊥ 1 1．
又 1 ⊥平面 1 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1 1，∴ 1 ⊥ 1 1．
∵ 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1， 1 平面 1 1，∴ 1 1 ⊥平面 1 1，
∵ 1 1 平面 1 1 ，∴平面 1 1 ⊥平面 1 1．
(2)连接 ，设菱形对角线交点分别为 ， 1，连接 1，依题意可知， 1 ⊥平面 ，
以 为原点， ， ， 1所在直线为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵ 1 = 2√ 3， = = 2，∵ 1 = 2√ 3, = = 2，∴ = √ 3 = ，
∴ (0, √ 3, 0)， 1( 1,0,2√ 3)， 1(1,0,2√ 3)，
∴ 1 = (1,√ 3, 2√ 3), 1 = ( 1,√ 3, 2√ 3)， 1 = ( 1,√ 3, 2√ 3)．
设平面 1 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 0 + √ 3 + 2√ 3 = 0则{ { ，取 = (0,2, 1)，
1 = 0 + √ 3 + 2√ 3 = 0
设直线 1与平面 1 1 的夹角为 ，
则 = |cos
| 1 | 2×√ 3+1×2√ 3 √ 15
1 , | = = = ， | 1 || | 4×√ 5 5
∴直线 1与平面 1 1 所成角的正弦值为
√ 15．
5
20.【答案】解：(1)根据题意，分2步进行分析：
①先排2名航天科学家 22，
②再排3名宇航员 33，
所以总共有 2 32 3 = 12种排法；
(2)根据题意，3名宇航员互不相邻，先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有 22
3
3 = 12种
排法，
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12 1
而5人排成一排一共 55 = 120种排法，所以所求的概率为 = = ． 120 10
(3)根据题意，分2种情况讨论：
2 3 1
①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，其概率 2 31 = 5 = ； 105
2 2 2 2 1
②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，其概率 = 3 2 2 22 = ，
5 55
1 1 3
故要求的概率 = + = ．
5 10 10
1 +3 3
21.【答案】解：(1)证明：由 = ( ∈ )，得 = +1 = + 1， +3 +1
1 1 1 1
∴ + = 3( + )，
+1 2 2
1 1 1 1 3
∴数列{ + }是以3为公比，以 + = 为首项的等比数列，
2 1 2 2
1 1 3 2
∴ + = × 3 1，即 = ．
2 2
3 1
(2)由题意得 = 1． 2
1 1 1 1 1
= 1 × 0 + 2 × + 3 × + +( 1) × + × ， 2 21 22 2 2 2 1
1 1 1 1= 1 × 1 + 2 × 2 + +( 1) × 1 + × ， 2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1 1 +2
两式相减得： = 0 + 1 + 2 + +
2
1 × = 1 = 2 ， 2 2 2 2 2 2 1 2 2
2
+2
因为 = 4
2 1
< 4，
所以 ≥ 4，
所以使 > 恒成立的最小的整数 为4．
2 2
22.【答案】解：(1)因为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)为等轴双曲线，可得 = ，
设双曲线的焦距为2 ， > 0，
故 2 = 2 + 2 = 2 2，即 = √ 2 ，
因为 过右焦点 ，且垂直于 轴，
将 = = √ 2 代入双曲线的方程可得| | = ，故| | = 2 ，
1 1
又三角形的面积为1 + √ 2，即 | | | | = × 2 × ( + ) = 1 + √ 2，
2 2
解得 = 1，
故双曲线的方程为 2 2 = 1；
(2)由题意可得直线 ： = 1与双曲线的左右两支交于 ， 两点，
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2 2 = 1
联立{ ，可得(1 2) 2 + 2 2 = 0，
= 1
所以1 2 ≠ 0，△= (2 )2 4(1 2) × ( 2) > 0，解得 √ 2 < < √ 2，
2
且 2 < 0，则 1 < < 1，
1
2 2
且 + = 2， = 2，
1 1
所以| | = √ (
2
) + (
2 2
) = √ 1 + | | = √ 1 +
2 √ ( + )
2 4 =
2
2 2 2√ 1+ √
2
2
√ 1 + 2 √ ( )22 4 × 2 = 2 ，
1 1 1
= 1 1
联立{ = 1，可得 = ，同理可得 = ， 1 1+
√ 22 1+
所以| | = √ 1 + 2| | = √ 1 + 2
1 1
| | = ， 1 +1 21
2 2
| | 2√ 1+ √ 2
所以 = = √ 2 2，其中 1 < < 1，
| |
2√
2
1+
| |
所以 ∈ (1,√ 2]，
| |
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