第10 讲 实际问题与二元一次方程组
板块一 行程问题
典 例 精 讲
题型一 相遇与追及问题
【例1】 甲、乙两地相距160km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 h20 min相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h后掉转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米
题型二 顺流与逆流问题
【例2】 已知A，B两码头之间的距离为240 km，一艘船航行于A，B两码头之间，顺流航行需 4 h，逆流航行时需6h，求船在静水中的速度及水流的速度.
题型三 上坡与下坡问题
【例3】 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走 80m，上坡路每分钟走40m，从家里到学校需 10 min，从学校到家里需15 min.求小华家到学校的路程.
针 对 训 练
1.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4k m，下坡每小时走5k m，那么从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需 42 min.设从甲地到乙地上坡与平路分别为 xkm，ykm，依题意，所列方程组正确的是( )
2. A市至 B市的航线长1200km,一架飞机从A 市顺风飞往B市需要2 h30 min,从B市逆风飞往 A 市需要 3 h20 min.求飞机的平均速度与风速.
3.甲、乙两人在周长为400m的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔 2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔 10 min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度.
4.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先动身2h，那么他们在乙动身2.5h后相遇；如果乙比甲先动身2h，那么他们在甲动身3 h后相遇，问甲、乙两人每小时各走多少千米
5.黄玉骑自行车去香山，她先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达香山，共用了1.5h，返回时，先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用去55 min，求从出发点到香山的路程是多少千米
板块二 工程问题
典 例 精 讲
题型一 工作量为具体数量
【例1】 甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条210m长的公路，甲队每天修建15m，乙队每天修建25 m，一共用10天完成.
根据题意，小红和小芳同学分别列出了下面尚不完整的方程组：
小红： 小芳
(1)请你分别写出小红和小芳所列方程组中未知数x，y表示的意义：
小红:x表示 ,y表示 ;
小芳:x表示 ,y表示 ;
(2)在题中“( )”内把小红和小芳所列方程组补充完整；
(3)甲工程队一共修建了 天，乙工程队一共修建了 米.
题型二 工作量为未知数量
【例2】 小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需花费工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需花费工钱4.8万元.若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选甲公司还是乙公司
针 对 训 练
1.一批零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做9天也恰好完成.问甲，乙两人每天各做多少个零件
2.某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工11个零件，就可以提前1h完成.问这批零件有多少个 按原计划需多少小时完成
3.如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨2 000元的原料运回工厂，制成每吨5 000元的产品运到B地，已知公路运价为2元/(吨·千米)，铁路运价为1.5元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运输费 14 000元，铁路运输费87 000元.
求：(1)该工厂从A 地购买了多少吨原料 制成运往B 地的产品多少吨
(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元
板块三 利润问题
典 例 精 讲
题型一 利润率问题
【例1】 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元
题型二 利息问题
【例2】 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款(存款利息要交利息所得税)，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少元 (利息所得税=利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税)
题型三 分段计费问题
【例3】 某超市在“五一”期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠方法
少于 200元 不予优惠
低于500 元但不低于200元 九折优惠
500元或大于500元 其中500 元部分给予九折优惠，超过500部分给予八折优惠
(1)王老师一次购物600元，他实际付款 元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当小于 500元但不小于 200元时，他实际付款 元；当x大于或等于500元时，他实际付款 元(用含x的代数式表示)；
(3)如果王老师两次购物合计820元，他实际付款共计728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购物各多少元
针 对 训 练
1.某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款 399 元，商场共赢利49元，甲、乙两种商品的进价分别为多少元
2.李明以两种形式分别储蓄了2 000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元，已知这两种储蓄的年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是多少 (注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%)
3.某市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0~1.5km，超过1.5k m的部分按每千米另收费.
小刘说：“我乘出租车从市政府到公交车站走了4.5km，付车费10.5元.”
小李说：“我乘出租车从市政府到长途汽车站走了6.5km，付车费14.5元.”
问：(1)出租车的起步价是多少元 超过1.5km后每千米收费多少元
(2)小张乘出租车从市政府到高铁站走了5.5km，应付车费多少元
板块四 调配与配套问题
方法技巧
1.比例问题：如果甲、乙数量比为a：b，则
2.“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a 倍，即
3.“三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：
典 例 精 讲
题型一 调配问题
【例1】 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为2：3.今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了7人去送货.结果送货人员与销售人员人数之比为5：4.求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员
题型二 配套问题
【例2】 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m 的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132m这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
针 对 训 练
1.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②中的竖式和横式两种无盖的纸盒.现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是( )
A.2 018
B.2 019
C.2 020
D.2 021
2.为紧急安置50名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 种.
3.某工厂一车间人数比二车间人数的 还少30人，若从二车间调10人去一车间，则一车间人数为二车间人数的 ，求两个车间的人数.
4.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮 10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，则安排多少名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套
5.在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买 30 根跳绳和50个毽子共用680元.
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元
(2)该店在“五一”节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1 700元，该店的商品按原价的几折销售的
板块五 图表与对话问题
典 例 精 讲
题型一 表格信息
【例1】 小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案
商品名 单价(元) 数量(个) 金额(元)
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5 · ·
记号笔 4 ● ·
软皮笔记本 · 2 9
圆规 3.5 1 ·
合计 8 28
题型二 图形信息
【例2】 小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图.求小红的得分.
题型三 对话信息
【例3】 小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话：
小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价.
针 对 训 练
1.甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰.四人购买的数量及总价如表所示.但其中有一人把总价算错了，则此人是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
甲 乙 丙 丁
红豆棒冰(支) 3 6 9 4
奶油棒冰(支) 4 2 11 7
总价(元) 18 20 51 29
2.如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为40 cm，则每个小长方形的周长为 cm.
3.如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如下图案，已知点 A(-1，5),则点 B 的坐标为( )
A.(-6,4) C.(-6,5)
4.某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.
5.如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形 A 的边长为3cm，正方形 B的边长为5cm，求此长方形的面积.
B C
A
D D D
6.如图，一个长方形的长减少15 cm，宽增加 6cm，就成为一个正方形，并且图中两块阴影部分的面积相等.
(1)求这个长方形的长、宽各是多少厘米
(2)小明想在这个正方形中，沿着边的方向裁出一块面积为( 的长方形纸片，使它的长宽之比为2：1，他是否能实现这一想法 请通过计算说明理由.
板块六 古代数学问题
典 例 精 讲
题型一 和差倍分问题
【例1】 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛 请解答.
题型二 盈亏问题
【例2】 《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何 译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少 请解答上述问题.
题型三 鸡兔同笼问题
【例3】 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只 ”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
针 对 训 练
1.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 在图 2 所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( )
A.| B.||
C.||| D.||||
2.以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何 意思是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳长、井深各是多少尺
3.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何
4.我国明代数学家程大位的名著《算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.试问大、小和尚各几人
板块七 方案问题
典 例 精 讲
题型一 进货方案
【例1】 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元，200元，250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案
题型二 生产方案
【例2】 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7 500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案.
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成；
你认为选择哪种方案获利最多 为什么
针 对 训 练
1.某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7 200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米
(2)若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金可用来绿化多少平方米
2.学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元.
(1)定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元
(2)学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件(其中水杯不超过300个)，并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案一：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；
方案二：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元.
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同 (总费用=定制物品的总费用+包装总费用)
3.有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18t，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38t，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满.
(1)两种卡车的载重量各是多少
(2)若大卡车运送一次的费用为200元，小卡车运送一次的费用为60元，在第一次运送过程中怎样安排车辆，才能使费用最少 (直接写出派车方案)
4.我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间 房客多少人
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算
5.某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45 座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元.
(1)这批学生的人数是多少 原计划租用45 座客车多少辆
(2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算
第10讲 实际问题与二元一次方程组
板块一 行程问题
典 例 精讲
题型一 相遇与追及问题
【例1】 甲、乙两地相距160km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 h20 min相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h后掉转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米
【解答】设汽车的速度为 x km/h,拖拉机的速度为 y km/h.
根据题意，得 解得
答:汽车行驶了 165 km,拖拉机行驶了85 km.
题型二 顺流与逆流问题
【例2】 已知A，B两码头之间的距离为240 km，一艘船航行于A，B两码头之间，顺流航行需 4 h，逆流航行时需6h，求船在静水中的速度及水流的速度.
【解答】设船在静水中的速度及水流的速度分别为 x km/h，y km/h，
根据题意，得 解得
答：船在静水中的速度及水流的速度分别为50 km/h，10 km/h.
题型三 上坡与下坡问题
【例3】 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走 80m，上坡路每分钟走40m，从家里到学校需 10 min，从学校到家里需15 min.求小华家到学校的路程.
【分析】从家里到学校路程是“平路+下坡路”；从学校到家里路程变为“上坡路+平路”.
【解答】设小华家到学校的平路有 x m，下坡路有 y m，依题意，得
解得
答：小华家到学校有700 m.
针 对 训 练
1.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4k m，下坡每小时走5k m，那么从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需 42 min.设从甲地到乙地上坡与平路分别为 xkm，ykm，依题意，所列方程组正确的是( A )
2. A市至 B市的航线长1200 km,一架飞机从A市顺风飞往B市需要2 h30 min,从B市逆风飞往 A 市需要 3 h20 min.求飞机的平均速度与风速.
【解答】设飞机的平均速度为 x km/h,风速为 y km/h,
由题意，得 解得
答:飞机的平均速度为420 km/h,风速为60 km/h.
3.甲、乙两人在周长为400m的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔 2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔 10 min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度.
【解答】设甲的速度为 x m/ min,乙的速度为 y m/ min,由题意，得 解得 答:甲的速度为 60 m/ min,乙的速度为100m/ min.
4.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行，如果甲比乙先动身2h，那么他们在乙动身2.5 h后相遇；如果乙比甲先动身2 h，那么他们在甲动身3 h后相遇，问甲、乙两人每小时各走多少千米
【解答】设甲每小时走x km，乙每小时走 y km，
根据题意，得 解得
答：甲每小时走6km，乙每小时走3.6km.
5.黄玉骑自行车去香山，她先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达香山，共用了1.5h，返回时，先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用去55 min，求从出发点到香山的路程是多少千米
【解答】设平路是 x km，去香山的上坡路是 y km，
由题意，得 解得
答：从出发点到香山的路程是9 km.
板块二 工程问题
典 例 精讲
题型一 工作量为具体数量
【例1】 甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条 210 m长的公路，甲队每天修建15 m,乙队每天修建25 m,一共用10 天完成.
根据题意，小红和小芳同学分别列出了下面尚不完整的方程组：
小红： 小芳
(1)请你分别写出小红和小芳所列方程组中未知数x，y表示的意义：
小红:x表示 ,y表示 ;
小芳:x表示 ,y表示 ;
(2)在题中“( )”内把小红和小芳所列方程组补充完整；
(3)甲工程队一共修建了 天，乙工程队一共修建了 米.
【解答】(1)甲队修建的天数；乙队修建的天数；甲队修建的长度；乙队修建的长度；
(2)依题意得小红： 小芳：
(3)解方程组 得 则：25y=25×6=150(m).
即：甲工程队一共修建了4天，乙工程队一共修建了150 m.
题型二 工作量为未知数量
【例2】 小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需花费工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需花费工钱4.8万元.若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选甲公司还是乙公司
【解答】设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效率为 y.
依题意，得 解得
即甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周.
设请甲公司工作一周需花费工钱a万元，请乙公司工作一周需花费工钱b万元，
依题意，得 解得
∴请甲公司单独完成需花费工钱10×0.6=6(万元)，请乙公司单独完成需花费工钱 万元).
答：从节约开支的角度来考虑，小明家应该选乙公司.
针 对 训 练
1.一批零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做9天也恰好完成.问甲，乙两人每天各做多少个零件
【解答】设甲每天做x个，乙每天做y个，依题意，得 解得
答：甲每天做60个，乙每天做40个.
2.某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工11个零件，就可以提前1h完成.问这批零件有多少个 按原计划需多少小时完成
【解答】设原计划需x小时完成，这批零件有 y个，
依题意，得
解得
答：这批零件有77个，按计划需8小时完成.
3.如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A 地购买一批每吨2 000元的原料运回工厂，制成每吨5 000元的产品运到B地，已知公路运价为2元/(吨·千米)，铁路运价为1.5元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运输费 14 000元，铁路运输费87 000元.
求：(1)该工厂从A 地购买了多少吨原料 制成运往B地的产品多少吨
(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元
【解答】(1)设化工厂从A 地购买了x 吨原料，制成运往 B地的产品y 吨，依题意，得 ②,解这个方程，得
答：工厂从A 地购买了300吨原料，制成运往B 地的产品200 吨；
(2)依题意,得200×5000-300×2000-14000-87000=299000(元).
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多299000元.
板块三 利润问题
典 例 精 讲
题型一 利润率问题
【例1】 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元
【解答】设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得 解得
答：两件商品的进价分别为 600元和400元.
题型二 利息问题
【例2】 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款(存款利息要交利息所得税)，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少元 (利息所得税=利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税)
【解答】设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，由题意，得 解得 答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.
题型三 分段计费问题
【例3】 某超市在“五一”期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠方法
少于 200元 不予优惠
低于500 元但不低于 200元 九折优惠
500元或大于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500部分给予八折优惠
(1)王老师一次购物600元，他实际付款 元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当小于500元但不小于200元时，他实际付款 元；当x大于或等于500元时，他实际付款 元(用含x的代数式表示)；
(3)如果王老师两次购物合计820元，他实际付款共计 728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购物各多少元
【解答】(1)530;(2)0.9x,0.8x+50;
(3)设第一次购物的货款为x元，第二次购物的货款为y元.
①当x<200,则 y≥500,由题意,得 解得
②当200≤x<500,y≥500,由题意,得 解得
③当x，y均小于500元但不小于200元时，由题意，得 此方程组无解.
综上所述，两次购物的货款分别为110元，710元或220元，600元.
针 对 训 练
1.某商店购进商品后，都加价40%作为销售价，元旦期间搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款 399 元，商场共赢利49元，甲、乙两种商品的进价分别为多少元
【解答】设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为 y元，
依题意，得 解得
答：甲种商品的进价为150元，乙种商品的进价为200元.
2.李明以两种形式分别储蓄了2 000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元，已知这两种储蓄的年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是多少 (注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%)
【解答】设储蓄2000元和1000元的年利率分别为x%,y%,
依题意，得解得
答:2000元和1000元对应储蓄的年利率分别为2.25%,0.99%.
3.某市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0~1.5km，超过1.5k m的部分按每千米另收费.
小刘说：“我乘出租车从市政府到公交车站走了4.5km，付车费10.5元.”
小李说：“我乘出租车从市政府到长途汽车站走了6.5km，付车费14.5元.”
问：(1)出租车的起步价是多少元 超过1.5km后每千米收费多少元
(2)小张乘出租车从市政府到高铁站走了5.5km，应付车费多少元
【解答】(1)设出租车的起步价是 x元，超过1.5km后每千米收费y元.
依题意，得 解得
答：出租车的起步价是4.5元，超过1.5km后每千米收费2元；
(2)4.5+(5.5-1.5)×2=12.5(元).
答：小张乘出租车从市政府到高铁站走了5.5km，应付车费12.5元.
板块四 调配与配套问题
方法技巧<
1.比例问题：如果甲、乙数量比为a：b，则
2.“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a 倍，即
3.“三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：
典 例 精 讲
题型一 调配问题
【例1】 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为2：3.今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了7人去送货.结果送货人员与销售人员人数之比为5：4.求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员
【分析】先设这个商场家电部原有x名送货人员，y名销售人员，由于从销售人员中抽调了7人去送货，则现在送货人员有(x+7)人，销售人员有(y-7)人，利用比例可列方程组.
【解答】设这个商场家电部原有x名送货人员，y名销售人员，
根据题意，得 解得
答：原有18名送货人员，27名销售人员.
题型二 配套问题
【例2】 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m 的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132m这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
【分析】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为 132m；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).
【解答】设用 x m布料做衣身，用y米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，
根据题意，得 解得
答：用60m布料做衣身，用72 m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
针 对 训 练
1.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②中的竖式和横式两种无盖的纸盒.现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n的值可能是( C )
A.2 018
B.2 019
C.2 020
D.2 021
2.为紧急安置50名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 4 种.
3.某工厂一车间人数比二车间人数的 还少30人，若从二车间调10人去一车间，则一车间人数为二车间人数的 ，求两个车间的人数.
【解答】设一车间有x人，二车间有y人，依题意，得 解得
答：一车间170人，二车间250人.
4.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮 10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，则安排多少名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套
【解答】设安排x名工人加工大齿轮，y名工人加工小齿轮，依题意，得 解得
答：安排25名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.
5.在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元.
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元
(2)该店在“五一”节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1 700元，该店的商品按原价的几折销售的
【解答】(1)设跳绳的单价为x元，毽子的单价为 y元，依题意，得解得
答：跳绳的单价为 16元，毽子的单价为4元；
(2)设该店的商品按原价的 m折销售，依题意，得 解得m=8.5.答：该店的商品是按原价的八五折销售的.
板块五 图表与对话问题
典 例 精 讲
题型一 表格信息
【例1】 小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：
(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支
(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案
商品名 单价(元) 数量(个) 金额(元)
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5 · ·
记号笔 4 · ·
软皮笔记本 · 2 9
圆规 3.5 1 ·
合计 8 28
【解答】(1)设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，
根据题意，得解得
答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支；
(2)设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据题意，得
∵m,n为正整数, 或 或
答：共3种方案：1本软皮笔记本与7支记号笔；2本软皮笔记本与4支记号笔；3本软皮笔记本与1支记号笔.
题型二 图形信息
【例2】 小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图.求小红的得分.
【解答】设掷中A区，B区一次的得分分别为x 分，y分，依题意，得 解得
所以小红的得分是5+3×9=32(分).答：小红的得分是32分.
题型三 对话信息
【例3】 小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话：
小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价.
【解答】设上个月萝卜的单价是 x元/斤，
排骨的单价是 y元/斤，
依题意，得
解得(三 .(1+30%)x=1.3,(1+40%)y=21.
答：今天萝卜的单价是1.3元/斤，排骨的单价是21元/斤.
针 对 训 练
1.甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰.四人购买的数量及总价如表所示.但其中有一人把总价算错了，则此人是( B )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解答】选B.设红豆棒冰的单价为x元/支，奶油棒冰的单价为 y元/支，假设甲丙两人都正确，则 解得
把x=2,y=3代入6x+2y得,6×2+2×3=18≠20,故乙错误,
把x=2,y=3代入4x+7y中:4×2+7×3=29,故丁正确.
若假设正确的两人之中有乙，可以得出其余两人都错误，故假设不正确.故本题选B.
2.如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为40 cm,则每个小长方形的周长为 16 cm.
【解答】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，由题意，得 解得 ∴小长方形的周长为:(6+2)×2=16(cm).
3.如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如下图案，已知点A(-1，5),则点 B 的坐标为( D )
A.(-6,4) C.(-6,5)
【解答】设长方形的长、宽分别为x，y，由题意，得 解得 ∴选 D.
4.某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.
【解答】设男同学x人,则女同学(55-x)人,依题意,得x=1.5(55-x)+5,解得x=35,∴55-x=20.答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人.
5.如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A 的边长为3cm，正方形 B的边长为5cm，求此长方形的面积.
【解答】设正方形 D的边长为x cm，正方形C的边长为y cm，依题意，得 解得
6.如图，一个长方形的长减少15 cm，宽增加 6cm，就成为一个正方形，并且图中两块阴影部分的面积相等.
(1)求这个长方形的长、宽各是多少厘米
(2)小明想在这个正方形中，沿着边的方向裁出一块面积为 60 cm 的长方形纸片，使它的长宽之比为2：1，他是否能实现这一想法 请通过计算说明理由.
【解答】(1)设原长方形的长为 x cm,宽为 y cm,由题意，得 解得 答:原长方形的长为25 cm,宽为4 cm;
(2)由(1)知,正方形的边长为:x-15=25-15=10 cm,
设新裁出长方形的长为2x cm，宽为 x cm.
依题意，可得
∴不能实现.
板块六 古代数学问题
典 例 精 讲
题型一 和差倍分问题
【例1】 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛 请解答.
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案.
【解答】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
由题意，得 解得
答：1个大桶可以盛酒 斛，1个小桶可以盛酒 斛.
题型二 盈亏问题
【例2】 《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何 译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少 请解答上述问题.
【分析】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为 y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论.
【解答】设合伙买鸡者有x人，鸡的价格为 y文钱，
根据题意，得 解得
答：合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱.
题型三 鸡兔同笼问题
【例3】 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只 ”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
【分析】设笼中鸡有x只，兔有y只，本题中的等量关系有：鸡头+兔头=35头；鸡足+兔足=94足，需要注意的是，一只鸡有一头两足，一只兔有一头四足.
【解答】设笼中鸡有x只，兔有y只，由题意，得 解得
答:笼中鸡有23 只,兔有 12 只.
针 对 训 练
1.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 在图2 所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( C )
A.| B.||
C.||| D.||||
【解答】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意，得 把x=3代入，得 由③,得y=5,把y=5代入④,得12+5a=27,∴a=3,故选C.
2.以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何 意思是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳长、井深各是多少尺
【解答】设绳子长为x尺，井深为 y尺，依题意，得 解得
答：绳子长为48尺，井深11尺。
3.今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何
【解答】设共有x个人，物价为 y，依题意，得 解得
答：人数七，物价五十三.
4.我国明代数学家程大位的名著《算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁 ”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.试问大、小和尚各几人
【解答】设大和尚x人，小和尚y人，依题意，得 解得
答：大和尚有25人，小和尚有75人.
板块七 方案问题
典 例 精 讲
题型一进货方案
【例1】 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元，200元，250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案
【解答】(1)设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台.分三种情况：
(Ⅰ)购进甲、乙两种， 解得
(Ⅱ)购进甲、丙两种， 解得
(Ⅲ)购进乙、丙两种， 解得 (不合实际，舍去)
故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台.
(2)方案(Ⅰ)获利150×25+200×25=8750(元);
方案(Ⅱ)获利150×35+250×15=9000(元).
∴选择购进甲种35台和丙种15 台.
题型二 生产方案
【例2】 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7 500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案.
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成；
你认为选择哪种方案获利最多 为什么
【解答】方案一获利为4500×140=630 000(元);
方案二获利为7500×(6×15)+1000×(140-6×15)=675000+50 000=725 000(元);
设将x吨蔬菜进行精加工，y吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得
解得 所以方案三获利为7500×60+4500×80=810 000(元);
因为630 000<725 000<810 000,所以选择方案三获利最多.
答：方案三获利最多，最多为810 000元.
针 对 训 练
1.某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米
(2)若绿化1平方米需 200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金可用来绿化多少平方米
【解答】(1)设原计划拆除旧校舍x平方米，建设新校舍y平方米，
依题意，得解得
答：原计划拆、建面积分别是4800平方米，2400平方米；
(2)节约下来的资金为:(4800×80+2 400×700)-[4800×(1+10%)×80+2 400×80%×700]=297 600(元).
∴因此资金可绿化的面积为:297 600÷200=1 488(平方米).
答：可绿化面积为 1 488 平方米.
2.学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元.
(1)定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元
(2)学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件(其中水杯不超过300个)，并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案一：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；
方案二：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元.
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同 (总费用=定制物品的总费用+包装总费用)
【解答】(1)设定制一个水杯的单价为x元，一本手账的单价为y元，
由题意，得解得
答：定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为20元；
(2)设定制水杯m个时，两种方案的总费用相同，则定制手账为(600-m)个，
则方案一的总费用为0.8×[60m+20(600-m)+6m+(600-m)×1]=36m+10 080,
方案二的总费用为60m+20(600-m-m)+4m+2×(600-m-m)=20m+13200,
由题意,得36m+10080=20m+13200,解得m=195,
答：定制水杯195个时，两种方案的总费用相同.
3.有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送18t，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送38t，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满.
(1)两种卡车的载重量各是多少
(2)若大卡车运送一次的费用为200元，小卡车运送一次的费用为60元，在第一次运送过程中怎样安排车辆，才能使费用最少 (直接写出派车方案)
【解答】(1)设一辆大卡车的载重量为 xt，一辆小卡车的载重量为 yt，依题意，得 解得
答：大卡车的载重量为8t，小卡车的载重量为2t；
(2)安排2辆大卡车和1辆小卡车，才能使费用最少.
4.我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间 房客多少人
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算
【解答】(1)设该店有客房x间，房客y人，依题意，得 解得
答：该店有客房8间，房客63人；
(2)若每间客房住4人，则63名房客至少需客房16间，需付费为20×16=320(钱)；
若一次性订客房18间,则需付费为20×0.8×18=288(钱),
∵320>288,∴选择一次性订客房18间.
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算.
5.某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45 座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元.
(1)这批学生的人数是多少 原计划租用45座客车多少辆
(2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算
【解答】(1)设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意，得 解得
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆；
(2)∵要使每位学生都有座位,∴租45座客车需要5+1=6(辆),租60座客车需要5-1=4(辆).
220×6=1 320(元),300×4=1 200(元),
∵1 320>1200,∴若租用同一种客车,租4辆60座客车划算.
