板块三 实数
典 例 精 讲
题型一 有理数与无理数的概念
【例1】 下列说法正确的是( )
A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数
C.无限不循环小数都是无理数 D.无理数都是开方开不尽的数
【练1】 下列各数中： ，无理数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
题型二 实数的概念
【例2】 下列各数中哪些是有理数 哪些是无理数
①3.14; ②0.101 001 000 1……;
⑥0; ⑨0. i;
【练2】 在实数 ,0, ,π/ , ,0.101001000 1…, 中，无理数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
题型三 )实数的分类
【例3】 下列各数中：:3.14159,- ,0.131 131 113…,π, , - 无理数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【练3】 把下列各数填入相应的集合内：
(1)有理数集合：{ …};
(2)无理数集合：{ …};
(3)正实数集合：{ …};
(4)负实数集合：{ …}.
题型四 实数的计算
【例4】 计算:
【练4】 计算:
题型五 实数的化简
【例5】 实数a在数轴上的对应点A 的位置如图所示，化简：
【练5】 如图，实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数.
（ 0(用“<”,“>”或“=”号填空);
(2)化简:
题型六 实数的应用
【例6】 图1中的长方形长为宽的3倍，将四个这样的长方形拼成图2中的大正方形.
(1)若中间小正方形的面积是( ，问图1中的长方形的面积是多少
(2)若大正方形的面积比小正方形的面积大 ，求中间小正方形的面积.
【练6】 将一张面积为 的正方形纸片，沿着平行于边的方向剪出一块长方形纸片，甲的方案是：长方形的面积是 ，且长与宽的比3：2；乙的方案是：长方形的面积为150 cm ，且长与宽的比是5：3，问甲、乙两人的方案是否可行 并说明理由.
题型七 实数的大小比较
【例7】 比较 与 的大小.
【练7】 你能比较下列各对数的大小吗
(1)2.7与 (2) 与 与
题型八 实数的整数部分和小数部分
【例8】 (1)估计 的值( )
A.在 2 与 3 之间 B.在 3 与 4 之间 C.在 4 与 5 之间 D.在 5 与 6 之间
(2)估计 的取值范围( )
A.在 2 与 3 之间 B.在 3 与 4 之间 C.在 4 与5 之间 D.在5 与6 之间
(3)已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的值.
【练8】 (1)已知 的小数部分为a, 的小数部分为b.
①求a+b的值; ②求a-b的值.
(2)已知 的小数部分是a， 的小数部分是b，求a+b+3的平方根.
题型九)平方根与立方根的规律
【例9】 观察下面表格：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
x 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
根据上表回答问题：
(1)填空:272.25的平方根是 ;
(2)填空:
(3)设 的整数部分为a，求-4a的立方根.
针 对 训 练
1.若x+|x|=0,则 等于( )
A.2x B. -2x C.0 D.无法确定
2.若 的小数部分为a, 的小数部分为b，则a+b的平方根为 .
3.若有理数a，b满足 则a的值为 ，b的值为 .
4.数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道怎样迅速准确地计算出结果吗
1 =1 2 =8 3 =27 4 =64 5 =125 6 =216 7 =343 8 =512 9 =729
请你按下面的问题试一试：
你能确定59 319的立方根是几位数吗 答： 位数；
(2)由59319的个位数是9，你能确定59 319的立方根的个位数是几吗 答： ；
(3)如果画去59 319后面的3位数319得到59,而 由此你能确定59 319 立方根的十位数字是几吗 答： .因此，59 319的立方根是39.根据这种方法，你能确定19 683的立方根吗
(4)小智是这样求出19 683的立方根的.先估计19 683的立方根十位数为 ，验证得19 683的立方根是 ;
(5)请根据(4)中小智的方法，完成如下填空：
.
5.求一个数的立方根，有些可以直接求，如 有些数则不能直接求得，如 但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 0.008 8 8 000 8 000 000 …
0.2 2 20 200 …
(1)已知 运用你发现的规律，求 ;
(3)已知 则
(4)已知 则
6.对于一个实数m(m≥0),规定其整数部分为a,小数部分为b.如:当m=3时,则a=3,b=0;当m=4.5时,则a=4,b=0.5.
(1)当m=π时,b= ;当 时,a= ;
(2)当 时,则a-b= ;
(3)若 则m= .
板块三 实数
典 例 精 讲
题型一 有理数与无理数的概念
【例1】 下列说法正确的是( C )
A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数
C.无限不循环小数都是无理数 D.无理数都是开方开不尽的数
【练1】 下列各数中： 无理数有( D )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
题型二 实数的概念
【例2】 下列各数中哪些是有理数 哪些是无理数
①3.14; ②0.101 001 000 1……;
⑥0; ⑨o. i;
【解答】有理数有①④⑤⑥⑦⑧⑨,无理数有②③⑩.
【练2】 在实数 ,0, ,π , ,0.101001 0001…, 中，无理数有( c )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
题型三 实数的分类
【例3】 下列各数中:3.14159,- ,0.131131 113…,π, , - 无理数有( A )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解答】由定义可知无理数有:0.131 131 113…,-π共两个,故选 A.
【练3】 把下列各数填入相应的集合内：
(1)有理数集合:{ 4, ,V-27,0.15,-7.5,0.303003 …};
(2)无理数集合：
(4)负实数集合:{ ,-7.5,-π …}.
题型四 实数的计算
【例4】 计算:
【解答】
【解答】
【解答】
【练4】 计算:
【解答
【解答】(2)-5;
【解答】(3)7
题型五 实数的化简
【例5】 实数a在数轴上的对应点A 的位置如图所示，化简：
【分析】化简常用式子：
【解答】原式=a-1+2-a=1.
【练5】 如图，实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数.
(1)a-b 0,a+b 0,b-c N 0(用“<”,“>”或“=”号填空);
(2)化简:
【解答】(1)>,<,<;
(2)原式=-a+(a-b)-(a+b)+(b-c)=-a+a-b-a-b+b-c=-a-b-c.
题型六 实数的应用
【例6】 图1中的长方形长为宽的3倍，将四个这样的长方形拼成图2中的大正方形.
(1)若中间小正方形的面积是5 cm ，问图1中的长方形的面积是多少cm
(2)若大正方形的面积比小正方形的面积大24 cm ，求中间小正方形的面积.
【解答】(1)∵小正方形的面积是5cm ，∴小正方形边长是 cm,
∵长方形长为宽的3倍，∴小正方形边长是宽的2倍，
∴宽为 长为 长方形面积为：
(2)设长方形的宽为x cm,则长为 3x cm,依题意得， 即 小正方形的面积为
【练6】 将一张面积为 的正方形纸片，沿着平行于边的方向剪出一块长方形纸片，甲的方案是：长方形的面积是 300 cm ，且长与宽的比3：2；乙的方案是：长方形的面积为150 cm ，且长与宽的比是5：3，问甲、乙两人的方案是否可行 并说明理由.
【解答】甲方案的长 宽 ∴甲的方案不行；乙长 宽 都小于20，∴乙的方案可行.
题型七 实数的大小比较
【例7】 比较 与 的大小.
【分析】(1)比较两负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小；
(2)算术根的大小比较，看被开方数，被开方数越大，值就越大；或平方；或求近似值.
【解答】方法一：∵ ;
方法二： ，而
方法三： 而
【练7】 你能比较下列各对数的大小吗
(1)2.7与 (2) 与
【解答】
题型八 实数的整数部分和小数部分
【例8】 (1)估计 的值( C )
A.在2 与3之间 B.在3 与4 之间 C.在4 与5 之间 D.在 5 与 6 之间
【解答】∵16<17<25,即 ，所以 的值在4到5之间.
(2)估计 的取值范围( A )
A.在2 与3之间 B.在3 与4 之间 C.在 4 与5 之间 D.在 5 与 6 之间
【解答】∵8<20<27,即 的值在2到3之间.
(3)已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求( 的值.
【分析】根据估算，可知 所以
【解答】
【技巧点评】先估算出实数a在哪两个相邻的整数之间，然后写出其整数b，其小数部分就是a-b.
【练8】 (1)已知 的小数部分为a, 的小数部分为b.
①求a+b的值; ②求a-b的值.
【解答】①a+b=1;②a-b=2 -7.
(2)已知 的小数部分是a， 的小数部分是b，求a+b+3的平方根.
【解答】由题意知， 的平方根为2或-2.,
题型九 平方根与立方根的规律
【例9】 观察下面表格：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8
x 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24
根据上表回答问题：
(1)填空:272.25的平方根是 ;
(2)填空:
(3)设 的整数部分为a，求-4a的立方根.
【解答】(1)±16.5;(2)16.1,167,1.62;(3)-4.
针 对 训 练
1.若x+|x|=0,则 等于( c )
A.2x B. -2x C.0 D.无法确定
2.若 的小数部分为a， 的小数部分为b，则a+b的平方根为 ±1 .
3.若有理数a，b满足 则a的值为 7 ,b的值为 2 .
4.数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道怎样迅速准确地计算出结果吗
1 =1 2 =8 3 =27 4 =64 5 =125 6 =216 7 =343 8 =512 9 =729
请你按下面的问题试一试：
，你能确定59 319 的立方根是几位数吗 答： 两 位数；
(2)由59 319的个位数是9,你能确定59 319的立方根的个位数是几吗 答: 9 ;
(3)如果画去59319后面的3位数319得到59,而 由此你能确定59319立方根的十位数字是几吗 答： 3 .因此，59 319的立方根是39.根据这种方法，你能确定19 683的立方根吗
(4)小智是这样求出19683的立方根的.先估计19683的立方根十位数为 2 ，验证得19 683的立方根是 27 ；
(5)请根据(4)中小智的方法，完成如下填空：
.
5.求一个数的立方根，有些可以直接求，如 有些数则不能直接求得，如 ，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 0.008 8 8000 8 000 000 ..
3/n 0.2 2 20 200 …
(1)已知 运用你发现的规律，求 278.5 ;
(3)已知 则
(4)已知 则
6.对于一个实数m(m≥0)，规定其整数部分为a，小数部分为b.如：当m=3时，则a=3,b=0;当m=4.5时,则a=4,b=0.5.
(1)当m=π时,b= π-3 ;当 时,a= 3 ;
(2)当 时，则
(3)若 则
