2024-2025学年上海市同济大学第一附属中学高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.已知事件和事件满足，则下列说法正确的是 ．
A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥
C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥
3.如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是( )
A. B. C. D.
4.小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点的轨迹为曲线，从而得到以下个结论：
曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形；
动点的横坐标的取值范围是；
的取值范围是；
的面积的最大值为．
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.直线的倾斜角 ．
6.圆柱的底面半径为，高为，其侧面积为 ．
7.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是 ．
8.若一组数据的方差为，则的方差为 ．
9.某校抽取名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为，且第一组下限为，则组数为 ．
10.为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取名，测得他们的体重数据如下按从小到大的顺序排列，单位：
据此估计该校高三年级男生体重的第百分位数为 ．
11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ．
12.正四面体相邻两个面所成二面角的余弦值为 ．
13.已知、、是半径为的球面上的三点，若，则的最大值为 ．
14.已知抛物线上有一点到准线的距离为，那么点到轴的距离为 ．
15.在中，，则以为焦点，且过点的双曲线的离心率为 ．
16.设是平面曲线上任意三个不同的点，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面．
求该四棱锥的体积；
求异面直线和所成角的余弦值．
18.本小题分
设．
当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
若，且在中，角所对的边长为，锐角满足，求的最小值．
19.本小题分
一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、现从盒子中随机抽取卡片．
若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求；
若一次抽取张卡片，不放回并再抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”，验证是独立的，并说明理由．
20.本小题分
已知过点的双曲线的渐近线方程为如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点．
求双曲线的标准方程；
若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值；
已知点，求证：．
21.本小题分
如图，设椭圆为的左右焦点，过点的直线与交于两点．
若椭圆的离心率为的周长为，求椭圆的方程；
求证：为定值；
是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的离心率的值，若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：等腰中，设边的中点为，易知，
因为平面底面，且底面，
则平面，在中，，所以，
则体积．
法一：因为，
所以即为异画直线和所成的角或其补角；
由知平面底面，且平面底面
矩形中，，
因为平面底面，且底面，
所以面，又因为面，从而，
中，，所以
同理可得中，，
由余弦定理可得
，
所以异面直线和所成角的余弦值为．
法二：以的中点为为原点，
为轴建立空间坐标系，
则，
所以，
，
所以异面直线和所成角余弦值为．
18.【答案】解：因为函数的最小正周期为，所以，
故，
由于，所以，
故当，即时，取到最大值．
当，所以，
故当时，，即，
由于为锐角，解得，
因为，所以，得，
所以，
等号当且仅当时等号成立，此时的最小值为．
19.【答案】解：【详解】若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，
共包含个基本事件，
其中事件：包含个基本事件，
所以．
若一次抽取张卡片，不放回并再抽取张卡片，共包含个基本事件，
事件，所以，
事件，所以，
当同时发生，即张卡片上数宁之和是的倍数同时积足的倍数，有两种取法，
所以，
因为，所以事件与事件是独立的．
20.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为，
又双曲线过点，
则，所以双曲线的方程为，
即．
因为在曲线上，
则，
渐近线方程：，
所以：
由可知的斜率存在且不为，设的方程为，
联立，消去得，
设，由题意得
则
所以
所以得证．
21.【答案】解：设椭圆的焦距为．
由题意，，解得，
故椭圆的方程为．
椭圆左焦点的坐标为．
当直线的斜率为时，为定值．
当直线的斜率不为时，设的方程为．
点的坐标为方程组的实数解，消，得．
于是有，异号，故．
为定值．
综上，为定值．
根据对称性，若为等腰直角三角形，只需考虑为直角或为直角．
设．
若为直角，由于，故轴，将代入椭圆方程中可得，解得，
则，，进而可得，故离心率；
若为直角，则，
可解得，，
由，，代入可得，
又
故离心率．
综上，可以为等腰直角三角形，此时离心率为或
第1页，共1页
