广东省广州市第十六教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·广州期中）要使在实数范围内有意义，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
解得：，
故选：．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得，解出x的值即可选出答案．
2．（2024八下·广州期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连，
则，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
．
故选：B．
【分析】
连接，先根据勾股定理求出AB、AC、BC的长度，再根据勾股定理逆定理及等腰三角形的定义可得是以、为腰的等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得答案．
3．（2024八下·广州期中）如图，为的中线，且，，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中线
【解析】【解答】为的中线，，
，
∵，，
，
三角形为直角三角形，
，，
垂直平分，
．
故选：D．
【分析】
先根据题意得出，然后根据勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，进而得垂直平分，最后根据垂直平分线的性质即可求解．
4．（2024八下·广州期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B.，原计算错误，故B不符合题意；
C.，原计算错误，故C不符合题意；
D.，计算正确，故D符合题意；
故选：D．
【分析】
根据二次根式的运算法则和同类项的定义逐项进行判断即可得出答案．
5．（2024八下·广州期中）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．8 C． D．4
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×4＝16．
故选：A．
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
6．（2024八下·广州期中）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，不成立，不符合题意；
B、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意；
C、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，不成立，不符合题意；
D、逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不成立，不符合题意．
故选：B．
【分析】
先得出原命题的逆命题，然后根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
7．（2024八下·广州期中）下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．y的值随着x增大而减小
B．当时，
C．函数图象与y轴的交点坐标为
D．函数图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为，，
∴y的值随着x增大而减小，且函数图象经过第一、二、四象限，故A、D正确，不符合题意；
当时，，
∴函数图象与y轴的交点坐标为，当时，，故B说法错误，符合题意，C说法正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据一次函数图象与系数的关系，及一次函数的性质，（对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，当时，y的值随着x增大而增大，当时，y的值随着x增大而减小），逐项分析即可。
8．（2024八下·广州期中）如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=2，BD=4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选：D
【分析】
先根据平行四边形的性质得出AO、BO的长度，再由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
9．（2024八下·广州期中）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx k 1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC交于点D，
∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，
∴点D的坐标为（2，1），
∵直线y=kx k 1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线过点D，
则2k-k-1=1，
解得：k=2，
故选：C．
【分析】
直线y=kx k 1将四边形OABC分成面积相等的两部分，这意味着直线必定经过矩形的中心，即对角线OB和AC的交点D。利用矩形对角线互相平分的性质，以及点A和点C的坐标，求出了点D的坐标为(2，1)，由于直线过点D，所以将点D的坐标代入直线方程y=kx k 1中即可求出k的值。
10．（2024八下·广州期中）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形的面积是正方形面积的2倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，
∵五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】
首先根据题意，连接线段HF，并找到其与AD的交点P。然后利用题目中给出的面积关系，设正方形EFGH的面积为x2，五边形MCNGF的面积为2x2。由此，可以得出GF的长度为x。接着，利用勾股定理，可以计算出HF的长度为x。再根据折叠的性质，可以求出正方形ABCD的面积为9x2，从而得出PM的长度为3x。然后通过计算FM的长度，最后求出FM/GF的值。
11．（2024八下·广州期中）正比例函数（）的图象过点（-1，3），则k= .
【答案】-3
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数（）的图象经过点（-1，3），
∴3=-k，
解得k=-3，
故答案为-3．
【分析】根据题意先求出3=-k，再计算求解即可。
12．（2024八下·广州期中） Rt△ABC中，三边分别是a，b，c，斜边c=3，则a2+b2+c2的值为 ．
【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边c=3，
∴a2+b2=c2=22=9，
∴a2+b2+c2=9+9=18，
故答案为：18．
【分析】根据题意先求出a2+b2=c2=22=9，再求解即可。
13．（2024八下·广州期中）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是 ．
【答案】（7，4）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），
∴BC=OA=6，6+1=7，
∴点B的坐标是（7，4）；
故答案为（7，4）．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
14．（2024八下·广州期中）如果将直线y=3x-1平移，使其经过点（0，2），那么平移后所得直线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设平移后直线的解析式为y=3x+b．
把（0，2）代入直线解析式得2=b，
解得 b=2．
所以平移后直线的解析式为y=3x+2．
故答案为：y=3x+2．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=3x+b，然后将点（0，2）代入即可得出直线的函数解析式．
15．（2024八下·广州期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由于折叠可得：AD'=BC，∠D'=∠B，又∠AFD'=∠CFB，
∴△AFD'≌△CFB（AAS），
∴D'F＝BF，
设D'F＝x，则AF＝6 x，
在Rt△AFD'中，（6 x）2＝x2＋42，
解之得：x＝，
∴AF＝AB FB＝6 ＝，
∴S△AFC＝ AF BC＝．
故答案为：．
【分析】
根据矩形与折叠的性质可得AD'=BC，∠D'=∠B，进而可得△AFD'≌△CFB，在Rt△AFD 中，利用勾股定理可得方程（6 x）2＝x2＋42，解方程可得DF的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
16．（2024八下·广州期中）如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G、M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④．其中正确的结论是 （请填写序号）．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又为公共边，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
故②正确；
如图，连接与交于点，交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
即，
∵垂直平分，
∴，
当点与点重合时，的值最小，
此时，即的最小值是的长，
∵正方形的边长为，
，
，
即的最小值为
故③正确；
∵垂直平分，
，
又，
，
故④错误；
综上，正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
【分析】先利用正方形的性质和“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，再利用割补法和等量代换可得判断出①是否正确；再利用“ASA”证出，可得，再结合，证出垂直平分，从而可判断出②是否正确；连接与交于点，交于点，连接，再证出当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，再求出的最小值为从而可判断出③是否正确；再利用垂直平分线的性质可得，最后利用三角形的面积公式求出，从而可判断出④是否正确.
17．（2024八下·广州期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
根据运算顺序，先用平方差公式和完全平方公式先计算乘法运算，然后再计算加减运算，即可得到答案．
18．（2024八下·广州期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是上一点，，交于点O．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．（2024八下·广州期中）如图，已知，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，，，
∴
∴是直角三角形，．
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
20．（2024八下·广州期中）已知：．
（1）化简A；
（2）若点是一次函数图象上的点，求A的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵点是一次函数图象上的点，
∴，即，
∴原式．
【知识点】分式的加减法；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】
（1）首先A中有两个分数项，它们有共同的分母因子a+b（在第二个分数中，分母（a b） 2 可以分解为(a+b)(a b)），然后通过通分和合并分子来化简表达式，最后通过约分得到化简后的表达式；
（2）把点坐标代入一次函数解析式求出的值，代入（1）得到的表达式计算即可求出值．
21．（2024八下·广州期中）如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明为矩形．
【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）添加条件①，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形；
添加条件②，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的判定定理即可期初答案.
（2）根据平行四边形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
22．（2024八下·广州期中）如图，在中，．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等；
②作点D关于直线的对称点E，连接，，．
（2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
【答案】（1）解：①如图所示，点D即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵点D和点E关于直线的对称，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）①根据垂直平分线的画法作图即可；②以点O为圆心，长为半径画弧，交于点E，连线即可；
（2）由线段垂直平分线的定义可得，，再由轴对称的性质可得，由此即可证明四边形是菱形．
23．（2024八下·广州期中）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了.1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）___________，___________；
（2）请分别求出，与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
【答案】（1），30
（2）解：由（1）可得与函数图象的交点坐标为，设，，
将分别代入可得：，
解得：，，
∴，；
（3）解：由题意可得或，当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：，30；
【分析】
（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值和2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，利用待定系数法分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
24．（2024八下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）以线段，为邻边作 ，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：点在直线上，
，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
直线的解析式为
（2）解： ①点在直线上，且的横坐标为，
的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，
，
，
，
即；
②的面积为，
，
即，
解得，
由①知，，
，
解得，
即的值为或
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，然后运用待定系数法得到直线的解析式；
（2）①用含m的代数式求出的长，然后利用得到方程，用m表示l值即可；
②利用题意所给面积求出出l值，即可得到m值解题.
25．（2024八下·广州期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在正方形外角的平分线上，连接AE，记AE与对角线BD的交点为M．
（1）求证：；
（2）如图2，点N是边AB的中点，连接MN，若，请探索BE与BD的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，记BE与边CD的交点为点F，在BC边上取点P，使，连接AP，AF，求的度数．
【答案】（1）证明：如图1，过点E作EH//BC交BD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB，∠CBD=45°，∠BCD=∠BAD=90°，AD//BC，
∴∠DCG=90°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE=∠DCE=∠DCG=×90°=45°，
∴CE//BD，
∴四边形BCEH是平行四边形，
∴BC=EH，
∴AD=EH；
∵AD//BC，EH//BC，
∴EH//AD，
∴∠DAM=∠HEM，
在△DAM和△HEM中，
，
∴△DAM≌△HEM(AAS)，
∴AM=EM
（2）解：如图2，BE=BD，理由如下：
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴BD=，
由(1)得AM=EM，
∵N是边AB的中点，
∴MN//BE，MN=BE，
∴△AMN∽△AEB，
∴，
又∵MN=AN，
∴BE=AB，
∵BD=AB，
∴BE=BD
（3）解：如图3，连接AC交BD于点O，过点E作ET⊥BD于点T，延长CD到Q，使DQ=BP，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ACD=∠BDC=45°，AC⊥BD，OC=AC=BD，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=45°+45°=90°，
∴四边形CETO是矩形，
∴ET=OC，
由(2)得BE=BD，
∴ET=BE，∠BDE=∠BED=，
∴∠DBE=30°，
∴∠BDE=∠BED==75°，
∴∠EDF=∠BDE-∠BDC=75°-45°=30°，
∴∠DFE=180°-∠EDF-∠BED=180°-30°-75°=75°，
∴∠DFE=∠BED，
∴DE=DF，
∵BP+DE=PF，BP=DQ，
∴DQ+DF=PF，
∴QF=PF；
在△ABP和△ADQ中，，
∴△ADQ≌△ABP(SAS) ，
∴AP=AQ，∠BAP=∠DAQ，
∴∠BAP+∠PAD=∠DAQ+∠PAD，即∠PAQ=∠BAD=90°；
在△PAF和△QAF中，，
∴△PAF≌△QAF(SSS)，
∴∠PAF=∠QAF=∠PAQ=×90°=45°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
广东省广州市第十六教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·广州期中）要使在实数范围内有意义，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·广州期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
3．（2024八下·广州期中）如图，为的中线，且，，，则等于( )
A． B． C． D．
4．（2024八下·广州期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·广州期中）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．8 C． D．4
6．（2024八下·广州期中）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
7．（2024八下·广州期中）下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．y的值随着x增大而减小
B．当时，
C．函数图象与y轴的交点坐标为
D．函数图象经过第一、二、四象限
8．（2024八下·广州期中）如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·广州期中）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx k 1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2024八下·广州期中）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形的面积是正方形面积的2倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·广州期中）正比例函数（）的图象过点（-1，3），则k= .
12．（2024八下·广州期中） Rt△ABC中，三边分别是a，b，c，斜边c=3，则a2+b2+c2的值为 ．
13．（2024八下·广州期中）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是 ．
14．（2024八下·广州期中）如果将直线y=3x-1平移，使其经过点（0，2），那么平移后所得直线的表达式是 ．
15．（2024八下·广州期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为
16．（2024八下·广州期中）如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G、M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②垂直平分；③的最小值为；④．其中正确的结论是 （请填写序号）．
17．（2024八下·广州期中）计算：．
18．（2024八下·广州期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是上一点，，交于点O．求证：．
19．（2024八下·广州期中）如图，已知，，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
20．（2024八下·广州期中）已知：．
（1）化简A；
（2）若点是一次函数图象上的点，求A的值．
21．（2024八下·广州期中）如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明为矩形．
22．（2024八下·广州期中）如图，在中，．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①在线段上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等；
②作点D关于直线的对称点E，连接，，．
（2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
23．（2024八下·广州期中）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了.1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）___________，___________；
（2）请分别求出，与x的函数关系式；
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
24．（2024八下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）以线段，为邻边作 ，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
25．（2024八下·广州期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在正方形外角的平分线上，连接AE，记AE与对角线BD的交点为M．
（1）求证：；
（2）如图2，点N是边AB的中点，连接MN，若，请探索BE与BD的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，记BE与边CD的交点为点F，在BC边上取点P，使，连接AP，AF，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
解得：，
故选：．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得，解出x的值即可选出答案．
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连，
则，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
．
故选：B．
【分析】
连接，先根据勾股定理求出AB、AC、BC的长度，再根据勾股定理逆定理及等腰三角形的定义可得是以、为腰的等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得答案．
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中线
【解析】【解答】为的中线，，
，
∵，，
，
三角形为直角三角形，
，，
垂直平分，
．
故选：D．
【分析】
先根据题意得出，然后根据勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，进而得垂直平分，最后根据垂直平分线的性质即可求解．
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B.，原计算错误，故B不符合题意；
C.，原计算错误，故C不符合题意；
D.，计算正确，故D符合题意；
故选：D．
【分析】
根据二次根式的运算法则和同类项的定义逐项进行判断即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×4＝16．
故选：A．
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，不成立，不符合题意；
B、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意；
C、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，不成立，不符合题意；
D、逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不成立，不符合题意．
故选：B．
【分析】
先得出原命题的逆命题，然后根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
7．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为，，
∴y的值随着x增大而减小，且函数图象经过第一、二、四象限，故A、D正确，不符合题意；
当时，，
∴函数图象与y轴的交点坐标为，当时，，故B说法错误，符合题意，C说法正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据一次函数图象与系数的关系，及一次函数的性质，（对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，当时，y的值随着x增大而增大，当时，y的值随着x增大而减小），逐项分析即可。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=2，BD=4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选：D
【分析】
先根据平行四边形的性质得出AO、BO的长度，再由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC交于点D，
∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，
∴点D的坐标为（2，1），
∵直线y=kx k 1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线过点D，
则2k-k-1=1，
解得：k=2，
故选：C．
【分析】
直线y=kx k 1将四边形OABC分成面积相等的两部分，这意味着直线必定经过矩形的中心，即对角线OB和AC的交点D。利用矩形对角线互相平分的性质，以及点A和点C的坐标，求出了点D的坐标为(2，1)，由于直线过点D，所以将点D的坐标代入直线方程y=kx k 1中即可求出k的值。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，
∵五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】
首先根据题意，连接线段HF，并找到其与AD的交点P。然后利用题目中给出的面积关系，设正方形EFGH的面积为x2，五边形MCNGF的面积为2x2。由此，可以得出GF的长度为x。接着，利用勾股定理，可以计算出HF的长度为x。再根据折叠的性质，可以求出正方形ABCD的面积为9x2，从而得出PM的长度为3x。然后通过计算FM的长度，最后求出FM/GF的值。
11．【答案】-3
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数（）的图象经过点（-1，3），
∴3=-k，
解得k=-3，
故答案为-3．
【分析】根据题意先求出3=-k，再计算求解即可。
12．【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边c=3，
∴a2+b2=c2=22=9，
∴a2+b2+c2=9+9=18，
故答案为：18．
【分析】根据题意先求出a2+b2=c2=22=9，再求解即可。
13．【答案】（7，4）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），
∴BC=OA=6，6+1=7，
∴点B的坐标是（7，4）；
故答案为（7，4）．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：设平移后直线的解析式为y=3x+b．
把（0，2）代入直线解析式得2=b，
解得 b=2．
所以平移后直线的解析式为y=3x+2．
故答案为：y=3x+2．
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=3x+b，然后将点（0，2）代入即可得出直线的函数解析式．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由于折叠可得：AD'=BC，∠D'=∠B，又∠AFD'=∠CFB，
∴△AFD'≌△CFB（AAS），
∴D'F＝BF，
设D'F＝x，则AF＝6 x，
在Rt△AFD'中，（6 x）2＝x2＋42，
解之得：x＝，
∴AF＝AB FB＝6 ＝，
∴S△AFC＝ AF BC＝．
故答案为：．
【分析】
根据矩形与折叠的性质可得AD'=BC，∠D'=∠B，进而可得△AFD'≌△CFB，在Rt△AFD 中，利用勾股定理可得方程（6 x）2＝x2＋42，解方程可得DF的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
16．【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又为公共边，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
故②正确；
如图，连接与交于点，交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
即，
∵垂直平分，
∴，
当点与点重合时，的值最小，
此时，即的最小值是的长，
∵正方形的边长为，
，
，
即的最小值为
故③正确；
∵垂直平分，
，
又，
，
故④错误；
综上，正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
【分析】先利用正方形的性质和“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，再利用割补法和等量代换可得判断出①是否正确；再利用“ASA”证出，可得，再结合，证出垂直平分，从而可判断出②是否正确；连接与交于点，交于点，连接，再证出当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长，再求出的最小值为从而可判断出③是否正确；再利用垂直平分线的性质可得，最后利用三角形的面积公式求出，从而可判断出④是否正确.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
根据运算顺序，先用平方差公式和完全平方公式先计算乘法运算，然后再计算加减运算，即可得到答案．
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，，，
∴
∴是直角三角形，．
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
20．【答案】（1）解：
（2）解：∵点是一次函数图象上的点，
∴，即，
∴原式．
【知识点】分式的加减法；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】
（1）首先A中有两个分数项，它们有共同的分母因子a+b（在第二个分数中，分母（a b） 2 可以分解为(a+b)(a b)），然后通过通分和合并分子来化简表达式，最后通过约分得到化简后的表达式；
（2）把点坐标代入一次函数解析式求出的值，代入（1）得到的表达式计算即可求出值．
21．【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）添加条件①，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形；
添加条件②，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的判定定理即可期初答案.
（2）根据平行四边形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）解：①如图所示，点D即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵点D和点E关于直线的对称，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）①根据垂直平分线的画法作图即可；②以点O为圆心，长为半径画弧，交于点E，连线即可；
（2）由线段垂直平分线的定义可得，，再由轴对称的性质可得，由此即可证明四边形是菱形．
23．【答案】（1），30
（2）解：由（1）可得与函数图象的交点坐标为，设，，
将分别代入可得：，
解得：，，
∴，；
（3）解：由题意可得或，当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：，30；
【分析】
（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值和2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，利用待定系数法分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
24．【答案】（1）解：点在直线上，
，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
直线的解析式为
（2）解： ①点在直线上，且的横坐标为，
的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，
，
，
，
即；
②的面积为，
，
即，
解得，
由①知，，
，
解得，
即的值为或
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，然后运用待定系数法得到直线的解析式；
（2）①用含m的代数式求出的长，然后利用得到方程，用m表示l值即可；
②利用题意所给面积求出出l值，即可得到m值解题.
25．【答案】（1）证明：如图1，过点E作EH//BC交BD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB，∠CBD=45°，∠BCD=∠BAD=90°，AD//BC，
∴∠DCG=90°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE=∠DCE=∠DCG=×90°=45°，
∴CE//BD，
∴四边形BCEH是平行四边形，
∴BC=EH，
∴AD=EH；
∵AD//BC，EH//BC，
∴EH//AD，
∴∠DAM=∠HEM，
在△DAM和△HEM中，
，
∴△DAM≌△HEM(AAS)，
∴AM=EM
（2）解：如图2，BE=BD，理由如下：
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴BD=，
由(1)得AM=EM，
∵N是边AB的中点，
∴MN//BE，MN=BE，
∴△AMN∽△AEB，
∴，
又∵MN=AN，
∴BE=AB，
∵BD=AB，
∴BE=BD
（3）解：如图3，连接AC交BD于点O，过点E作ET⊥BD于点T，延长CD到Q，使DQ=BP，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ACD=∠BDC=45°，AC⊥BD，OC=AC=BD，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=45°+45°=90°，
∴四边形CETO是矩形，
∴ET=OC，
由(2)得BE=BD，
∴ET=BE，∠BDE=∠BED=，
∴∠DBE=30°，
∴∠BDE=∠BED==75°，
∴∠EDF=∠BDE-∠BDC=75°-45°=30°，
∴∠DFE=180°-∠EDF-∠BED=180°-30°-75°=75°，
∴∠DFE=∠BED，
∴DE=DF，
∵BP+DE=PF，BP=DQ，
∴DQ+DF=PF，
∴QF=PF；
在△ABP和△ADQ中，，
∴△ADQ≌△ABP(SAS) ，
∴AP=AQ，∠BAP=∠DAQ，
∴∠BAP+∠PAD=∠DAQ+∠PAD，即∠PAQ=∠BAD=90°；
在△PAF和△QAF中，，
∴△PAF≌△QAF(SSS)，
∴∠PAF=∠QAF=∠PAQ=×90°=45°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
