内蒙古赤峰市红山区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
5．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A． B． C．或 D．或
8．我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A． B．与互斥
C．与相互独立 D．与互为对立
10．已知曲线，则（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线
C．存在实数，使得过点
D．当时，直线总与曲线相交
11．已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．M为圆C上一动点，则最小值为
C．最短时，弦直线方程为
D．最短时，弦长为
三、填空题
12．已知复数，则 .
13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
14．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为 .
四、解答题
15．已知中角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求周长．
16．在等差数列中，，，数列的前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
17．某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．心理测评评价标准
调查评分
心理等级 A
(1)求的值及频率分布直方图中的值；
(2)该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只管发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分）
(3)在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率．
18．如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点.
(1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程；
(2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处；
(3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程.
参考答案
1．B
【详解】由题意可得，，则.
故选：B.
2．B
【详解】由题意知，该组数据共有8个，则
所以第25百分位数为.
故选：B
3．C
【详解】因为，所以，，
解得，所以，
故两平行直线间的距离．
故选：C．
4．A
【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
.
故选：A．
5．B
【详解】
.
故选：B.
6．C
【详解】圆：和：的圆心和半径分别为，
由可知圆内含于圆内.
设动圆半径为，
由题意可得，，
两式相加可得，
故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，
所以椭圆方程为.
故选：C.
7．C
【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，
所以，
同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.
8．C
【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面，
可得，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以，
设此时球的半径为R，则，
即，解得，
所以球的体积V的最大值为.
故选：C
9．ACD
【详解】设2个白球为，2个黑球为，
则样本空间为：，共12个基本事件.
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A正确；
对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，，
则，故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确．
故选：ACD．
10．ABC
【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确；
当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确；
令，整理得且，此方程有解，故C正确；
当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以，
所以四边形的面积，
因为，当时，取最小值，且，
所以四边形的面积的最小值为，故A正确；
对于B，因为，所以最小值为，故B错误；
对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设，
其圆的方程为：，
化简为，与方程相减可得：，
则直线的方程为，当最短时，，则，
解得，故直线的方程为，故C正确；
对于D，当最短时，圆心C到直线的距离，
所以弦长为，故D正确.
故选：ACD.
12．/i+1
【详解】依题意，，则，
所以.
故答案为：.
13．
【详解】由投影向量的定义可知，
，
故答案为：
14．
【详解】根据题意：，，，,
利用叠加法：，
由，.
所以，
则.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由和正弦定理可得，
，
因为，所以，
所以，，，
，；
（2），，
又，
，
，
的周长为.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，，
数列的前项和为，且，
当时，则有，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.
（2）解：因为，则，①
可得，②
①②得
，
故.
17．(1)，
(2)不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见详解
(3)
【详解】（1）由已知条件可得，
又因为每组的小矩形的面积之和为1.
所以，解得；
（2）由频率分布直方图可得，
.
估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，
所以市民心理健康指数平均值为.
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
（3）由（1）知：，则调查评分在中的人数是调查评分在中人数的，
若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人，
设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B”.
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以.
故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为.
18．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）存在，
【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，
平面，
又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
为棱的中点，
（i），
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
，
根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为
（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设，
则，
由（2）知平面的一个法向量为，
，
∴点Q到平面的距离是
，
．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：因为等边的重心坐标为，
.
在半椭圆中，
由，
，
解得，
因此“曲线”的方程为.
（2）证明：设，则，.
，开口向下，
对称轴为：，
当或时，
取得最小值时，即在点或处.
（3）由题可知，直线的斜率，则设直线，
设在上，
当时，.
设在半椭圆上，
当时，.
的中点为,
即线段中点的轨迹方程为：.
