河北省张家口市2025届高三下学期高考模拟（一）数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（ ）
A．3.5和2 B．3和4 C．4和2 D．3.5和4
3．若复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
4．从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．设为钝角，若直线与曲线只有一个公共点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数的零点个数可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．已知球O的表面积为，点P，A，B，C均在球面上，且，，，则（ ）
A．球O的半径为2
B．平面截球面所得小圆的面积为
C．点到平面的距离为
D．球体挖去四面体后余下部分的体积为
11．如图，在平面直角坐标系中，曲线为伯努利双纽线，其中，为焦点，点为上任意一点，且满足，曲线的方程为.则下列说法正确的有（ ）
A．曲线为中心对称图形和轴对称图形
B．若直线与曲线恰有3个交点，则
C．曲线在直线与所围成的矩形区域内
D．当参数变化时，曲线上的最高点均在曲线上
三、填空题
12．已知数列满足，且，则 .
13．已知函数，，则的取值范围是 .
14．我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为 ；该马运动到点所有可能落点（包括点）的个数为 .
四、解答题
15．如图，已知三棱锥中，，，平面平面ABC，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)若为AC的中点，求PQ与平面所成角的正弦值.
16．已知，.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，使，求的取值范围.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)若，求；
(2)当BC边上的中线最小时，求的面积.
18．已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程；
(3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值.
19．某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设，，分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率.
(1)若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；
(2)求及其最大值；
(3)已知，，
若数列的前项和为，证明：.
参考答案
1．C
【详解】由题得，
所以.
故选：C
2．D
【详解】将数据2，3，8，5，4，2按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，8，
所以中位数为；
平均数为.
故选：D.
3．C
【详解】由题得，
所以.
故选：C
4．D
【详解】任取4个不同的数，且从大到小排列可得所有的情况有种，
第2个数为7的情况有，
故概率为，
故选：D
5．B
【详解】因为为钝角，所以，
联立，
当即时，方程只有一个解，
所以直线与曲线只有一个公共点，符合题意；
当即时，
因为直线与曲线只有一个公共点，
所以，
因为，所以，解得或，都不符合，舍去，
所以，所以曲线，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线，
所以，，所以的离心率为.
故选：B
6．C
【详解】由题，所以直线的方程为，代入得，
设，则，
所以，
所以.
故选：C
7．A
【详解】由①可得，
由②可得，
因此，所以的周期为8，
，
由于，
，
故选:A
8．A
【详解】由于关于原点对称，故在轴上，
，则中点为，易知,
因此直线的垂直平分线方程为，
令，则，故,
边上的高所在的直线方程为，故，
故，
，
故，且，
由可得，
由于，因此，解得，
故，解得，
故选：A
9．ACD
【详解】
由题函数，
所以函数定义域为关原点对称于，且，
所以函数是偶函数，当时，函数，
设直线与相切于点，直线与相切于点，
对求导得，对求导得，
所以由导数几何意义有，且，，
所以，此时，
，此时，
综上，如图，由指数函数和对数函数图象性质可知：
当时，函数与图象关于直线对称，且均与该直线相交于公共两点，此时函数有两个零点；
当时，函数与图象关于直线对称，且均与直线相切于一点，此时函数有1个零点；
当时，函数与图象关于直线对称，且两图象分布在该直线两侧，无交点，此时函数无零点；
所以，综上可知，函数的零点个数可以为0个或2个或4个.
故选：ACD
10．AB
【详解】 由已知条件，且，，所以三棱锥为正三棱锥.
点P，A，B，C均在球面上，所以球为正三棱锥的外接球，球心为，
设底面三角形的中心为，顶点在底面中的射影为底面正三角形的中心，外接球的球心位于射线上，如图所示：
选项A：设球的半径为，
球的表面积公式为 ，解得半径 ，故选项A正确；
选项 B：平面 是一个等边三角形，边长为 3.
等边三角形的外接圆半径为：，
这就是平面截球面所得小圆的半径，
此小圆面积为：，故选项 B 正确；
选项C：球心到平面的距离，
点到平面的距离为(当球心在线段上时)，
或（当球心位于的延长线上时).
当球心位于的延长线上时，，
于矛盾，舍去.
当球心在线段上时，，符合题意，
所以点到平面的距离为，故选项C错误；
选项D：四面体的体积为：，
其中底面积为等边三角形的面积：，
高为点到平面的距离，
因此：，
球体挖去四面体后余下部分的体积为：
，
但根据选项 D 的描述，余下部分的体积为，因此选项 D 错误.
故选：AB.
11．ACD
【详解】对于A，因为，关于原点对称，设动点，由题可得的轨迹方程，
把关于原点对称的点代入轨迹方程，把关于y轴对称的点代入轨迹方程，原方程不变，A选项正确；
对于B，由题意得直线与曲线一定有公共点，
联立方程组，得到，
若直线与曲线有3个交点，则方程除外无解，
而，，则即可，解得，故B错误；
因为，故，
又，所以，
即，故；
在中，令，可得，
解得或，所以，
所以曲线在直线与所围成的矩形区域内，C选项正确；
在中，令时，可得，
化简得，解得，
所以，当参数变化时，曲线上的最高点均在曲线上，
故D项正确；
故选：ACD.
12．
【详解】由题得
，
当时，符合题意，
所以，
故答案为：.
13．
【详解】，
由于，故，当且仅当时等号成立，
又，
当且仅当等号成立，
因此，
当且仅当等号成立，由于，故等号取不到，
故答案为：
14． 5 10
【详解】以“马”的初始位置为原点，棋盘的横竖两边为轴建立坐标系，
以题意可得：“马”每次只能按向量或行走，
设落点为（），按上述两个向量前进的此时分别为，
则
所以，即
第一空：由于，所以，
第二空：由于所以
又为3的倍数，且只能往右前方前进，所以
当时，此时对应的点有，,
当时，此时对应的点有，
当时，此时对应的点有，
当时，此时对应的点有
综上可得，共有10种情况，
故答案为：5，10
15．(1)
(2)
【详解】（1）
过作，
平面平面ABC，平面平面，平面，平面，
因为，，，所以，
在直角三角形中，，所以，
所以点到平面的距离为；
（2）
因为，过作的平行线为轴，以为轴建立直角坐标系，
在中，，，，所以，
在直角三角形中，因为，，，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，则，
取，所以，
设PQ与平面所成角为，
所以.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）时，，
所以，所以切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为即.
（2）因为，使得即，
所以，令，则，
所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）因为，所以，故，
又，即，
所以由正弦定理，
若，则，
则，
所以；
（2）由（1）得，取中点，
则为BC边上的中线，
则，
又由余弦定理得，故，
即，当且仅当时等号成立，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以BC边上的中线最小值为，此时.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设短轴的端点为，左右焦点为，
由于是直角三角形，所以，结合，
解得，故，
（2）由可得椭圆方程为，
与直线联立可得，
由于直线恰好与椭圆相切，故，解得，
所以椭圆方程为
（3）由于在椭圆上，设,
由可得，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入椭圆方程中，消去可得，
则，
由可得
即，
化简得，
由于不在直线上，所以，故，，
故直线的方程为，故过定点，
当直线的斜率不存在时，可得，
代入可得，
结合可得或（舍去），
此时直线也经过，
综上可得直线恒经过.
因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长，
又直线恒经过，所以,
19．(1)见解析
(2)，最大值为，
(3)证明见解析
【详解】（1）设三次学习中学习技能Y次数为,则的取值可以为1，2，
第一次学，第二次学,第三次学，则,
第一次学，第二次学,第三次学，则,
故,
第一次学，第二次学,第三次学，则,
第一次学，第二次学,第三次学，则,
故,
故的分布列为：
1 2
故
（2）已知，
设，又，
所以
因此为等比数列，且公比为，首项为，
故，故，
要使得最大，则为偶数，此时，
此时单调递减，故当时，取到最大值
（3），
，
当，
，
，
所以
由于，
所以
