紫市中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）杨絮，又名大叶杨花絮．据《本草纲目》记载，杨絮具有清热解毒、益肝明目等功效，杨树果实将要成熟时，果实开裂，杨絮四处飞扬，飘在大街上会让人呼吸道不畅，因此，行道树禁止种植杨树，建议种其他树种．据测定，某种杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数据用科学记数法表示为（ ）
A．1.05×105 B．1.05×10﹣5 C．1.05×104 D．1.05×10﹣4
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝2a2 B．a2 a3＝a6
C．a6÷a3＝a2 D．（3a）2＝6a2
4．（3分）如果三角形的两边长分别为4厘米、6厘米，那么第三边的长不可能是（ ）
A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．9厘米
5．（3分）三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB＝AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．这里推断∠BAD＝∠CAD的理由是（ ）
A．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，得△ABD≌△ACD
B．由AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
C．由AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
D．由AB＝AC，∠BDA＝∠CDA，BD＝CD，得△ABD≌△ACD
6．（3分）将三角尺按照如图所示的方式摆放，若直线a∥b，∠2＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．140° B．110° C．120° D．100°
7．（3分）六一儿童节，妈妈带小明去游乐园游玩，小明坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为5米
C．小明出发后的第3分钟和第9分钟离地面的高度相同
D．小明离地面的最大高度为45米
8．（3分）如图，在△ABC中，AD，CE是三角形的高，若AB＝5，BC＝6，AD＝4，则线段CE的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
C． D．
10．（3分）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是 ．
12．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1．若这两个三角形全等，则xy的值为 ．
13．（3分）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为 ．
14．（3分）若代数式4x2﹣2kx+9是完全平方式，则常数k的值为 ．
15．（3分）如图，AB，CD交于点O，OE⊥CD于O，连接CE，∠AOC＝35°，则∠BOE＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）|﹣2|﹣（π﹣3）0+（）﹣1﹣（﹣3）2；
（2）20212﹣2020×2022（运用乘法公式计算）．
17．（8分）如图，已知：AD∥BC，AE＝CF．∠D＝∠B，求证：△AFD≌△CEB．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规作图法作AB的垂直平分线DE，分别交AC、AB于点D和点E，（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，当∠CBD＝36°时，求∠A的度数．
19．（9分）已知x﹣3y＝5，求（x﹣5y）（x﹣y）+（2y+7）（2y﹣7）的值．
20．（9分）一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？
（3）如果弹簧最大挂重为15kg，你能预测当挂重为10kg时，弹簧的长度是多少？
21．（9分）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）；
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝ ；
②计算：．
22．（12分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转，使线段AB的对应线段A'B'恰好经过点B，得到图2，线段A'C与AB相交于点D．
初步分析：（1）判断△CBB'的形状，并说明理由；
深入探究：（2）乐学组的同学将图2中的△BDC沿射线BA的方向平移得到△EFG（点E，F，G分别是点B，D，C的对应点），线段EG，FG分别与边AC相交于点M，N．
①如图3，当点M恰好是线段EG的中点时，他们发现MN＝FN，请证明这个结论；
②若BC＝4，当点N恰好是线段AM的中点时，请直接写出△BDC平移的距离．
23．（12分）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．
求证：AB+AC＞2AD．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA（依据一），
∴BE＝CA
在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二），
∴AB+AC＞2AD．
归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；
依据2： ．
（2）如图3，AB＝6，AC＝10，则AD的取值范围是 ；
（3）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A B B D A D C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：B．
2．解：0.0000105＝1.05×10﹣5．
故选：B．
3．解：A．3a2﹣a2＝2a2，故该选项正确，符合题意；
B．a2 a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
C．a6÷a3＝a3，故该选项不正确，不符合题意；
D． （3a）2＝9a2，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．解：设第三边为a厘米，
根据三角形的三边关系可得：6﹣4＜a＜6+4，
解得：2＜a＜10．
故第三边的长不可能是2厘米．
故选：A．
5．解：由题意可得：BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
综上所述，只有选项B推断∠BAD＝∠CAD，正确，符合题意，
故选：B．
6．解：如图，
∵直线a∥b，∠2＝70°，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：B．
7．解：由图可知，小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟，9﹣3＝6（分）．
即摩天轮旋转一周需要6分钟，故选项A说法正确，不合题意；
由图可知，小明出发后经过6分钟，离地面的高度为5米，故选项B说法正确，不合题意；
由图可知，小明出发后的第3分钟和第9分钟离地面的高度相同，均为50米，故选项C说法正确，不合题意；
由图可知，小明离地面的最大高度为50，故选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
8．解：∵AD，CE是三角形的高，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴，
∵AB＝5，BC＝6，AD＝4
∴，
∴，
故选：A．
9．解：由作法得BP平分∠ABC，所以A选项不符合题意；
∵∠C＝90°，∠A＝30°．
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC60°＝30°，
∵∠ABD＝∠A，
∴DA＝DB，所以B选项不符合题意；
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴CDBD，所以C选项不符合题意；
∴CDAD，
∴，所以D选项符合题意．
故选：D．
10．解：依题意，作A关于街道所在直线的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：这个角的的度数是90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
12．解：∵△ABC，△DEF两个三角形全等，
∴3x﹣2＝5，2y﹣1＝7或3x﹣2＝7，2y﹣1＝5，
解得：x，y＝4或x＝3，y＝3，
则xy或9，
故答案为：或9．
13．解：∵∠BGC＝∠GFC+∠ACE，∠GFC＝∠A+∠ABF，
∴∠BGC＝∠A+∠ABF+∠ACE，
同理：∠BDC＝∠BGC+∠DBF+∠DCE，
∵∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，
∴∠DBF+∠DCE＝30°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABF＝∠DBF，∠ACE＝∠DCE，
∴∠ABF+∠ACE＝∠DBF+∠DCE＝30°，
∵∠BGC＝∠A+∠ABF+∠ACE，
∴∠A＝100°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
14．解：∵代数式4x2﹣2kx+9是一个完全平方式，
∴±2×2x×3＝﹣2kx，
∴k＝±6，
故答案为：±6．
15．解：∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
故答案为：55°．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）|﹣2|﹣（π﹣3）0+（）﹣1﹣（﹣3）2
＝2﹣1+2﹣9
＝4﹣10
＝﹣6；
（2）20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
17．证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（AAS）．
18．解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）如图：
∵AB＝AC，
∴．
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB．
∴∠ABD＝∠A．
∵∠CBD＝36°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠A+36°．
∴．
∴∠A＝36°．
19．解：（x﹣5y）（x﹣y）+（2y+7）（2y﹣7）
＝x2﹣xy﹣5xy+5y2+4y2﹣49
＝x2﹣6xy+9y2﹣49，
当x﹣3y＝5时，
原式＝（x﹣3y）2﹣49
＝52﹣49
＝25﹣49
＝﹣24．
20．解：（1）上表反映了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；
（2）∵x＝0时，y＝12，
∴弹簧不挂物体时的长度是12cm，
由表可知，随着x增大，y逐渐增大，
y与x的关系式为y＝0.5x+12；
（3）∵弹簧最大挂重为15kg，
当x＝10时，y＝10×0.5+12＝17，
∴弹簧的长度为17cm．
21．解：（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图1、图2的面积相等得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：D；
（2）①∵9a2﹣b2＝36，
∴（3a+b）（3a﹣b）＝36，
又∵3a+b＝9，
∴3a﹣b＝36÷9＝4，
故答案为：4；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
．
22．（1）解：△CBB′是等边三角形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由旋转得：BC＝B′C，∠B′＝∠ABC＝60°，
∴△CBB′是等边三角形；
（2）①证明：如图3，连接EN，
∵△CBB′是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
由旋转得：∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠BCB′
＝90°﹣60°
＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝90°，
由平移得：∠G＝∠BCD＝30°，∠EFG＝∠BDC＝90°，EG∥BC，
∴EFEG，∠EMN＝∠ACB＝90°，
∵点M恰好是线段EG的中点，
∴EMEG，
∴EF＝EM，
在Rt△EFN和Rt△EMN中，
，
∴Rt△EFN≌Rt△EMN（HL），
∴MN＝FN；
②解：设MN＝x，
∵N是AM的中点，
∴AN＝x，AM＝2x，
由①得：GN＝2MN＝2x，AE＝2EM，AB＝2BC＝8，
∴MGx，
∵EM2+AM2＝AE2，
∴EM2+（2x）2＝（2EM）2，
解得：EMx，
∴EG＝EM+MGxxx，
由平移得：EG＝BC＝4，
解得：x．
∴EM，
∴AE＝2EM，
∴BE＝AB﹣AE＝8，
故△BDC平移的距离为．
23．（1）证明：延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝CA，
在△ABE中，AB+BE＞AE（三角形任意两边之和大于第三边），
∴AB+AC＞2AD．
故答案为：SAS，三角形任意两边之和大于第三边．
（2）解：如图1，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB＝EC＝4，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
∴4﹣3＜2AD＜4+3，
∴1＜2AD＜7，
∴．
故答案为：．
（3）EF与AD的数量关系为EF＝2AD．
理由如下：如图2，延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△MCD中，
，
∴△ABD≌△CDM（SAS），
∴AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，
∴AE＝CM，AB∥CM，
∴∠BAC+∠ACM＝180°，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ACM，
又∵AF＝AC，
∴△EAF≌△MCA（SAS），
∴AM＝EF，
∵AM＝2AD，
∴EF＝2AD．
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