宁夏回族自治区2025年初中学业水平模拟考试
数学试题(四)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.2024的相反数是( )
A.2024 B.-2024 C. D.-
2.明明在镜中看到身后墙上的时钟如图,你认为实际时间最接近8:00的是( )
3.下列计算正确的是( )
A.+= B.±=±3 C.-=3 D.-=-3
4.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛,他们比赛成绩的平均数和方差如表,根据表中数据,要从中选择一名平均成绩好,且发挥稳定的运动员参加比赛,最合适的人选是( )
项目 甲 乙 丙 丁
/cm 169 169 168 168
s2 6.0 5.0 5.0 19.5
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.设点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-2x2+m上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y3>y2>y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3
6.在做科学实验时,老师将第一个量筒(圆柱)中的水全部倒入第二个空量筒中,如图所示,根据图中给出的信息,可得正确的方程是( )
A.π·()2·x=π·()2·(x+5) B.π·8·x=π·6·(x+5)
C.π·()2·x=π·()2·(x-5) D.π·82·x=π·62·(x-5)
7.在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=与一次函数y=-kx+k(k≠0)的图象可能是( )
8.如图,已知菱形ABCD的面积是24,E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,连接AE,BF,AE与BF交于点G,则△BEG的面积为( )
A. B. C.3 D.9
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9.在一个不透明的袋子里装有3个红球和2个蓝球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出1个球,则摸出的球是红球的概率为 .
10.若关于x的不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是 .
11.已知==(x,y,z均不为0),则= .
12.已知x1,x2是关于x的方程x2-x-2=0的两个实数根,则x2+x1= .
13.如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为1∶3,OA=2,则OD的长为 .
14.如图,菱形ABCD的边长为4,∠A=45°,分别以点A,D为圆心,大于AD的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,直线MN交AB于点E,连接CE,则CE的长为 .
15.如图,AB是☉O的弦,半径OD⊥AB于点C,AE为直径,AB=8,CD=2,则线段CE的长为 .
16.勾股定理的证明方法十分丰富,达数百种之多.其中有一类方法尤为独特,单靠移动几个图形就直观地证明出了勾股定理,被誉为“无字的证明”,我国古代的“青朱出入图”就是其中一种.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,四边形BCDE、四边形ACGH、四边形ABMN均为正方形,DE分别交AB,AC于点F,D,MN交BG于点Q,点N在GH上,MP⊥BG于点P.记“朱出”的面积为S1,“青出”的面积为S2,若=,则的值为 .
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-3,1), C(-1,0).
(1)将△ABC绕某点旋转后得到△A1B1C1,其中点A的对应点是A1,则旋转中心的坐标是_______ ;
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2.
18.解分式方程:=.
解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)=(x-1)2,……第一步
去括号,得x2+2x=x2-1,……第二步
移项、合并同类项,得2x=-1,……第三步
方程两边同除以2,得x=-,……第四步
经检验x=-是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-.……第五步
任务一:①上述解题过程中第一步的依据是___________________ ________________;
②上述解题过程是从第_______ 步开始出现错误的,错误的原因是___________________________________;
任务二:请计算出分式方程正确的解.
19.如图,在 ABCD中,连接对角线BD,点E和点F是直线BD上的两点且DE=BF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若AD⊥BD,AB=5,BC=3,DE=2,求△AEF的面积.
20.朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一.某文创商店购进如图“马上鞭”和“对花枪”两种木版年画作品,其进价和售价如表所示:
项目 马上鞭 对花枪
进价(元/张) 23 34
售价(元/张) 25 35
(1)若文创商店购进两种木版年画作品共130张,正好用去3 760元,计算两种木版年画作品分别购进多少张.
(2)该文创商店某次出售两种木版年画作品(两种作品出售张数不为0),正好盈利6元,列出所有的销售方案.
21.为丰富学生学习生活,增强学生体质,促进学生全面发展,某校准备开设几个球类兴趣班.为了确定开设的项目,学校随机抽取了a名同学,对他们最感兴趣的一种球类运动进行了调查,并将调查结果整理成了如下尚不完整的统计图表.
频数分布表
球类 人数(频数) 频率
排球 18 0.09
足球 b 0.21
篮球 80 m
羽毛球 36 0.18
乒乓球 24 n
合计 a 1
(1)①填空:a=______________;在扇形统计图中,“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为______________;
②如果学校共有学生2 000名,根据调查的结果,估计全校学生在这五种球类运动中,对篮球最感兴趣的人数.
(2)根据调查结果,学校决定开设篮球、足球、羽毛球兴趣班,小亮和小颖决定随机选报其中一种兴趣班,求两人恰好选择同一种兴趣班的概率.
②对篮球最感兴趣的人数为
2 000×=800(人).
(2)记篮球为A,足球为B,羽毛球为C,根据题意,可列表如下:
小颖 小亮
A B C
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
由表可知,共有9种等可能结果,其中两人选择同一种球类的结果有3种,
∴两人恰好选择同一种兴趣班的概率为=.
22.【问题背景】
如图,在平面直角坐标系中,∠MON的一边ON与x轴正方向重合,点A在射线OM上;过点A作AE⊥x轴于点E,△AOE的面积是,函数y=(x>0)的图象经过点A;以点A为圆心,以2OA为半径作弧,交函数y=(x>0)的图象于点C;分别过点A,点C作x轴,y轴的平行线,两线相交于点B,连接OB;过点C作x轴的平行线交线段AE于点D.
【构建联系】
(1)填空:k=___________________.
【深入探究】
(2)求证:点D在直线OB上.
(3)请写出∠BOM与∠BON的数量关系,并说明理由.
23.某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间,小刚站在雕像前,自C处测得雕像顶A的仰角为53°,小强站在凤栖堂门前的台阶上,自D处测得雕像顶A的仰角为45°,此时,两人的水平距离EC为0.45 m,已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1∶3.(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
(1)计算台阶DE的高度;
(2)求孔子雕像AB的高度.
24.如图,点A在☉O的直径CD的延长线上,点B在☉O上,连接AB,BC.
(1)给出下列信息:①AB=BC;②∠A=30°;③AB与☉O相切.请在上述三条信息中选择其中两条作为条件,第三个作为结论,组成一个正确的命题并作出证明.
你选择的条件是______________,结论是_______ (填写序号,只需写出你认为正确的一种情形).
(2)在(1)的条件下,若AB=12,求图中阴影部分的面积.
25.某校羽毛球馆有一架高度可调的羽毛球发球机,如图1,发球机固定在地面点O处,其弹射出口记为点A,羽毛球的运动路径呈抛物线状,如图2.设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米),到地面的高度为y(米),y与x的部分对应数据如表所示.
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)求羽毛球的落地点B到点O的水平距离.
(3)调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点,为了训练学员的后场能力,需要使羽毛球落地点到点O的水平距离增加1米.若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变,则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米
26.如图1,点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为E,GF⊥CD,垂足为F.
(1)求证:四边形CEGF是正方形.
(2)如图2,将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α(0°<α<45°),试探究线段BE与AG之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在同一条直线上时,延长CG交AD于点H,若AG=3,GH=,求BC的长.
- 24 -宁夏回族自治区2025年初中学业水平模拟考试
数学试题(四)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.2024的相反数是(B)
A.2024 B.-2024 C. D.-
【解析】2 024的相反数是-2 024.
2.明明在镜中看到身后墙上的时钟如图,你认为实际时间最接近8:00的是(D)
【解析】A.实际时间大约为4:10;
B.实际时间大约为3:55;
C.实际时间大约为7:50;
D.实际时间大约为8:05;
∴实际时间最接近8:00的是8:05.
3.下列计算正确的是(B)
A.+= B.±=±3 C.-=3 D.-=-3
【解析】A.+=2+3=5,故该选项不正确,不符合题意;
B.±=±3,故该选项正确,符合题意;
C.-=-=-3,故该选项不正确,不符合题意;
D.-=3,故该选项不正确,不符合题意.
4.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛,他们比赛成绩的平均数和方差如表,根据表中数据,要从中选择一名平均成绩好,且发挥稳定的运动员参加比赛,最合适的人选是(B)
项目 甲 乙 丙 丁
/cm 169 169 168 168
s2 6.0 5.0 5.0 19.5
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】甲、乙的平均数比丙、丁大,应从甲和乙中选,甲的方差比乙的大,乙的平均成绩较好且发挥稳定,应选的是乙.
5.设点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-2x2+m上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为(D)
A.y3>y2>y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3
【解析】∵抛物线解析式为y=-2x2+m,
∴对称轴为y轴.
∵(-1,y1)关于对称轴y轴的对称点为(1,y1),
∴(1,y1)是抛物线y=-2x2+m上的点.
又∵a=-2<0,
∴当x>0时,y随x的增大而减小.
∵1<2<3,点(1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-2x2+m上的三点,
∴y1>y2>y3.
6.在做科学实验时,老师将第一个量筒(圆柱)中的水全部倒入第二个空量筒中,如图所示,根据图中给出的信息,可得正确的方程是(A)
A.π·()2·x=π·()2·(x+5) B.π·8·x=π·6·(x+5)
C.π·()2·x=π·()2·(x-5) D.π·82·x=π·62·(x-5)
【解析】由题知,第一个量筒(圆柱)中的水的体积为π·()2·x,
第二个量筒中的水的体积为π·()2·(x+5),
根据表示同一个量的两个式子相等有π·()2·x=π·()2·(x+5).
7.在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=与一次函数y=-kx+k(k≠0)的图象可能是(B)
【解析】由反比例函数的图象在第一、三象限可知,k>0,-k<0,一次函数y=-kx+k的图象应该经过第一、二、四象限,故A选项不符合题意,B选项符合题意;
由反比例函数的图象在第二、四象限可知,k<0,-k>0,一次函数y=-kx+k的图象应该经过第一、三、四象限,故C,D选项均不符合题意.
8.如图,已知菱形ABCD的面积是24,E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,连接AE,BF,AE与BF交于点G,则△BEG的面积为(A)
A. B. C.3 D.9
【解析】如图,延长BF交AD延长线于点M,
∵点F是边CD的中点,∴DF=CF,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠FBC=∠M,∠C=∠FDM,
∴△DMF≌△CBF(AAS),
∴DM=BC=AD,
∵AD∥BC,
∴△BEG∽△MAG,
又∵点E是BC的中点,
∴BE∶AM=GE∶AG=1∶4,
∴S△BGE∶S△ABE=EG∶AE=1∶5,
∵菱形ABCD的面积为24,
∴△ABE的面积为6,
∴△BGE的面积为.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9.在一个不透明的袋子里装有3个红球和2个蓝球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出1个球,则摸出的球是红球的概率为 .
【解析】从中任意摸出1个球,则摸出红球的概率是=.
10.若关于x的不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是 m≤2 .
【解析】解x-1>1,得x>2,
∵不等式组的解集是x>2,∴m≤2.
11.已知==(x,y,z均不为0),则= .
【解析】设===k(k≠0),
则x=3k,y=4k,z=5k,
∴===.
12.已知x1,x2是关于x的方程x2-x-2=0的两个实数根,则x2+x1= -2 .
【解析】∵x1,x2是关于x的方程x2-x-2=0的两个实数根,
∴x1+x2=-=-=1,x1·x2===-2,
∴x2+x1=x1x2(x1+x2)=(-2)×1=-2.
13.如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为1∶3,OA=2,则OD的长为 6 .
【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形,相似比为1∶3,
∴=,AC∥DF,∴△OAC∽△ODF,
∴==3,
∵OA=2,∴=3,解得OD=6.
14.如图,菱形ABCD的边长为4,∠A=45°,分别以点A,D为圆心,大于AD的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,直线MN交AB于点E,连接CE,则CE的长为 2 .
【解析】延长CB交MN于点F,MN交AD于点P,如图,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=4,AD∥BC,
∴∠EBF=∠A=45°,
由作法得MN垂直平分AD,
∴AP=DP=AD=2,PF⊥AD,
∴PF⊥BC,
在Rt△APE中,∵∠A=45°,
∴AE=AP=2,
∴BE=AB-AE=4-2,
在Rt△BEF中,
∵∠EBF=45°,
∴BF=EF=BE=×(4-2)=2-2,
∴CF=CB+BF=4+2-2=2+2,
在Rt△CEF中,CE==2.
15.如图,AB是☉O的弦,半径OD⊥AB于点C,AE为直径,AB=8,CD=2,则线段CE的长为 2 .
【解析】连接BE,如图,
∵AB是☉O的弦,半径OD⊥AB于点C,
∴AC=BC=AB=4,
在Rt△AOC中,
AO2=OC2+AC2=(OD-2)2+42=(OA-2)2+16,解得AO=5,
∵O,C分别是AE,AB的中点,
∴OC是△ABE的中位线,
∴BE=2OC=2×(5-2)=6,
∵AE为直径,∴∠ABE=90°,
在Rt△CBE中,CE===2.
16.勾股定理的证明方法十分丰富,达数百种之多.其中有一类方法尤为独特,单靠移动几个图形就直观地证明出了勾股定理,被誉为“无字的证明”,我国古代的“青朱出入图”就是其中一种.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,四边形BCDE、四边形ACGH、四边形ABMN均为正方形,DE分别交AB,AC于点F,D,MN交BG于点Q,点N在GH上,MP⊥BG于点P.记“朱出”的面积为S1,“青出”的面积为S2,若=,则的值为 .
【解析】∵四边形ABMN,四边形BCDE均是正方形,
∴∠ABM=∠BMN=90°,AB=MB,∠E=∠CDE=∠BCD=90°,BE=BC,
∵MP⊥BG,∴∠BPM=90°=∠BCD,
∵∠PBM+∠ABC=∠BAC+∠ABC=90°,
∴∠PBM=∠BAC,
在△PBM和△CAB中,,
∴△PBM≌△CAB(AAS),
∴PM=BC,∠BMP=∠ABC,
∵BC=BE,∴PM=BE,
∵∠PMQ+∠BMP=90°,∠ABC+∠EBF=90°,
∴∠PMQ=∠EBF,
在△PMQ和△EBF中,,
∴△PMQ≌△EBF(ASA),
同理可得△ADF≌△NGQ,∴AD=GN,DF=GQ,
∵BE∥AD,
∴△ADF∽△BEF,∴===,∴设AD=3x,
则CD=DE=BE=5x,AC=GH=AH=8x,
∴GN=AD=3x,NH=GH-GN=5x,EF=DE=x,DF=DE=x=GQ,
∴S1=S△BEF=BE·EF=x2,
S2=S△GQN+S△ANH=GQ·GN+NH·AH=x2,
∴=.
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-3,1), C(-1,0).
(1)将△ABC绕某点旋转后得到△A1B1C1,其中点A的对应点是A1,则旋转中心的坐标是_______ ;
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2.
【解析】(1)如图所示,旋转中心的坐标是(0,-1).
答案:(0,-1)
(2)如图所示,△A2B2C2是所求作的图形.
18.解分式方程:=.
解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)=(x-1)2,……第一步
去括号,得x2+2x=x2-1,……第二步
移项、合并同类项,得2x=-1,……第三步
方程两边同除以2,得x=-,……第四步
经检验x=-是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-.……第五步
任务一:①上述解题过程中第一步的依据是___________________ ________________;
②上述解题过程是从第_______ 步开始出现错误的,错误的原因是___________________________________;
任务二:请计算出分式方程正确的解.
【解析】任务一:①解题过程中第一步的依据是等式的基本性质2.
答案:等式的基本性质2
②解题过程是从第二步开始出现错误的,错误的原因是完全平方式(x-1)2展开错误.
答案:二 完全平方式(x-1)2展开错误
任务二:=,
x(x+2)=(x-1)2,
x2+2x=x2-2x+1,
4x=1,x=.
经检验,x=是原分式方程的解.
19.如图,在 ABCD中,连接对角线BD,点E和点F是直线BD上的两点且DE=BF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若AD⊥BD,AB=5,BC=3,DE=2,求△AEF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,点E和点F是直线BD上的两点且DE=BF,
∴AB∥CD,AB=CD,DE+BD=BF+BD,
∴∠ABE=∠CDF,BE=DF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,
∵AB=5,AD=BC=3,
∴BD===4,
∵DE=BF=2,
∴EF=DE+BD+BF=2+4+2=8,
∴S△AEF=EF·AD=×8×3=12,
∴△AEF的面积为12.
20.朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一.某文创商店购进如图“马上鞭”和“对花枪”两种木版年画作品,其进价和售价如表所示:
项目 马上鞭 对花枪
进价(元/张) 23 34
售价(元/张) 25 35
(1)若文创商店购进两种木版年画作品共130张,正好用去3 760元,计算两种木版年画作品分别购进多少张.
(2)该文创商店某次出售两种木版年画作品(两种作品出售张数不为0),正好盈利6元,列出所有的销售方案.
【解析】(1)设购进“马上鞭”x张,“对花枪”y张.
由题意得
解得
答:购进“马上鞭”60张,“对花枪”70张.
(2)设销售m张“马上鞭”,n张“对花枪”.
由题意得2m+n=6,
∵m,n是不为0的整数,∴或
∴销售方案:销售1张“马上鞭”,4张“对花枪”或销售2张“马上鞭”,2张“对花枪”.
21.为丰富学生学习生活,增强学生体质,促进学生全面发展,某校准备开设几个球类兴趣班.为了确定开设的项目,学校随机抽取了a名同学,对他们最感兴趣的一种球类运动进行了调查,并将调查结果整理成了如下尚不完整的统计图表.
频数分布表
球类 人数(频数) 频率
排球 18 0.09
足球 b 0.21
篮球 80 m
羽毛球 36 0.18
乒乓球 24 n
合计 a 1
(1)①填空:a=______________;在扇形统计图中,“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为______________;
②如果学校共有学生2 000名,根据调查的结果,估计全校学生在这五种球类运动中,对篮球最感兴趣的人数.
(2)根据调查结果,学校决定开设篮球、足球、羽毛球兴趣班,小亮和小颖决定随机选报其中一种兴趣班,求两人恰好选择同一种兴趣班的概率.
【解析】(1)①此次调查的总人数为
a=18÷0.09=200,
“乒乓球”所在扇形的圆心角度数为360°×=43.2°.
答案:200 43.2°
②对篮球最感兴趣的人数为
2 000×=800(人).
(2)记篮球为A,足球为B,羽毛球为C,根据题意,可列表如下:
小颖 小亮
A B C
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
由表可知,共有9种等可能结果,其中两人选择同一种球类的结果有3种,
∴两人恰好选择同一种兴趣班的概率为=.
22.【问题背景】
如图,在平面直角坐标系中,∠MON的一边ON与x轴正方向重合,点A在射线OM上;过点A作AE⊥x轴于点E,△AOE的面积是,函数y=(x>0)的图象经过点A;以点A为圆心,以2OA为半径作弧,交函数y=(x>0)的图象于点C;分别过点A,点C作x轴,y轴的平行线,两线相交于点B,连接OB;过点C作x轴的平行线交线段AE于点D.
【构建联系】
(1)填空:k=___________________.
【深入探究】
(2)求证:点D在直线OB上.
(3)请写出∠BOM与∠BON的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)由于点A是反比例函数y=的图象上一点,
则S△AOE=|k|=,
又∵k>0,
∴k=1.
答案:1
(2)由(1)知:y=,
设A(a,),C(c,),
∵AB∥CD∥x轴,AE∥BC∥y轴,
∴B(c,),D(a,),
设直线OB的解析式为y=mx,则cm=,
解得m=,
∴直线OB的解析式为y=x,
当x=a时,y=·a=,
∴点D在直线OB上.
(3)∠BOM=2∠BON,理由如下:
如图,连接AC交BD于点G,
∵AB∥CD∥x轴,AE∥BC∥y轴,
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AG=CG=AC,BG=DG=BD,
∴AC=2AG,DG=CG,
∴∠GDC=∠GCD,
∴∠AGO=∠GDC+∠GCD=2∠GDC,
∵AC=2AO,
∴AG=AO,
∴∠BOM=∠AGO=2∠GDC,
∵CD∥x轴,
∴∠GDC=∠BON,
∴∠BOM=2∠BON.
23.某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间,小刚站在雕像前,自C处测得雕像顶A的仰角为53°,小强站在凤栖堂门前的台阶上,自D处测得雕像顶A的仰角为45°,此时,两人的水平距离EC为0.45 m,已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1∶3.(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
(1)计算台阶DE的高度;
(2)求孔子雕像AB的高度.
【解析】(1)∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1∶3,EC为0.45 m,
∴=,
∴DE==0.15 m,
即台阶DE的高度为0.15 m.
(2)如图所示,
设AB的对边为MN,作DF⊥MN于F,
∴由题意得,四边形NFDE是矩形,
∴FN=DE=0.15 m,DF=NE,
设MN=x m,则MF=(x-0.15)m,
在Rt△MFD中,∠MDF=45°,
∴FD=MF=(x-0.15)m,
∴NC=NE-EC=(x-0.15)-0.45=(x-0.6)m,
∴tan 53°=≈,
即=,
解得x=2.4,
经检验,x=2.4是原方程的解.
答:孔子雕像AB的高度约为2.4 m.
24.如图,点A在☉O的直径CD的延长线上,点B在☉O上,连接AB,BC.
(1)给出下列信息:①AB=BC;②∠A=30°;③AB与☉O相切.请在上述三条信息中选择其中两条作为条件,第三个作为结论,组成一个正确的命题并作出证明.
你选择的条件是______________,结论是_______ (填写序号,只需写出你认为正确的一种情形).
(2)在(1)的条件下,若AB=12,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)选择①②可证明③,或选择①③可证明②,或选择②③可证明①.(任填一个即可)
若选择的条件是①②,结论是③,证明如下:
如图,连接OB,
∵AB=BC,
∴∠C=∠A=30°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C=30°,
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°,
∴∠OBA=180°-∠A-∠AOB=90°,
∴OB⊥AB,
∵OB是半径,
∴AB与☉O相切.
若选择的条件是①③,结论是②,证明如下:
如图,连接OB,
∵AB=AC,
∴∠A=∠C,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,∴∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C=2∠A,
∵AB是☉O的切线,OB是半径,
∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,
∴∠A+∠AOB=90°,即∠A+2∠A=90°,
∴∠A=30°.
若选择的条件是②③,结论是①,证明如下:
如图,连接OB,
∵AB是☉O的切线,OB是半径,
∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∴∠AOB=90°-∠A=90°-30°=60°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∵∠C+∠OBC=∠AOB=60°,
∴∠C=30°,
∴∠A=∠C,
∴AB=BC.
(2)如图所示,过点O作OH⊥BC于H,
∴在Rt△OAB中,OB=AB·tan A=12tan 30°=4,
∴OC=OB=4,
∴在Rt△OCH中,OH=OC·sin C=4·sin 30°=2,
CH=OC·cos C=4·cos 30°=6,
∵OB=OC,OH⊥BC,
∴BC=2CH=12,
∴S△OBC=BC·OH=×12×2=12,
∵S扇形ODB=π×=8π,
∴S阴影=S△OBC+S扇形ODB=12+8π.
25.某校羽毛球馆有一架高度可调的羽毛球发球机,如图1,发球机固定在地面点O处,其弹射出口记为点A,羽毛球的运动路径呈抛物线状,如图2.设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米),到地面的高度为y(米),y与x的部分对应数据如表所示.
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)求羽毛球的落地点B到点O的水平距离.
(3)调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点,为了训练学员的后场能力,需要使羽毛球落地点到点O的水平距离增加1米.若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变,则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米
【解析】(1)由题中表格信息可知,抛物线的顶点为(2,2.25),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2.25,
其图象过点(2.2,2.24),
∴2.24=a(2.2-2)2+2.25,
解得a=-0.25,
∴y关于x的函数解析式为y=-0.25(x-2)2+2.25;
(2)当y=0时,0=-0.25(x-2)2+2.25,
解得x1=5,x2=-1<0(舍去),
∴羽毛球的落地点B到O点的水平距离为5米;
(3)∵抛物线的形状和对称轴位置都不变,
∴可设抛物线的解析式为y=-0.25(x-2)2+k,
∵要使弹射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加1米,
∴当y=0时,x=5+1=6,
∴0=-0.25(6-2)2+k,解得k=4,
∴y=-0.25(x-2)2+4,
当x=0时,y=-0.25×(0-2)2+4=3,
∴发球机的弹射出口高度OA应调整为3米.
26.如图1,点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为E,GF⊥CD,垂足为F.
(1)求证:四边形CEGF是正方形.
(2)如图2,将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α(0°<α<45°),试探究线段BE与AG之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在同一条直线上时,延长CG交AD于点H,若AG=3,GH=,求BC的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,
∵GE⊥BC,GF⊥CD,
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,
∴EG=EC,∴四边形CEGF是正方形.
(2)AG=BE,理由如下:如图,连接GC,
∵四边形ABCD是正方形,四边形CEGF是正方形,∴AB=BC,EG=CE,
∴AC==BC,GC==EC,∠ACB=∠GCE=45°,
则∠BCE+∠ACE=∠ACG+∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACG,==,
∴△AGC∽△BEC,∴==,∴AG=BE.
(3)∵四边形CEGF是正方形,∴∠CEF=45°,
∵B,E,F三点共线,∴∠BEC=135°,
∵△ACG∽△BCE,
∴∠AGC=∠BEC=135°,∴∠AGH=∠CAH=45°,
∵∠CHA=∠AHG,
∴△AHG∽△CHA,
∴==,
设BC=CD=AD=a,则AC=a,
则由=,得=,
∴AH=a,则DH=AD-AH=a,CH===a,
∴由=得=,
解得:a=,即BC=.
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