宁夏回族自治区2025年初中学业水平模拟考试
数学试题(六)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
【解析】A.是中心对称图形,但不是轴对称图形,故不符合题意;
B.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故符合题意;
C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合题意;
D.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故不符合题意.
2.2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球,带回大约2 kg的月背样本,实现世界首次月背采样返回,标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度.已知月球到地球的平均距离约为384 000千米,数据384 000用科学记数法表示为(C)
A.384×103 B.38.4×104 C.3.84×105 D.0.384×106
【解析】384 000=3.84×105.
3.为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为(A)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】如图建立平面直角坐标系,则“技”在第一象限.
4.比较下列各组数的大小,错误的是(B)
A.< B.<0.5 C.>0.5 D.>7
【解析】A.∵7<10,
∴<,故该选项不符合题意;
B.∵2<<3,
∴1<-1<2,
∴<<1,即>0.5,故该选项符合题意;
C.∵2<<3,
∴3<+1<4,
∴<<2,
∴>0.5,故该选项不符合题意;
D.∵51>49,
∴>,即>7,故该选项不符合题意.
5.七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具,现将1个七巧板,2个九连环,1个华容道,2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中(每个盒子装1个),所有盒子除里面的玩具外均相同.从这6个盒子中随机抽取1个盒子,抽中七巧板的概率是(D)
A. B. C. D.
【解析】∵6个盒子里面有6个益智玩具,6个益智玩具中有1个七巧板,
∴从这6个盒子中随机抽取1个盒子,抽中七巧板的概率是.
6.如图,在扇形纸扇中,若∠AOB=150°,OA=24,则的长为(C)
A.30π B.25π C.20π D.10π
【解析】∵∠AOB=150°,OA=24,
∴的长为=20π.
7.若关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个相等的实数根,则c=(D)
A.-9 B.4 C.-1 D.1
【解析】∵关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-6)2-4×9×c=36-36c=0,解得c=1.
8.当ab≠0时,函数y=ax2-b与y=bx-a在同一坐标系中的图象可能是(C)
【解析】A.由一次函数的图象可知:b>0,由二次函数的图象可知:-b>0,则b<0,不符合题意;
B.由一次函数的图象可知:b<0,由二次函数的图象可知:-b<0,则b>0,不符合题意;
C.由一次函数的图象可知:b<0,-a>0,则b<0,a<0,由二次函数的图象可知:a<0,-b>0,则a<0,b<0,符合题意;
D.由一次函数的图象可知:b<0,-a<0,则b<0,a>0,由二次函数的图象可知:a<0,-b>0,则a<0,b<0,不符合题意.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9.因式分解:x2-2x+1= (x-1)2 .
【解析】x2-2x+1=(x-1)2.
10.若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 x≥9 .
【解析】根据题意得x-9≥0,解得x≥9.
11.计算:-= .
【解析】原式=-=
=
=.
12.在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了一道题,大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,则快马追上慢马需要的天数是 20 .
【解析】设快马追上慢马需要x天,
根据题意,得240x=150(x+12),
解得x=20.
13.在平面直角坐标系xOy中,若函数y=(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2),则y1+y2的值是 0 .
【解析】∵函数y=(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2),
∴y1=,y2=-,
∴y1+y2=-=0.
14.如图,一下水管道横截面为圆形,直径为260 cm,下雨前水面宽为100 cm,一场大雨过后,水面宽为240 cm,则水位上升 70或170 cm.
【解析】如图,作半径OD⊥AB于C,连接OB,
由垂径定理得,BC=AB=×100=50(cm).
∵直径为260 cm,∴OB=OB'=130 cm.
在Rt△OBC中,OC===120(cm),
当水位上升到圆心以下A'B'时,水面宽为240 cm,则B'C'=A'B'=×240=120(cm),
在Rt△OB'C'中,OC'===50(cm),
此时水面上升的高度为120-50=70(cm);
当水位上升到圆心以上A″B″时,水面上升的高度为120+50=170(cm).
综上可得,水面上升的高度为70 cm或170 cm.
15.如图,将矩形纸片ABCD(AB>AD)沿过点D的直线折叠,使点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,连接EC,再将△BEC沿直线CE折叠,使点B落在DE上的点G处,若BC=,则△DEC(阴影部分)的面积为 .
【解析】由折叠可得:AD=DF,BC=CG,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADF=∠A=∠DFE=∠B=∠CGE=90°.
又∵AD=DF,
∴四边形ADFE是正方形,
∴AD=AE=DF=BC=CG=,
∴DE==2,
则S△DEC=ED·CG=×2×=.
16.将一组正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(4,2)表示的数为8,则正整数2 025用有序实数对表示为 (64,9) .
【解析】∵第1行最后一个数是1,
第2行最后一个数是3=1+2,
第3行最后一个数是6=1+2+3,
第4行最后一个数是10=1+2+3+4,
∴第5行最后一个数是1+2+3+4+5=15,
第n行最后一个数是n(n+1).
∵×63×64=2 016,
∴第63行的最后一个数是2 016,
∴2 025在第64行从左到右第9个数的位置,
∴正整数2 025用有序实数对表示为(64,9).
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17.计算:-tan 45°+π0-|-|.
【解析】-tan 45°+π0-|-|
=3-1+1-
=2.
18.解不等式组:,并写出它的所有整数解.
【解析】解不等式①,得x>-1,
解不等式②,得x<4,
∴原不等式组的解集是-1
19.户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备,适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合.如图,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,通过拉绳可控制天幕的开合.幕布宽AC=AD=2 m,CD⊥AB于点O,∠BAD=70°,如果通过拉绳将∠BAD减小10°,那么点D下降了多少米 (结果精确到0.01 m;参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
【解析】∵CD⊥AB,
∴∠AOD=90°,
当∠BAD=70°时,
在Rt△AOD中,AD=2 m,
∴AO=AD·cos 70°≈2×0.34=0.68(m).
当∠BAD=60°时,
在Rt△AOD中,AD=2 m,
∴AO=AD·cos 60°=2×=1(m),
∴1-0.68=0.32(m),
∴点D下降了约0.32 m.
20.我们知道,利用三角形全等可以证明两条线段相等.但是我们会碰到这样的“和差”问题:如图①,AD为△ABC的高,∠ABC=2∠C.求证:CD=AB+BD.我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题:在CD上截取DE=BD,连接AE.
(1)请补写完这个证明;
(2)运用上述方法完成下面证明:如图②,AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C.求证:BD=AC-AB.
【解析】(1)在CD上截取DE=BD,连接AE,
∵AD⊥BC,
∴AB=AE,
∴∠B=∠AEB.
∵∠B=2∠C,∠AEB=∠C+∠EAC,
∴∠C=∠EAC,
∴EC=AE=AB,
∴CD=CE+DE=AB+BD.
(2)在AC上截取AE=AB,连接DE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
在△BAD和△EAD中,
,
∴△BAD≌△EAD(SAS),
∴DE=BD,∠B=∠AED.
∵∠B=2∠C,∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC,
∴DE=EC=DB.
∵AC-AE=EC,
∴BD=AC-AB.
21.为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召,学校组织学生到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g,营养成分表如下.
(1)若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g,且热量最低,应如何选用这两种食品
【解析】(1)设选用A种食品x包,B种食品y包,
根据题意,得
解方程组,得
答:选用A种食品4包,B种食品2包.
(2)设选用A种食品a包,则选用B种食品(7-a)包,
根据题意,得10a+15(7-a)≥90,∴a≤3.
设总热量为w kJ,则w=700a+900(7-a)=-200a+6 300.
∵-200<0,
∴w随a的增大而减小,
∴当a=3时,w最小,
此时7-a=7-3=4.
答:选用A种食品3包,B种食品4包.
22.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下,瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线,加大研发投入形成了领先的技术优势,2023年,中国新能源汽车产销量均突破900万辆,连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上,工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型),并将数据整理后,绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.
类型 人数 百分比
纯电 m 54%
混动 n a%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查活动随机抽取了______________人;表中a=______________, b=______________;
(2)请补全条形统计图;
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数;
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4 000人,请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人
【解析】(1)本次调查活动随机抽取人数为5÷10%=50,
b%=3÷50×100%=6%,则b=6,
a%=1-54%-6%-10%=30%,则a=30.
答案:50 30 6
(2)∵n=50×30%=15,
∴补全条形统计图如图所示:
(3)题中扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为360°×30%=108°.
(4)4 000×(54%+30%+6%)=3 600(人).
答:估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有3 600人.
23.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知劣弧AB,C是弦AB上一点.
(1)根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹,不写作法).
①作线段AC的垂直平分线DE,交弧AB于点D,垂足为E;
②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交弧AB于点F(F,A两点不重合),连接BF.
(2)引理的结论为BC=BF.
证明:连接DA,DC,DF,DB.
∵DE为AC的垂直平分线,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠DCA.
又∵四边形ABFD为圆的内接四边形,
∴∠DAC+∠___________________=180°.( )
又∵∠DCA+∠DCB=180°,
∴∠DCB=∠DFB.
又∵AD=FD,
∴=___________________,
∴∠ABD=∠DBF,( )
∴△BCD≌△BFD(AAS),
∴BC=BF.
【解析】(1)①如图1:
则DE即为所求;
②如图2:
则BF即为所求.
(2)证明:连接DA,DC,DF,DB.如图3,
∵DE为AC的垂直平分线,∴DA=DC,
∴∠DAC=∠DCA.
又∵四边形ABFD为圆的内接四边形,
∴∠DAC+∠DFB=180°.(圆的内接四边形,对角互补)
又∵∠DCA+∠DCB=180°,
∴∠DCB=∠DFB.又∵AD=FD,∴=,
∴∠ABD=∠DBF,(同圆或等圆中,等弧所对圆周角相等)
∴△BCD≌△BFD(AAS),
∴BC=BF.
答案:DFB 圆的内接四边形,对角互补 同圆或等圆中,等弧所对圆周角相等
24.建筑是一门不断演化和创新的艺术,近年来,一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽,为建筑注入了新的时尚元素,同时也赋予了建筑更多的创意和流动性.图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑,其横截面(图2)由两条曲线EG,FH(反比例函数图象的一部分)和若干线段围成,为轴对称图形,其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形,AB=2 m,BE=2 m,AC=20 m,GM=10 m,MN=4 m,以AC的中点O为原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
请回答下列问题:
(1)如图2,求EG所在图象的函数解析式.
(2)如图3,为在曲面实现自动化操作,工程师安装了支架EG,并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ用来雕刻EG所在曲面的花纹,请问点P在EG上滑动过程中,PQ最长为多少米
【解析】(1)∵AC=20 m,AB=2 m,BE=2 m,O为AC中点,∴AO=10 m,
∴E(-8,-2).
设EG所在双曲线的解析式为y=,
将点E坐标(-8,-2)代入解析式中,
得-2=,
解得k=16,
∴双曲线的解析式为y=.
(2)如图:点E与点G坐标分别为(-8,-2),(-2,-8),
设EG所在直线的解析式为y=k1x+b1,
将E,G两点坐标代入得,
解得k1=-1,b1=-10,
∴EG所在直线的解析式为y=-x-10.
根据反比例函数图象轴对称的性质,得曲线EG关于直线y=x对称,
∴,
解得x=y=-5,∴P(-5,-5).
联立,得x=y=-4,
∴Q(-4,-4),
∴PQ的最大值为=.
25.综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙MN.研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆,在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园.假设矩形一边CD=x,矩形种植园的面积为S.
分析 要探究面积S的最大值,首先应将另一边BC用含x的代数式表示,从而得到S关于x的函数解析式,同时求出自变量的取值范围,再结合函数性质求出最值
探究 思考一:将墙MN的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园(边AB为墙MN的一部分)
思考二:将墙MN的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园(墙MN为边AB的一部分)
解决问题 根据分析,分别求出思考一与思考二两种方案中S的最大值,比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少
【解析】思考一:∵CD=x,篱笆共40米,MN=12米,
∴BC=[(40-x)]米,
∴S=(40-x)·x=-(x-20)2+200,
由题意得,0
思考二:AN=(x-12)米,
∴BC=(26-x)米(12≤x<26),
∴S=(26-x)·x=-(x-13)2+169,
∴当x=13时,S取得最大值,为169平方米.
∵168<169,
∴矩形种植园的面积最大值为169平方米.
26.综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以特殊三角形为背景,探究动点运动的几何问题.如图,在△ABC中,点M,N分别为AB,AC上的动点(不含端点),且AN=BM.
【初步尝试】(1)如图1,当△ABC为等边三角形时,小颜发现:将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,连接BD,则MN=DB,请思考并证明;
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE⊥MN于点E,交BC于点F,将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.试猜想四边形AFBD的形状,并说明理由;
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向:如图3,在△ABC中,AB=AC=4,
∠BAC=90°,连接BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠A=60°,AB=AC.
∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,
∴DM=AM,∠AMD=120°,∴∠DMB=60°.
∵AN=BM,∠DMB=∠A=60°,
∴△ANM≌△MBD,
∴MN=DB.
(2)四边形AFBD为平行四边形,理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°.
∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD,
∴MA=MD,∠MAD=∠MDA=45°,∠DMA=∠DMB=90°,
∴∠MAD=∠ABF=45°,
则AD∥BF.
在△ANM和△MBD中,
,
∴△ANM≌△MBD,
∴∠AMN=∠MDB.
∵AE⊥MN,
∴∠AMN+∠MAE=90°.
∵∠MDB+∠MBD=90°,
∴∠DBM=∠MAF,
∴DB∥AF,
则四边形AFBD为平行四边形.
(3)如图,过点A作∠BAG=45°,使AG=CB,连接GM,GC,BG,延长CB,过点G作GO⊥CB于点O,
∵AB=AC=4,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠GAM=∠BCN=45°.
∵AN=BM,∴AM=CN.
又∵AG=CB,
∴△GAM≌△BCN,
∴GM=BN,
∴BN+CM=GM+CM≥CG,
∴当点G,M,C三点共线时,BN+CM的值最小,最小值为CG的值.
∵∠GAM=∠ABC=45°,
∴AG∥BC,
∴∠BAC=∠ABG=90°,
∴∠GBO=180°-∠ABG-∠ABC=45°,
∴OG=OB,∴GB=OB=OG,
∴OG=OB=2,∴OC=6.
在Rt△GOC中,GC==4,
∴BN+CM的最小值为4.
- 19 -宁夏回族自治区2025年初中学业水平模拟考试
数学试题(六)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球,带回大约2 kg的月背样本,实现世界首次月背采样返回,标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度.已知月球到地球的平均距离约为384 000千米,数据384 000用科学记数法表示为( )
A.384×103 B.38.4×104 C.3.84×105 D.0.384×106
3.为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.比较下列各组数的大小,错误的是( )
A.< B.<0.5 C.>0.5 D.>7
5.七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具,现将1个七巧板,2个九连环,1个华容道,2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中(每个盒子装1个),所有盒子除里面的玩具外均相同.从这6个盒子中随机抽取1个盒子,抽中七巧板的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图,在扇形纸扇中,若∠AOB=150°,OA=24,则的长为( )
A.30π B.25π C.20π D.10π
7.若关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个相等的实数根,则c=( )
A.-9 B.4 C.-1 D.1
8.当ab≠0时,函数y=ax2-b与y=bx-a在同一坐标系中的图象可能是( )
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9.因式分解:x2-2x+1= .
10.若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
11.计算:-= .
12.在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了一道题,大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,则快马追上慢马需要的天数是 .
13.在平面直角坐标系xOy中,若函数y=(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2),则y1+y2的值是 .
14.如图,一下水管道横截面为圆形,直径为260 cm,下雨前水面宽为100 cm,一场大雨过后,水面宽为240 cm,则水位上升 cm.
15.如图,将矩形纸片ABCD(AB>AD)沿过点D的直线折叠,使点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,连接EC,再将△BEC沿直线CE折叠,使点B落在DE上的点G处,若BC=,则△DEC(阴影部分)的面积为 .
16.将一组正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(4,2)表示的数为8,则正整数2 025用有序实数对表示为 .
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17.计算:-tan 45°+π0-|-|.
18.解不等式组:,并写出它的所有整数解.
19.户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备,适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合.如图,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,通过拉绳可控制天幕的开合.幕布宽AC=AD=2 m,CD⊥AB于点O,∠BAD=70°,如果通过拉绳将∠BAD减小10°,那么点D下降了多少米 (结果精确到0.01 m;参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
20.我们知道,利用三角形全等可以证明两条线段相等.但是我们会碰到这样的“和差”问题:如图①,AD为△ABC的高,∠ABC=2∠C.求证:CD=AB+BD.我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题:在CD上截取DE=BD,连接AE.
(1)请补写完这个证明;
(2)运用上述方法完成下面证明:如图②,AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C.求证:BD=AC-AB.
21.为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召,学校组织学生到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g,营养成分表如下.
(1)若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g,且热量最低,应如何选用这两种食品
22.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下,瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线,加大研发投入形成了领先的技术优势,2023年,中国新能源汽车产销量均突破900万辆,连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上,工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型),并将数据整理后,绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.
类型 人数 百分比
纯电 m 54%
混动 n a%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次调查活动随机抽取了______________人;表中a=______________, b=______________;
(2)请补全条形统计图;
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数;
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4 000人,请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人
23.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图,已知劣弧AB,C是弦AB上一点.
(1)根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹,不写作法).
①作线段AC的垂直平分线DE,交弧AB于点D,垂足为E;
②以点D为圆心,DA长为半径作弧,交弧AB于点F(F,A两点不重合),连接BF.
(2)引理的结论为BC=BF.
证明:连接DA,DC,DF,DB.
∵DE为AC的垂直平分线,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠DCA.
又∵四边形ABFD为圆的内接四边形,
∴∠DAC+∠___________________=180°.( )
又∵∠DCA+∠DCB=180°,
∴∠DCB=∠DFB.
又∵AD=FD,
∴=___________________,
∴∠ABD=∠DBF,( )
∴△BCD≌△BFD(AAS),
∴BC=BF.
24.建筑是一门不断演化和创新的艺术,近年来,一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽,为建筑注入了新的时尚元素,同时也赋予了建筑更多的创意和流动性.图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑,其横截面(图2)由两条曲线EG,FH(反比例函数图象的一部分)和若干线段围成,为轴对称图形,其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形,AB=2 m,BE=2 m,AC=20 m,GM=10 m,MN=4 m,以AC的中点O为原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
请回答下列问题:
(1)如图2,求EG所在图象的函数解析式.
(2)如图3,为在曲面实现自动化操作,工程师安装了支架EG,并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ用来雕刻EG所在曲面的花纹,请问点P在EG上滑动过程中,PQ最长为多少米
25.综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙MN.研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆,在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园.假设矩形一边CD=x,矩形种植园的面积为S.
分析 要探究面积S的最大值,首先应将另一边BC用含x的代数式表示,从而得到S关于x的函数解析式,同时求出自变量的取值范围,再结合函数性质求出最值
探究 思考一:将墙MN的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园(边AB为墙MN的一部分)
思考二:将墙MN的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园(墙MN为边AB的一部分)
解决问题 根据分析,分别求出思考一与思考二两种方案中S的最大值,比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少
26.综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以特殊三角形为背景,探究动点运动的几何问题.如图,在△ABC中,点M,N分别为AB,AC上的动点(不含端点),且AN=BM.
【初步尝试】(1)如图1,当△ABC为等边三角形时,小颜发现:将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,连接BD,则MN=DB,请思考并证明;
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE⊥MN于点E,交BC于点F,将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.试猜想四边形AFBD的形状,并说明理由;
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向:如图3,在△ABC中,AB=AC=4,
∠BAC=90°,连接BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.
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