数学八年级上册第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
(时间:100分钟 分值:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.图中能表示△ABC的BC边上的高的是
2.三角形按边分类可以用集合来表示,如图所示,图中小椭圆圈里的A表示
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
3.已知三角形的三边长分别是4,8,a+1,则a的取值可能是
A.10 B.11 C.12 D.13
4.若△ABC的三个顶点A,B,C的纵坐标分别为-1,-1,3,则AB边上的高CD等于
A.4 B.5 C.3 D.1
5.给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的是
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
B.∠A-∠C=∠B
C.∠A=∠B=2∠C
D.∠A=∠B=∠C
6.利用下列图形(虚线与AB平行),不能说明三角形内角和是180°的是
7.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别为BD,CE的中点,若△AEF的面积为3.则△ABC的面积是
A.10
B.12
C.11
D.9
8.如图,E,F是△ABC的边AB,AC上的点,D是点A上方的一点,若∠B+∠C=64°,∠D=70°,则∠1+∠2的度数为
A.44°
B.46°
C.48°
D.50°
9.下列命题中,是假命题的是
A.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角
B.等边三角形是等腰三角形
C.三角形的三条高线可能不交于一点
D.三角形的三条中线一定交于一点,这个交点就是三角形的重心
10.有一块直角三角板DEF放置在△ABC上,三角板DEF的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C,在△ABC中,∠DBA+∠DCA=40°,则∠A的度数是
A.40°
B.44°
C.45°
D.50°
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.等腰三角形的两边长分别是4 cm,9 cm,则它的周长为 .
12.如图,将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α= .
13.用一个a的值说明命题“如果a2≥1,那么a≥1”是错误的,这个值可以是a= .
14.小红同学以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动.如图,在直角三角形ABC中,已知∠BAC=90°,∠ABC=30°,∠ACB=60°,直线a∥b.
(1)如图1,小红同学把直线b向上平移,使得直线b过点C,若∠1=43°,则 ∠2的度数为 .
(2)如图2,小红同学把直线b继续向上平移,使得直线b与线段BC相交(b不过点B),设∠1=x(30°
15.在△ABC中,已知∠A=∠B=∠C,按角判断△ABC的形状.
16.请写出下列命题的逆命题,并判断其真假.
(1)若两个角互补,则这两个角的和为180°.
(2)若c2a
17.如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠BAC=80°,∠EAD=10°,求∠B的度数.
18.下图是一块零件,要求零件中AB、CD的延长线相交所成的角为80°,由于该零件的形状不便测量,工人师傅连接AC,并测得∠BAC=34°,∠DCA=65°,则该零件中AB、CD的延长线相交所成的角是否符合要求 请说明理由.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AB于点E.
(1)若∠A=45°,∠BDC=70°,求∠BED的度数.
(2)若∠A-∠ABD=15°,∠EDC=66°,求∠A的度数.
20.如图,在△BCD中,CD=5,BD=7.
(1)求BC的取值范围.
(2)若AE∥BD,∠A=55°,∠BDE=115°,求∠C的度数.
六、(本题满分12分)
21.如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)若∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度数.
(2)求证:S△ABD=S△ABC.
(3)若△ABC的面积为40,BD=5,求△BDE中BD边上的高.
七、(本题满分12分)
22.概念学习 已知△ABC,P为其内部一点,连接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形,其内角与△ABC的三个内角分别相等,那么就称点P为△ABC的等角点.
理解应用
(1)判断以下两个命题是否为真命题,若为真命题,则在相应横线内写“真命题”;反之,则写“假命题”.
①内角分别为30°,60°,90°的三角形存在等角点 ;
②任意的三角形都存在等角点 .
(2)如图,P是锐角三角形△ABC的等角点,若∠BAC=∠PBC,探究图中∠BPC,∠ABC,∠ACP之间的数量关系,并说明理由.
八、(本题满分14分)
23.如图,∠AOB与∠COD是对顶角.
(1)如图1,求证:∠A+∠B=∠C+∠D.
(2)如图2,AP,DP分别是∠BAO,∠CDO的平分线,探索∠P,∠B和∠C之间的数量关系并加以证明.
(3)如图3,∠BAO与∠CDO的相邻补角的平分线交于点P,探索∠P,∠B和∠C之间的数量关系并加以证明.
参考答案
1.D 2.D 3.A 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.C 10.D
11.22 cm 12.75° 13.-2(答案不唯一) 14.(1)167° (2)y=210°-x
15.解:∵∠A=∠B=∠C,
∴∠B=3∠A,∠C=5∠A. 2分
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+3∠A+5∠A=180°,
∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°,
∴△ABC是钝角三角形. 8分
16.解:(1)若两个角互补,则这两个角的和为180°的逆命题是若两个角的和为180°,则这两个角互补,是真命题. 4分
(2)若c2a
∵AE是角平分线,∠BAC=80°,
∴∠CAE=∠BAC=40°. 3分
∵∠EAD=10°,∴∠CAD=30°,
∴∠C=60°, 6分
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=40°. 8分
18.解:不符合要求. 1分
理由:∵∠BAC、∠ACD与该角组成一个三角形,根据三角形的内角和定理可知这三个角的角度之和为180°, 5分
∴可以求出这个角的度数为81°, 7分
故相交所成的角不符合要求. 8分
19.解:(1)∵∠A=45°,∠BDC=70°,∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-45°=25°. 2分
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠EBC=2∠ABD=50°.
∵DE∥BC,∴∠BED+∠EBC=180°,
∴∠BED=180°-50°=130°. 5分
(2)∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=∠ABD,
∴∠EDC=∠A+AED=∠A+2∠ABD. 8分
∵∠EDC=66°,∴∠A+2∠ABD=66°.
又∵∠A-∠ABD=15°,∴∠A=32°. 10分
20.解:(1)∵∴2
∵∠BDE=115°,∴∠BDC=65°,
∴∠C=180°-55°-65°=60°. 10分
21.解:(1)∵∠ABE=15°,∠BAD=40°,
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°. 2分
(2)证明:∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD.
又∵点A到BC的距高为△ABD、△ACD的高,
∴S△ABD=S△ACD,
∴S△ABD=S△ABC. 6分
(3)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,过点E作EF⊥BC于点F(如图),
∴S△ABD=S△ABC,S△BDE=S△ABD,
∴S△BDE=×S△ABC=S△ABC. 8分
∵△ABC的面积为40,
∴S△BDE=×40=10. 10分
∵BD=5,
∴×5·EF=10,解得EF=4,即 △BDE中BD边上的高为4. 12分
22.解:(1)①真命题;②假命题. 4分
(2)∠BPC=∠ABC+∠ACP. 5分
理由:如图,延长BP交AC于点D.
∵∠BPC是△CPD的外角,
∴∠BPC=∠CDP+∠ACP.
∵∠CDP=∠ABP+∠BAC,
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP.
∵∠BAC=∠PBC,
∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP. 12分
23.解:(1)证明:∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D. 3分
(2)结论:∠B+∠C=2∠P. 4分
证明:∵AP,DP分别是∠BAO,∠CDO的平分线,
∴∠BAP=∠PAC=∠BAO,∠BDP=∠PDC=∠CDO,
由(1)可知,∠B+∠BAP=∠BDP+∠P,∠PDC+∠C=∠PAO+∠P, 7分
即∠B+∠BAO=∠CDO+∠P,∠C+∠CDO=∠BAO+∠P,
∴∠B+∠C=2∠P. 9分
(3)结论:2∠P=∠B+∠C. 10分
证明:∵∠BAO与∠CDO的相邻补角的平分线交于点P,
∴∠PAB=(180°-∠BAO),∠PDB=(180°-∠BDC).
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PDB,
∴∠P+(180°-∠BAO)=∠B+(180°-∠BDC), 12分
即2∠P-∠BAO=2∠B-∠BDC①,
又∵∠BAO+∠B=∠C+∠BDC②,
∴由①+②得2∠P=∠B+∠C. 14分
