2025年湖南省初中学业水平考试模拟冲刺卷(三)
1．（2024·湖南模拟）在-1，0，2， 四个数中，属于无理数的是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．
2．（2024·湖南模拟）若是关于x的方程的解，则a的值是（ ）
A．5 B． C．7 D．
3．（2024·湖南模拟）若m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
A．m﹣5＜n﹣5 B． C．﹣5m＞﹣5n D．
4．（2024·湖南模拟）老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南模拟）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南模拟）下列命题中是真命题的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．对顶角相等
C．若，则
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0
7．（2024·湖南模拟）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖南模拟）图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，瓶内液体的最大深度，则的弦长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·湖南模拟）如图，在矩形中，，，对角线相交于点O，E为的中点，连接，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
10．（2024·湖南模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④BD=2CD．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2024·湖南模拟）在平面直角坐标系中，点位于第 象限．
12．（2024·湖南模拟）要使分式有意义，则的取值范围为 ．
13．（2024·湖南模拟）某市举办了“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 分．
14．（2024·湖南模拟）如图，将矩形纸片对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形． 若，则四边形的面积为 ．
15．（2024·湖南模拟）如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则弧的长为 ．
16．（2024·湖南模拟）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ．
17．（2024·湖南模拟）如图所示，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ．
18．（2024·湖南模拟）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线同右平移3个位长度，所得抛物线与x轴交于点C，D，与原抛物线交于点P，则 ．
19．（2024·湖南模拟）计算：．
20．（2024·湖南模拟）解不等式组：．
21．（2024·湖南模拟）习总书记指出：“航天梦是强国梦的重要组成部分．随着中国航天事业快速发展，中国人探索太空的脚步会迈得更大、更远．”作为当今世界最具挑战性和带动性的高科技领域之一，航天以其所蕴含的科学精神，到“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“天宫”遨游星辰，60多年来始终逐梦星辰大海，某校为进一步激发师生探索宇宙、逐梦星辰的热情，提高科技创新意识和能力，科学逐梦星辰”的活动．八、九年级各200名学生举行了一次知识竞赛（百分制），随机抽取了八，部分信息如下：
a．抽取九年级20名学生的成绩如表：
90 88 97 91 94 62 51 94 87 71
90 78 92 55 97 92 94 94 85 98
b．抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：，，，，）；
c．九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：
年级 平均数 中位数 方差
九年级 85 m
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的九年级20名学生的成绩的中位数是 ；
（2）若90分及以上为优秀，估计此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀学生的总人数；
（3）通过分析随机抽取的八年级20名学生的成绩发现：这20名学生成绩方差为205，且八、九两个年级随机抽取的学生成绩的总平均数是．
①求八年级这20名学生成绩的平均数；
②你认为哪个年级的成绩较好，说明理由（至少从两个不同角度说明推断的合理性）．
22．（2024·湖南模拟）如图，在矩形中，点E在BC边上，且，过点A作交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
23．（2024·湖南模拟）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
24．（2024·湖南模拟）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场影下发挥作用的时间更长
任务三：探究化学试剂对人体的影响情况
（3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体影响最小，则哪个场景影响时间最少
25．（2024·湖南模拟）如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，且满足．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
26．（2024·湖南模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(a，b，c为常数，且)与x轴交于，B两点，与y轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作轴，垂足为M，交直线于点N．若的面积为，试求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新的抛物线，如图2，点E为新抛物线上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在-1，0，2， 四个数中只有 是无理数．
故答案为：D．
【分析】无理数是无限不循环小数，根据无理数的定义判断求解即可。
2．【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入，
得：，
解得：，
故答案为：A．
【分析】把方程求出a的值即可．
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式m＞n的两边同时减去5，不等式仍然成立，即m﹣5＞n﹣5，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、在不等式m＞n的两边同时除以5，不等式仍然成立，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、在不等式m＞n的两边同时乘以﹣5，不等式号方向改变，即﹣5m＜﹣5n，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、在不等式m＞n的两边同时乘以﹣5，不等式号方向改变，即，原变形正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】概率公式
5．【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行得到，，解题即可．
6．【答案】B
【知识点】算术平方根；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，符合题意；
C、若，则，是假命题，不符合题意；
D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据对顶角的性质可判断B；若a2=b2，则a=±b，据此判断C；根据算术平方根的概念可判断D.
7．【答案】A
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
8．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故的弦长为．
故答案为：C．
【分析】先得到，即可得到，再根据勾股定理求出的长解题即可．
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作于F，
在矩形中，，，
∴，
∵对角线相交于点O，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴
∴的面积为
故答案为：A．
【分析】过点A作于F，利用矩形的性质和勾股定理得到对角线，即可求出DE长，在根据三角形的面积公式计算即可．
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
∵∠2=30°，
∴AD=2CD．
∵点D在AB的中垂线上，
∴AD=BD，
∴BD=2CD．
故④正确．
故选A．
【分析】根据作图得到AD是∠BAC的角平分线判断①；②根据角平分线得到∠CAD=30°，求出∠ADC的度数判断②；得到△ADB的等腰三角形，再根据等腰三角形的“三合一”的性质判断③；利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到AD=2CD，然后根据垂直平分线可得AD=BD判断④解题．
11．【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据第四象限为可知，点位于第四象限，
故答案为：四．
【分析】
根据各象限内点的坐标特征“第一象限；第二象限；第三象限；第四象限”即可得到答案．
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，
故答案为： ．
【分析】根据分式有意义的条件得到，求出x的取值范围即可．
13．【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：．
所以小明的最终成绩为83分．
故答案为：83．
【分析】利用加权平均数计算公式解题即可．
14．【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；翻折全等-公共边模型
15．【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
，
弧的长．
故答案为：．
【分析】连接，利用圆周角定理求出∠QOB的度数，再利用弧长公式解题即可．
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设此圆锥的母线长为，
根据题意得，解得，
即此圆锥的母线长为，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面扇形的弧长等于店面圆的周长解题即可．
17．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：AC=a，BC=CF=b，
则a+b=8，a2+b2=34，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab，
即34=64-2ab，
∴ab=15，
∴S阴影=ab=，
故答案为：．
【分析】设AC=a，BC=b，即可得到a+b=8，a2+b2=34，根据完全平方公式的变形求出ab即可解题．
18．【答案】2.5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
19．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂，特殊角的三角函数值，绝对值和平方，然后合并解题即可．
20．【答案】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组无解
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到”解题即可．
21．【答案】（1）分
（2）解：（人），
∴此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀的学生总人数约为230人
（3）解： ①；
答：八年级这20名学生成绩的平均数为分；
②选择九年级，
理由：因为八年级的平均分数比九年级的平均分数低，八年级成绩的方差比九年级的小，所以九年级成绩好，且稳定
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：把抽取的九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是90和91，
故中位数为，
故答案为：分；
【分析】（1）利用中位数的定义解题；
（2）根据八、九年级的人数分别乘样本中成绩优秀学生占比求和解题；
（3）①利用加权平均数公式解答即可；
②根据表格中的数据，比较分析解题即可．
（1）解：把抽取的九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是90和91，
故中位数为，
故答案为：分；
（2）（人），
∴此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀的学生总人数约为230人；
（3）①；
答：八年级这20名学生成绩的平均数为分；
②选择九年级，
理由：因为八年级的平均分数比九年级的平均分数低，八年级成绩的方差比九年级的小，所以九年级成绩好，且稳定．
22．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，先证明是平行四边形，然后根据一组邻边相等得到菱形即可；
（2）利用矩形的性质得到，菱形的性质得到，设，再在中根据勾股定理求出x值即可．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为．
23．【答案】解：【任务1】如图，
由题意得，
设 则
【任务2】如图，取BD的中点O，连接OF交CD于点E， 则
∴BD为直径，∴点O为圆心，
∴OE是 的中位线，
∴弧CD的弓高
【任务3】如图，连接 交CD于点G，作 于点H，
由题意得，此时 与太阳光线平行，则
∴点G为CD的中点，
∴，
，
∴点. 到CD的距离为
即遮阳篷点D上升高度的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA
24．【答案】解：（1）将分别代入中得
，
，
将分别代入中得
，解得：，
；
（2）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，
又因为该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，
所以在A场景下发挥作用时间更长．
（3）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，
所以B场景影响时间最少
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数的解析式即可；
（2）分析A、B两个场景下点表示的意义，解答即可；
（3） 分析A、B两个场景下点表示的意义，解答即可 ．
25．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵
，
∵，
，；
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
26．【答案】（1）解：将点，分别代入，得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为
（2）解：由（1）可得点B的坐标为．由点，可求得直线的函数解析式为．
∵，，
∴是等腰直角三角形．
又∵轴，
∴也是等腰直角三角形，
∴．
∵的面积为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，即点M的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的纵坐标为，
∴点P的坐标为
（3）解：存在．理由如下：∵点，点，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，如图1，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
②当为对角线时，如图2，
∴，解得，
此时点E的坐标为；
③当为对角线时，如图3，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或
【知识点】二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出额二次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到是等腰直角三角形，根据三角形的面得到BM长，进然后求出P点的坐标解题；
（3）转化为沿轴的平移法则得到平移后抛物线的解析式，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据中点坐标公式解题即可．
2025年湖南省初中学业水平考试模拟冲刺卷(三)
1．（2024·湖南模拟）在-1，0，2， 四个数中，属于无理数的是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在-1，0，2， 四个数中只有 是无理数．
故答案为：D．
【分析】无理数是无限不循环小数，根据无理数的定义判断求解即可。
2．（2024·湖南模拟）若是关于x的方程的解，则a的值是（ ）
A．5 B． C．7 D．
【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入，
得：，
解得：，
故答案为：A．
【分析】把方程求出a的值即可．
3．（2024·湖南模拟）若m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
A．m﹣5＜n﹣5 B． C．﹣5m＞﹣5n D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式m＞n的两边同时减去5，不等式仍然成立，即m﹣5＞n﹣5，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、在不等式m＞n的两边同时除以5，不等式仍然成立，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、在不等式m＞n的两边同时乘以﹣5，不等式号方向改变，即﹣5m＜﹣5n，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、在不等式m＞n的两边同时乘以﹣5，不等式号方向改变，即，原变形正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
4．（2024·湖南模拟）老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
5．（2024·湖南模拟）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行得到，，解题即可．
6．（2024·湖南模拟）下列命题中是真命题的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截，同位角相等
B．对顶角相等
C．若，则
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0
【答案】B
【知识点】算术平方根；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，符合题意；
C、若，则，是假命题，不符合题意；
D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可判断A；根据对顶角的性质可判断B；若a2=b2，则a=±b，据此判断C；根据算术平方根的概念可判断D.
7．（2024·湖南模拟）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
8．（2024·湖南模拟）图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，瓶内液体的最大深度，则的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故的弦长为．
故答案为：C．
【分析】先得到，即可得到，再根据勾股定理求出的长解题即可．
9．（2024·湖南模拟）如图，在矩形中，，，对角线相交于点O，E为的中点，连接，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作于F，
在矩形中，，，
∴，
∵对角线相交于点O，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴
∴的面积为
故答案为：A．
【分析】过点A作于F，利用矩形的性质和勾股定理得到对角线，即可求出DE长，在根据三角形的面积公式计算即可．
10．（2024·湖南模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④BD=2CD．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
∵∠2=30°，
∴AD=2CD．
∵点D在AB的中垂线上，
∴AD=BD，
∴BD=2CD．
故④正确．
故选A．
【分析】根据作图得到AD是∠BAC的角平分线判断①；②根据角平分线得到∠CAD=30°，求出∠ADC的度数判断②；得到△ADB的等腰三角形，再根据等腰三角形的“三合一”的性质判断③；利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到AD=2CD，然后根据垂直平分线可得AD=BD判断④解题．
11．（2024·湖南模拟）在平面直角坐标系中，点位于第 象限．
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据第四象限为可知，点位于第四象限，
故答案为：四．
【分析】
根据各象限内点的坐标特征“第一象限；第二象限；第三象限；第四象限”即可得到答案．
12．（2024·湖南模拟）要使分式有意义，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，
故答案为： ．
【分析】根据分式有意义的条件得到，求出x的取值范围即可．
13．（2024·湖南模拟）某市举办了“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 分．
【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：．
所以小明的最终成绩为83分．
故答案为：83．
【分析】利用加权平均数计算公式解题即可．
14．（2024·湖南模拟）如图，将矩形纸片对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形． 若，则四边形的面积为 ．
【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；翻折全等-公共边模型
15．（2024·湖南模拟）如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则弧的长为 ．
【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
，
弧的长．
故答案为：．
【分析】连接，利用圆周角定理求出∠QOB的度数，再利用弧长公式解题即可．
16．（2024·湖南模拟）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设此圆锥的母线长为，
根据题意得，解得，
即此圆锥的母线长为，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面扇形的弧长等于店面圆的周长解题即可．
17．（2024·湖南模拟）如图所示，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：AC=a，BC=CF=b，
则a+b=8，a2+b2=34，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab，
即34=64-2ab，
∴ab=15，
∴S阴影=ab=，
故答案为：．
【分析】设AC=a，BC=b，即可得到a+b=8，a2+b2=34，根据完全平方公式的变形求出ab即可解题．
18．（2024·湖南模拟）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线同右平移3个位长度，所得抛物线与x轴交于点C，D，与原抛物线交于点P，则 ．
【答案】2.5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
19．（2024·湖南模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂，特殊角的三角函数值，绝对值和平方，然后合并解题即可．
20．（2024·湖南模拟）解不等式组：．
【答案】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组无解
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到”解题即可．
21．（2024·湖南模拟）习总书记指出：“航天梦是强国梦的重要组成部分．随着中国航天事业快速发展，中国人探索太空的脚步会迈得更大、更远．”作为当今世界最具挑战性和带动性的高科技领域之一，航天以其所蕴含的科学精神，到“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“天宫”遨游星辰，60多年来始终逐梦星辰大海，某校为进一步激发师生探索宇宙、逐梦星辰的热情，提高科技创新意识和能力，科学逐梦星辰”的活动．八、九年级各200名学生举行了一次知识竞赛（百分制），随机抽取了八，部分信息如下：
a．抽取九年级20名学生的成绩如表：
90 88 97 91 94 62 51 94 87 71
90 78 92 55 97 92 94 94 85 98
b．抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：，，，，）；
c．九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：
年级 平均数 中位数 方差
九年级 85 m
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的九年级20名学生的成绩的中位数是 ；
（2）若90分及以上为优秀，估计此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀学生的总人数；
（3）通过分析随机抽取的八年级20名学生的成绩发现：这20名学生成绩方差为205，且八、九两个年级随机抽取的学生成绩的总平均数是．
①求八年级这20名学生成绩的平均数；
②你认为哪个年级的成绩较好，说明理由（至少从两个不同角度说明推断的合理性）．
【答案】（1）分
（2）解：（人），
∴此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀的学生总人数约为230人
（3）解： ①；
答：八年级这20名学生成绩的平均数为分；
②选择九年级，
理由：因为八年级的平均分数比九年级的平均分数低，八年级成绩的方差比九年级的小，所以九年级成绩好，且稳定
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：把抽取的九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是90和91，
故中位数为，
故答案为：分；
【分析】（1）利用中位数的定义解题；
（2）根据八、九年级的人数分别乘样本中成绩优秀学生占比求和解题；
（3）①利用加权平均数公式解答即可；
②根据表格中的数据，比较分析解题即可．
（1）解：把抽取的九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是90和91，
故中位数为，
故答案为：分；
（2）（人），
∴此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀的学生总人数约为230人；
（3）①；
答：八年级这20名学生成绩的平均数为分；
②选择九年级，
理由：因为八年级的平均分数比九年级的平均分数低，八年级成绩的方差比九年级的小，所以九年级成绩好，且稳定．
22．（2024·湖南模拟）如图，在矩形中，点E在BC边上，且，过点A作交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，先证明是平行四边形，然后根据一组邻边相等得到菱形即可；
（2）利用矩形的性质得到，菱形的性质得到，设，再在中根据勾股定理求出x值即可．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）已证：四边形是菱形，
，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
即的长为．
23．（2024·湖南模拟）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
【答案】解：【任务1】如图，
由题意得，
设 则
【任务2】如图，取BD的中点O，连接OF交CD于点E， 则
∴BD为直径，∴点O为圆心，
∴OE是 的中位线，
∴弧CD的弓高
【任务3】如图，连接 交CD于点G，作 于点H，
由题意得，此时 与太阳光线平行，则
∴点G为CD的中点，
∴，
，
∴点. 到CD的距离为
即遮阳篷点D上升高度的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA
24．（2024·湖南模拟）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场影下发挥作用的时间更长
任务三：探究化学试剂对人体的影响情况
（3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体影响最小，则哪个场景影响时间最少
【答案】解：（1）将分别代入中得
，
，
将分别代入中得
，解得：，
；
（2）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，
又因为该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，
所以在A场景下发挥作用时间更长．
（3）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克，
所以B场景影响时间最少
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数的解析式即可；
（2）分析A、B两个场景下点表示的意义，解答即可；
（3） 分析A、B两个场景下点表示的意义，解答即可 ．
25．（2024·湖南模拟）如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，且满足．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵
，
∵，
，；
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
26．（2024·湖南模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(a，b，c为常数，且)与x轴交于，B两点，与y轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作轴，垂足为M，交直线于点N．若的面积为，试求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新的抛物线，如图2，点E为新抛物线上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，分别代入，得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为
（2）解：由（1）可得点B的坐标为．由点，可求得直线的函数解析式为．
∵，，
∴是等腰直角三角形．
又∵轴，
∴也是等腰直角三角形，
∴．
∵的面积为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，即点M的坐标为，
∴点P的横坐标为，
∴点P的纵坐标为，
∴点P的坐标为
（3）解：存在．理由如下：∵点，点，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，
∴抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，如图1，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
②当为对角线时，如图2，
∴，解得，
此时点E的坐标为；
③当为对角线时，如图3，
∴，解得，
此时点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或
【知识点】二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出额二次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到是等腰直角三角形，根据三角形的面得到BM长，进然后求出P点的坐标解题；
（3）转化为沿轴的平移法则得到平移后抛物线的解析式，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据中点坐标公式解题即可．
