2023-2024学年浙江省绍兴市第一初级中学龙山校九年级上学期1月分类评价第一次（模拟卷）数学模拟预测题
1．（2024九上·绍兴模拟）若
，则
，x，
，
，这四个数中（ ）
A． 最大，
最小
B．x最大，
最小
C． 最大，
最小
D．x最大，
最小
2．（2024九上·绍兴模拟）方程的所有整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024九上·绍兴模拟）如图，矩形中，，，点P在边上，将绕点B顺时针旋转得到，恰好落在上，且点，，C在一直线上，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2024九上·绍兴模拟）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·绍兴模拟）如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·绍兴模拟）如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线﹣运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·绍兴模拟）如图，在矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为( )
A． B． C．或 D．或
8．（2024九上·绍兴模拟）若实数x，y满足条件，则x2＋y2＋2x的最大值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．不能确定
9．（2024九上·绍兴模拟）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（ ）
A．20 B．10 C．15 D．12
10．（2024九上·绍兴模拟）如图，在正中，Q是边中点，P是边上任意一点，连接，并使的延长线交的外角平分线于点G，，的外心在该三角形的内部，则的取值范围是 ．
11．（2024九上·绍兴模拟）二次函数在 的最小值是－2，则=
12．（2024九上·绍兴模拟）已知平面直角坐标系xOy中，O(0，0)，A(－6，8)，B(m，m－4)，则平行四边形OABD的面积是 ．
13．（2024九上·绍兴模拟）已知x的一元二次方程的解为，，且，则m的取值范围是 ．
14．（2024九上·绍兴模拟）已知二次函数和的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则a的值为 ．
15．（2024九上·绍兴模拟）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若，，则的长为 ．
16．（2024九上·绍兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点分别为，曲线G：刚好将平行四边形边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则k的取值范围是 ．
17．（2024九上·绍兴模拟）已知中的数值只能取中的一个，且满足，．则的值为 ．
18．（2024九上·绍兴模拟）设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a的取值范围．
19．（2024九上·绍兴模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．
20．（2024九上·绍兴模拟）如图，在中，，垂足为D，E为的中点，，垂足为F，交于点G．
（1）；
（2）．
21．（2024九上·绍兴模拟）已知抛物线与动直线有公共点，，且．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．
22．（2024九上·绍兴模拟）设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且，求满足条件的直角三角形的个数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵0＜x＜1，
∴取
，
∴，
，
∵2最大，
最小，
∴最大，x2最小.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，在范围内取特殊值的方法比较大小即可.
2．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x-1≠0时，解得x=-3；（2）当x2+x-1=1时，解得x=-2或1．
（3）当x2+x-1=-1，x+3为偶数时，解得x=-1
因而原方程所有整数解是-3，-2，1，-1共4个．
故答案为C．
【分析】分为指数为0，底数不为0；底数为-1，指数为偶数三种情况，列方程解题即可．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用旋转和勾股定理得到的长，然后根据，可以得到解题即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：方案一中，连接，，，
，
∵棱长为1cm的正方体纸盒，
∴，，
∴，即，
∴为该圆的直径，
∴该圆的半径为：，
∴，
方案二中先将图进行命名：
，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据勾股定理的逆定理可得，即可得到为该圆的直径，利用勾股定理即可求出，方案二中得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；求特殊角的三角函数值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，由是直径得，．
∵的度数之和为120°，
∴，
∴，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接，即可得到是直角，进而得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．
6．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】情况一：点落在AD边上，图形如下
∵△AE是△AEB折叠得来
∴E=BE=，∠AE=∠ABE=90°
∴E∥AB，∴E=AB=1
∴=1，解得：a=
情况二：点落在AD边上，图形如下
同理，E=BE=，∠AE=∠ABE=90°，A=AB=1
易得△AD∽△CE，EC=，AD=a
设D=x，则C=1-x
∴，即：，解得：x=
在Rt△AD中，，解得：a=
故答案为：C.
【分析】落在矩形的边上有2种情况，一种落在AD边上，一种落在DC边上，然后利用相似三角形的性质和勾股定理解答即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由已知得：，
∴，
又，
解得：，
∴在上是随着x的增大而增大，
∴当x=3时，y=0时，x2+y2+2x的最大值，
最大值为：．
故答案为：B.
【分析】根据题意，得到求出对称轴为直线x=4，然后根据二次函数的增减性解题即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图2得，当点M在点C处时，，即，
∴，
当点M到达点D时，，即，
在中，，即，
∴，
∴，
∴的面积是．
故答案为：D．
【分析】由函数图象可得当x=0时，，即当点M在C处时，当点M到达点D时，，即，然后根据勾股定理得到，再根据平行四边形面积公式解答．
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是正三角形
∴
∴
∵平分
∴
∴
∵的外心在该三角形的内部，
∴是锐角三角形
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】先得到，再根据角平分线的定义可得，即可得到，再根据，解答即可．
11．【答案】±2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】，①若a<0，当x=0时，y最小符合题意.
②若0≤a≤1.5，当x=a时，y最小，解得：或互相矛盾.
③若1.5
故答案为±2.
【分析】分为①若a<0，②若0≤a≤1.5，③若1.5
12．【答案】24
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：∵直线AO经过原点，可设直线AO的解析式为，
代入A(－6，8)得：，解得：，
∴直线AO的解析式为，
又∵B(m，m－4)，
∴点B在直线上，直线与直线AO平行，
∵四边形OABD是平行四边形，则，
∴点D也在直线上，
设直线与x轴交于点C，
将代入得：，解得：，
∴点C坐标为，
则，
∴，
故答案为：24．
【分析】用待定系数法求出直线AO的解析式为，由B点坐标可得点B在直线上，设直线与x轴交于点C，求出点C坐标为，然后求面积即可．
13．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：设，
它与x轴交点坐标为，
图象如图：
当时的交点横坐标为，，且，
借助图象可得，
故答案为：．
【分析】把，值的问题转化为二次函数与交点的横坐标，根据函数图象解答即可．
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，解得，
∴两个交点坐标为，，
令，则，解得，，
∴两个交点坐标为，，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等且，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先分别求出两个二次函数与x轴的交点横坐标，再根据每相邻两点间的距离相等求出a的值即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接、，
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为x，则，，
由勾股定理得，
即，
整理得，
解得（舍去），
在中，，，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】
过C作 于G， 连接OC、BC， 先证明 进而证明得到 由三线合一求出DG，再求出OC， OG的长，进而求出 进一步求出AG的长，即可利用勾股定理求出答案．
16．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴轴，，
∴轴，，
∴，
∴平行四边形边上和内部一共有16个整点，
当反比例函数恰好经过点时，则，此时反比例函数图象下面一部分一共有7个整点，上面一部分有8个整点，
当反比例函数恰好经过点时，则，此时反比例函数图象下面一部分一共有8个整点，上面一部分有7个整点，
∴观察函数图象可知当时，此时反比例函数图象下面一部分一共有8个整点，上面一部分有8个整点，
∴k的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先求出，即可得到平行四边形边上和内部整点个数，根据题意，结合函数图象找到临界情况解答即可．
17．【答案】5041
【知识点】解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：设有p个x取1，q个x取-2，有 ，
解得
∴原式=．
故答案为：5041．
【分析】先设有p个x取1，q个x取-2，即可得到关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，然后代入计算即可．
18．【答案】解：∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5， ∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2， 即有b+c＝±2（a+1）． 又bc＝a2﹣4a﹣5， 所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根， 故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0， 解得a＞﹣1． 若当a＝b时，那么a也是方程③的解， ∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0， 即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0， 解得， 或 ． 当a＝c时，同理可得 或 ． 所以a的取值范围为a＞﹣1且 且 ．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先通过代数式变形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c时的a的值．先设a=b和a=c，分别代入方程③，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a＞-1的前提下排除求得的a值．
19．【答案】（1）证明：∵DC2＝CE CA
∴
∴ △CDE∽△CAD
∴ ∠CDB=∠DAC
∵ 四边形ABCD内接于，
∴ BC=CD
（2）解：如图，连接OC
∵BC=CD
∴∠DAC=∠CAB
又∵AO=CO
∴∠CAB=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO
∴AD∥OC
∴
∵PB=OB，
∴
∴
又∵
∴
∴ OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12
在Rt△ACB中，
∵ AB是直径
∴ ∠ADB=∠ACB=90°
∴ ∠FDA+∠BDC=90°，∠CBA+∠CAB=90°
∵ ∠BDC=∠CAB
∴ ∠FDA=∠CBA
又∵ ∠AFD=∠ACB=90°
∴ △AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD=x，则，
∴ 在Rt△APF中有
解得，即．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
20．【答案】（1）证明：如图，连接并延长交于N，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴A、F、D、C四点共圆，
∴；
（2）证明：∵，∴．
∵，
∴F、N、D、G四点共圆，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
21．【答案】（1）解：∵与，∴①
有实数根，，则，．
∴
②
②式代入①
∴
∴
∵t的取值应满足，
∴或，
∴t的取值范围为；
（2）解：由②式知．由于，
当时，c随着t的增大而增大，
∴当时，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）联立两解析式，根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到，代入方程①后，运用根的判别式求出t的取值范围，再利用是非负数求出t的取值范围，取公共部分解题即可；
（2）根据二次函数的增减性解题即可．
22．【答案】解：由勾股定理得．又∵，
∴．
即．
整理得，，即
∵a，b均为正整数，不妨设，
可得或或，
可解出或或，
∴满足条件的直角三角形有3个．
【知识点】因式分解的应用；勾股定理；因式分解（奥数）
【解析】【分析】根据题意整理可得然后根据a，b为整数解题即可.
2023-2024学年浙江省绍兴市第一初级中学龙山校九年级上学期1月分类评价第一次（模拟卷）数学模拟预测题
1．（2024九上·绍兴模拟）若
，则
，x，
，
，这四个数中（ ）
A． 最大，
最小
B．x最大，
最小
C． 最大，
最小
D．x最大，
最小
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵0＜x＜1，
∴取
，
∴，
，
∵2最大，
最小，
∴最大，x2最小.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，在范围内取特殊值的方法比较大小即可.
2．（2024九上·绍兴模拟）方程的所有整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x-1≠0时，解得x=-3；（2）当x2+x-1=1时，解得x=-2或1．
（3）当x2+x-1=-1，x+3为偶数时，解得x=-1
因而原方程所有整数解是-3，-2，1，-1共4个．
故答案为C．
【分析】分为指数为0，底数不为0；底数为-1，指数为偶数三种情况，列方程解题即可．
3．（2024九上·绍兴模拟）如图，矩形中，，，点P在边上，将绕点B顺时针旋转得到，恰好落在上，且点，，C在一直线上，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用旋转和勾股定理得到的长，然后根据，可以得到解题即可．
4．（2024九上·绍兴模拟）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：方案一中，连接，，，
，
∵棱长为1cm的正方体纸盒，
∴，，
∴，即，
∴为该圆的直径，
∴该圆的半径为：，
∴，
方案二中先将图进行命名：
，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据勾股定理的逆定理可得，即可得到为该圆的直径，利用勾股定理即可求出，方案二中得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
5．（2024九上·绍兴模拟）如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；求特殊角的三角函数值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，由是直径得，．
∵的度数之和为120°，
∴，
∴，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接，即可得到是直角，进而得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．
6．（2024九上·绍兴模拟）如图1，中，，，．点D从点A出发沿折线﹣运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
7．（2024九上·绍兴模拟）如图，在矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】情况一：点落在AD边上，图形如下
∵△AE是△AEB折叠得来
∴E=BE=，∠AE=∠ABE=90°
∴E∥AB，∴E=AB=1
∴=1，解得：a=
情况二：点落在AD边上，图形如下
同理，E=BE=，∠AE=∠ABE=90°，A=AB=1
易得△AD∽△CE，EC=，AD=a
设D=x，则C=1-x
∴，即：，解得：x=
在Rt△AD中，，解得：a=
故答案为：C.
【分析】落在矩形的边上有2种情况，一种落在AD边上，一种落在DC边上，然后利用相似三角形的性质和勾股定理解答即可.
8．（2024九上·绍兴模拟）若实数x，y满足条件，则x2＋y2＋2x的最大值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．不能确定
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由已知得：，
∴，
又，
解得：，
∴在上是随着x的增大而增大，
∴当x=3时，y=0时，x2+y2+2x的最大值，
最大值为：．
故答案为：B.
【分析】根据题意，得到求出对称轴为直线x=4，然后根据二次函数的增减性解题即可.
9．（2024九上·绍兴模拟）如图1，平行四边形中，对角线， 点M沿方向运动．设，，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形的面积是（ ）
A．20 B．10 C．15 D．12
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图2得，当点M在点C处时，，即，
∴，
当点M到达点D时，，即，
在中，，即，
∴，
∴，
∴的面积是．
故答案为：D．
【分析】由函数图象可得当x=0时，，即当点M在C处时，当点M到达点D时，，即，然后根据勾股定理得到，再根据平行四边形面积公式解答．
10．（2024九上·绍兴模拟）如图，在正中，Q是边中点，P是边上任意一点，连接，并使的延长线交的外角平分线于点G，，的外心在该三角形的内部，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是正三角形
∴
∴
∵平分
∴
∴
∵的外心在该三角形的内部，
∴是锐角三角形
∴，
解得．
故答案为：．
【分析】先得到，再根据角平分线的定义可得，即可得到，再根据，解答即可．
11．（2024九上·绍兴模拟）二次函数在 的最小值是－2，则=
【答案】±2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】，①若a<0，当x=0时，y最小符合题意.
②若0≤a≤1.5，当x=a时，y最小，解得：或互相矛盾.
③若1.5
故答案为±2.
【分析】分为①若a<0，②若0≤a≤1.5，③若1.5
12．（2024九上·绍兴模拟）已知平面直角坐标系xOy中，O(0，0)，A(－6，8)，B(m，m－4)，则平行四边形OABD的面积是 ．
【答案】24
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：∵直线AO经过原点，可设直线AO的解析式为，
代入A(－6，8)得：，解得：，
∴直线AO的解析式为，
又∵B(m，m－4)，
∴点B在直线上，直线与直线AO平行，
∵四边形OABD是平行四边形，则，
∴点D也在直线上，
设直线与x轴交于点C，
将代入得：，解得：，
∴点C坐标为，
则，
∴，
故答案为：24．
【分析】用待定系数法求出直线AO的解析式为，由B点坐标可得点B在直线上，设直线与x轴交于点C，求出点C坐标为，然后求面积即可．
13．（2024九上·绍兴模拟）已知x的一元二次方程的解为，，且，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：设，
它与x轴交点坐标为，
图象如图：
当时的交点横坐标为，，且，
借助图象可得，
故答案为：．
【分析】把，值的问题转化为二次函数与交点的横坐标，根据函数图象解答即可．
14．（2024九上·绍兴模拟）已知二次函数和的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则a的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，则，解得，
∴两个交点坐标为，，
令，则，解得，，
∴两个交点坐标为，，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等且，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先分别求出两个二次函数与x轴的交点横坐标，再根据每相邻两点间的距离相等求出a的值即可.
15．（2024九上·绍兴模拟）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接、，
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为x，则，，
由勾股定理得，
即，
整理得，
解得（舍去），
在中，，，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
【分析】
过C作 于G， 连接OC、BC， 先证明 进而证明得到 由三线合一求出DG，再求出OC， OG的长，进而求出 进一步求出AG的长，即可利用勾股定理求出答案．
16．（2024九上·绍兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点分别为，曲线G：刚好将平行四边形边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴轴，，
∴轴，，
∴，
∴平行四边形边上和内部一共有16个整点，
当反比例函数恰好经过点时，则，此时反比例函数图象下面一部分一共有7个整点，上面一部分有8个整点，
当反比例函数恰好经过点时，则，此时反比例函数图象下面一部分一共有8个整点，上面一部分有7个整点，
∴观察函数图象可知当时，此时反比例函数图象下面一部分一共有8个整点，上面一部分有8个整点，
∴k的取值范围是，
故答案为：．
【分析】先求出，即可得到平行四边形边上和内部整点个数，根据题意，结合函数图象找到临界情况解答即可．
17．（2024九上·绍兴模拟）已知中的数值只能取中的一个，且满足，．则的值为 ．
【答案】5041
【知识点】解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：设有p个x取1，q个x取-2，有 ，
解得
∴原式=．
故答案为：5041．
【分析】先设有p个x取1，q个x取-2，即可得到关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，然后代入计算即可．
18．（2024九上·绍兴模拟）设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a的取值范围．
【答案】解：∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5， ∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2， 即有b+c＝±2（a+1）． 又bc＝a2﹣4a﹣5， 所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根， 故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0， 解得a＞﹣1． 若当a＝b时，那么a也是方程③的解， ∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0， 即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0， 解得， 或 ． 当a＝c时，同理可得 或 ． 所以a的取值范围为a＞﹣1且 且 ．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先通过代数式变形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c时的a的值．先设a=b和a=c，分别代入方程③，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a＞-1的前提下排除求得的a值．
19．（2024九上·绍兴模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵DC2＝CE CA
∴
∴ △CDE∽△CAD
∴ ∠CDB=∠DAC
∵ 四边形ABCD内接于，
∴ BC=CD
（2）解：如图，连接OC
∵BC=CD
∴∠DAC=∠CAB
又∵AO=CO
∴∠CAB=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO
∴AD∥OC
∴
∵PB=OB，
∴
∴
又∵
∴
∴ OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12
在Rt△ACB中，
∵ AB是直径
∴ ∠ADB=∠ACB=90°
∴ ∠FDA+∠BDC=90°，∠CBA+∠CAB=90°
∵ ∠BDC=∠CAB
∴ ∠FDA=∠CBA
又∵ ∠AFD=∠ACB=90°
∴ △AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD=x，则，
∴ 在Rt△APF中有
解得，即．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
20．（2024九上·绍兴模拟）如图，在中，，垂足为D，E为的中点，，垂足为F，交于点G．
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：如图，连接并延长交于N，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴A、F、D、C四点共圆，
∴；
（2）证明：∵，∴．
∵，
∴F、N、D、G四点共圆，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
21．（2024九上·绍兴模拟）已知抛物线与动直线有公共点，，且．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．
【答案】（1）解：∵与，∴①
有实数根，，则，．
∴
②
②式代入①
∴
∴
∵t的取值应满足，
∴或，
∴t的取值范围为；
（2）解：由②式知．由于，
当时，c随着t的增大而增大，
∴当时，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）联立两解析式，根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到，代入方程①后，运用根的判别式求出t的取值范围，再利用是非负数求出t的取值范围，取公共部分解题即可；
（2）根据二次函数的增减性解题即可．
22．（2024九上·绍兴模拟）设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且，求满足条件的直角三角形的个数．
【答案】解：由勾股定理得．又∵，
∴．
即．
整理得，，即
∵a，b均为正整数，不妨设，
可得或或，
可解出或或，
∴满足条件的直角三角形有3个．
【知识点】因式分解的应用；勾股定理；因式分解（奥数）
【解析】【分析】根据题意整理可得然后根据a，b为整数解题即可.
