第六章 平行四边形
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若
∠DCE=132°,则∠A等于( B )
A.38° B.48° C.58° D.66°
2.一个八边形的内角和等于( D )
A.1 800° B.1 660° C.1 440° D.1 080°
3.四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是( A )
A.AB=DC,∠ABC=∠ADC B.AD∥BC,AB∥DC
C.AB=DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
4.如图,大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左转的角度为α,再沿直线前进8米,到达点C后,又向左转α角度,照这样走下去,第一次回到出发地点时,他共走了72米,则每次转的角度α为( B )
A.30° B.40° C.45° D.60°
5.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为( B )
A.4 B.3 C.6 D.5
6.如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE,∠B=65°,∠EAC=
25°,则∠AED的度数为( D )
A.25° B.40° C.65° D.75°
7.如图,六边形ABCDEF中,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C=120°,
∠E=80°,则∠F的度数为( C )
A.110° B.120° C.130° D.140°
8.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,有下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BC,AD∥BC,BD为∠ABC的平分线,BC=
3,AC=4,E,F分别是BD,AC的中点,则EF的长为( A )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
10.如图,l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行线间的距离为1,A为l1上一定点,B,D分别为l3,l4上的动点,以AB,AD为邻边作 ABCD,则AC的最小值为( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.如图,在 ABCD中,AB=2,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E,若点E恰好在边AD上,则BE2+CE2的值为 16 .
12.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=50°,∠BAC=80°,则∠1= 50 °.
13.如图,点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点,EF过点O分别与AD,BC相交于点E,F,若平行四边形ABCD的周长为24,OE=2,则四边形ABFE的周长为 16 .
14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(3,0),C(2,4),则以A,B,C三个点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为 (8,4),
(-4,4),(-2,-4) .
三、解答题(共74分)
15.(10分)如图,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线,交点为F.求证:四边形ABCF是平行四边形.
证明:∵五边形ABCDE为正五边形,
∴CD=DE=AE,∠BCD=∠AED=∠CDE==108°,
∴∠ADE==36°,∴∠ADC=108°-36°=72°,
∴∠BCD+∠ADC=180°,∴AD∥BC.
同理AB∥CE,
∴四边形ABCF是平行四边形.
16.(10分)如图,在 ABCD中,点E是CD的中点,连接BE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证:D是AF的中点;
(2)若AB=2BC,连接AE,试判断AE与BF的位置关系,并说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠CBE=∠F.
∵点E为CD的中点,∴CE=DE.
在△BCE和△FDE中,∴△BCE≌△FDE(AAS),
∴BC=DF,∴AD=DF,即D是AF的中点.
(2)解:AE⊥BF.理由如下:
∵△BCE≌△FDE,∴BE=EF.
∵AB=2BC,BC=AD,AD=DF,
∴AB=AF,∴AE⊥BF.
17.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)求四边形ACEB的周长.
(1)证明:∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,且DE⊥BC,∴AC∥DE.
又∵CE∥AD,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)解:∵四边形ACED是平行四边形,∴DE=AC=2.
在Rt△CDE中,由勾股定理得CD==2.
∵点D是BC的中点,∴BC=2CD=4.
在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB==2.
∵点D是BC的中点,DE⊥BC,∴EB=EC=4,
∴四边形ACEB的周长为AC+CE+EB+BA=10+2.
18.(12分)(2024湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
解:(1)①或②(选填一个即可).证明如下:
选择①,∵∠B=∠AED,
∴BC∥DE.
又∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②,∵AE=BE,AE=CD,
∴BE=CD.又∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,
∴DE=BC=10.
∵AD⊥AB,∴∠A=90°,
∴AE===6,
即线段AE的长为6.
19.(14分)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,CE=
CD,点F为CE的中点,点G是CD上的一点,连接DF,EG,AG.
(1)若CF=4,AE=6,求BE的长.
(2)如果∠CEG=∠AGE,那么:
①判断线段AG和EG的数量关系,并说明理由;
②求证:∠1=∠2.
(1)解:∵CE=CD,点F为CE的中点,CF=4,∴CD=CE=2CF=8.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=8.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中,由勾股定理得BE===2.
(2)①解:AG=EG.理由如下:延长BC交AG的延长线于点H,如图.
∵∠CEG=∠AGE,∠AGE=∠CEG+∠CHG,∴∠CEG=∠CHG.
∵∠AEG+∠CEG=90°,∠EAG+∠CHG=90°,∴∠AEG=∠EAG,
∴AG=EG.
②证明:由①得∠CEG=∠CHG,AG=EG,∴AG=EG=HG.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BH,∴∠DAG=∠CHG,∠ADG=
∠HCG.
在△ADG和△HCG中,
∵∠ADG=∠HCG,∠DAG=∠CHG,AG=HG,
∴△ADG≌△HCG(AAS),
∴DG=CG,∴CG=CD=CE.
∵点F为CE的中点,∴CF=CE,∴CF=CG.
在△CDF和△CEG中,
∵CF=CG,∠DCF=∠ECG,CD=CE,
∴△CDF≌△CEG,∴∠1=∠2.
20.(16分)如图,等边三角形ABC的边长为8 cm,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以3 cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C的方向以2 cm/s的速度运动.
(1)若动点M,N同时出发,经过几秒两点第一次相遇
(2)若动点M,N同时出发,且其中一点回到起点时,另一点即停止运动,则运动到第几秒时,点A,M,N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形 求出时间t并指出此时点D的具体位置.
解:(1)设经过t s两点第一次相遇,由题意得3t+2t=16,解得t=.
即若动点M,N同时出发,经过 s两点第一次相遇.
(2)①当0≤t≤时,点M,N,D的位置如图①.
①
∵四边形ANDM为平行四边形,
∴DM=AN,DM∥AN,
∴∠MDB=∠ACB.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∴∠MDB=∠B,
∴MD=MB,
∴MB+CN=MD+CN=AN+CN=8,
即3t+2t=8,解得t=,
此时点D在BC上,且BD= cm(或CD= cm).
②当
③当4
∴DN=AM,AM∥DN,∴∠NDB=∠ACB.
∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°.
∴∠NDB=∠B,∴ND=NB,
∴NB+MC=ND+MC=AM+CM=8 cm,
∴16-2t+16-3t=8,解得t=,
此时点D在BC上,且BD= cm(或CD= cm).
③
④当
由题意可知△BNM为等边三角形,
∴BN=BM,即16-2t=24-3t,解得t=8,
此时点M,N重合,不能构成平行四边形.
综上,运动到 s或 s时,A,M,N,D四点能构成平行四边形,此时点D在BC上,且运动到 s时,BD= cm(或CD= cm),运动到 s时,BD=
cm(或CD= cm).第六章 平行四边形
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若
∠DCE=132°,则∠A等于( )
A.38° B.48° C.58° D.66°
2.一个八边形的内角和等于( )
A.1 800° B.1 660° C.1 440° D.1 080°
3.四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB=DC,∠ABC=∠ADC B.AD∥BC,AB∥DC
C.AB=DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD
4.如图,大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左转的角度为α,再沿直线前进8米,到达点C后,又向左转α角度,照这样走下去,第一次回到出发地点时,他共走了72米,则每次转的角度α为( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
5.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为( )
A.4 B.3 C.6 D.5
6.如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE,∠B=65°,∠EAC=
25°,则∠AED的度数为( )
A.25° B.40° C.65° D.75°
7.如图,六边形ABCDEF中,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C=120°,
∠E=80°,则∠F的度数为( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
8.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,有下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BC,AD∥BC,BD为∠ABC的平分线,BC=
3,AC=4,E,F分别是BD,AC的中点,则EF的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
10.如图,l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行线间的距离为1,A为l1上一定点,B,D分别为l3,l4上的动点,以AB,AD为邻边作 ABCD,则AC的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.如图,在 ABCD中,AB=2,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E,若点E恰好在边AD上,则BE2+CE2的值为 .
12.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=50°,∠BAC=80°,则∠1= °.
13.如图,点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点,EF过点O分别与AD,BC相交于点E,F,若平行四边形ABCD的周长为24,OE=2,则四边形ABFE的周长为 .
14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(3,0),C(2,4),则以A,B,C三个点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为 .
三、解答题(共74分)
15.(10分)如图,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线,交点为F.求证:四边形ABCF是平行四边形.
16.(10分)如图,在 ABCD中,点E是CD的中点,连接BE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证:D是AF的中点;
(2)若AB=2BC,连接AE,试判断AE与BF的位置关系,并说明理由.
17.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)求四边形ACEB的周长.
18.(12分)(2024湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
19.(14分)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,CE=
CD,点F为CE的中点,点G是CD上的一点,连接DF,EG,AG.
(1)若CF=4,AE=6,求BE的长.
(2)如果∠CEG=∠AGE,那么:
①判断线段AG和EG的数量关系,并说明理由;
②求证:∠1=∠2.
20.(16分)如图,等边三角形ABC的边长为8 cm,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以3 cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C的方向以2 cm/s的速度运动.
(1)若动点M,N同时出发,经过几秒两点第一次相遇
(2)若动点M,N同时出发,且其中一点回到起点时,另一点即停止运动,则运动到第几秒时,点A,M,N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形 求出时间t并指出此时点D的具体位置.
