2.1.3 基本不等式的应用
[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式的应用模型并会简单应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
一、基本不等式的应用模型
问题 你能写出基本不等式的几种变形吗
知识梳理
已知x,y都为正数,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值 ;
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值 .
简记为:积定和最小,和定积最大.
例1 (1)若m>0,n>0,mn=9,则m+n的最小值为 ( )
A.4 B.4
C.6 D.18
(2)已知x>0,y>0,且x+=4,则xy的最大值为 .
反思感悟 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键,利用配凑法求最值应注意以下几个方面:①配凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换;②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标;③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
跟踪训练1 (1)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )
A.80 B.77
C.81 D.82
(2)已知a>0,b>0,且ab=2,则+的最小值为 .
二、基本不等式在生活中的最小(少)问题
例2 某高中即将举办一年一度的秋季运动会,高一某班级计划为班级入场式方队定制一张矩形宣传牌,该宣传牌含有大小相等的左、右两个矩形板块(如图中阴影部分),这两个板块上分别印制“奋”、“斗”两字,这两个板块的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两个板块之间的中缝空白的宽度为5 cm,怎样确定宣传牌的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形宣传牌面积最小
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义;
(2)构造定值,利用基本不等式求最值;
(3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意;
(4)得出结论.
跟踪训练2 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时24元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
三、基本不等式在生活中的最大(多)问题
例3 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2023年的年促销费用为多少万元时,厂家的利润最大 最大利润为多少
反思感悟 利用不等式求最值,若不满足求最值的一正、二定、三相等的条件时,要配凑符号为正、和为定值或差为定值.注意有负号或分式时不等式符号的变化.
跟踪训练3 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室(如图).在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,蔬菜的种植面积为S m2.
(1)用a,b表示S;
(2)a,b各为多少时,蔬菜的种植面积S最大 最大种植面积是多少
1.知识清单:
(1)基本不等式的应用模型.
(2)基本不等式在生活中的应用.
2.方法归纳:配凑法.
3.常见误区:生活中的变量有它自身的意义,容易忽略变量的取值范围.
1.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
2.已知a,b>0且ab=2,则(a+1)(b+2)的最小值为( )
A.4 B.6
C.2 D.8
3.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
4. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),矩形花园面积的最大值为 .
答案精析
问题 当a>0，b>0时，有①≤；②ab≤；③a+b≥2.由此我们发现，若两个正数的和为定值，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个正数的乘积为定值，我们可以求这两个数和的最小值.
知识梳理
(1)2 (2)
例1 (1)C
(2)8
解析 xy=2·x·≤2=8，
当且仅当x=，即x=2，y=4时，等号成立，
∴xy的最大值为8.
跟踪训练1 (1)C (2)2
例2 解 设矩形板块的高为a cm，
宽为b cm，
则ab=9 000，
宣传牌的高为(a+20)cm，
宽为(2b+25)cm，
其中a>0，b>0，
宣传牌的面积
S=(a+20)(2b+25)
=2ab+40b+25a+500
≥18 500+2
=18 500+2=24 500，
当且仅当25a=40b，
即a=120，b=75时，等号成立，
综上所述，当宣传牌高为140 cm，宽为175 cm时，可使宣传牌的面积最小.
跟踪训练2 解 (1)设所用时间为
t=(h)，
则由题意知
y=×6×+24×，
x∈[50，100].
所以这次行车总费用y关于x的表达式是y=+，x∈[50，100].
(2)y=+≥2=260，
当且仅当=，即x=60时，等号成立.
故当x=60时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为260元.
例3 解 由题意，当m=0时，
x=3-=1，
所以k=2，即x=3-，
设利润为y，
则y=x×1.5-16x-8-m=8x+4-m=8+4-m，
所以y=29-
≤29-2=21，
当且仅当=m+1，即m=3时等号成立.
所以年促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元.
跟踪训练3 解 (1)由题意可知，
ab=800(a>4，b>2)，
S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8
=808-2(a+2b).
(2)由ab=800，
得b=(4
S=808-2≤808-4=648，
当且仅当a=，即a=40时等号成立，S取得最大值，此时b==20.
所以当a=40 m，b=20 m时，蔬菜的种植面积S最大，最大种植面积是648 m2.
随堂演练
1.C 2.D 3.B 4.400(共71张PPT)
第2章
<<<
2.1.3 基本不等式的应用
1.熟练掌握基本不等式的应用模型并会简单应用.
2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
学习目标
同学们,我们说数学是和生活联系非常紧密的学科,我们学习数学,也是为了解决生活中的问题,如图为水立方的平面设计图,已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构,该结构是大小相同的左右两个矩形框架,两框架面积之和为18 000 m2,
现地上部分要建在矩形ABCD之间上,已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10 m,两框架之间的中缝空白宽度为5 m,应怎样设计
矩形ABCD,才能使水立方占地面积最小 要解决这个问
题,还得需要我们刚学习过的基本不等式哦,让我们开始
今天的探究之旅吧!
导 语
一、基本不等式的应用模型
二、基本不等式在生活中的最小(少)问题
课时对点练
三、基本不等式在生活中的最大(多)问题
随堂演练
内容索引
基本不等式的应用模型
一
你能写出基本不等式的几种变形吗
问题1
提示 当a>0,b>0时,有①;②ab≤;③a＋b≥2.由此我们发现,若两个正数的和为定值,我们可以求这两个数乘积的最大值,若两个正数的乘积为定值,我们可以求这两个数和的最小值.
已知x,y都为正数,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x＝y时,和x＋y有最小值______;
(2)如果和x＋y是定值s,那么当且仅当x＝y时,积xy有最大值____.
简记为:积定和最小,和定积最大.
2
(1)一正:各项必须为正;
(2)二定:各项之和或各项之积为定值;
(3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.
注 意 点
<<<
利用基本不等式求最值的关键词:一正、二定、三相等.
(1)若m>0,n>0,mn＝9,则m＋n的最小值为
A.4 B.4
C.6 D.18
例 1
√
因为m>0,n>0,mn＝9,所以m＋n≥2＝6,当且仅当m＝n＝3时等号成立,故m＋n的最小值为6.
(2)已知x>0,y>0,且x＋＝4,则xy的最大值为 .
xy＝2·x·≤2＝8,
当且仅当x＝,即x＝2,y＝4时,等号成立,
∴xy的最大值为8.
8
配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键,利用配凑法求最值应注意以下几个方面:①配凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价转换;②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标;③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
反
思
感
悟
通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
(1)设x>0,y>0,且x＋y＝18,则xy的最大值为
A.80 B.77
C.81 D.82
跟踪训练 1
√
因为x>0,y>0,
所以xy≤＝81,
当且仅当x＝y＝9时,等号成立,
所以xy的最大值为81.
(2)已知a>0,b>0,且ab＝2,则的最小值为 .
≥2＝2＝2,
,即a＝,b＝2,等号成立,
∴2.
2
二
基本不等式在生活中的最小(少)问题
某高中即将举办一年一度的秋季运动会,高一某班级计划为班级入场式方队定制一张矩形宣传牌,该宣传牌含有大小相等的左、右两个矩形板块(如图中阴影部分),这两个板块上分别印制“奋”、“斗”两字,这两个板块的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两个板块之间的中缝空白的宽度为5 cm,怎样确定宣传牌的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形宣传牌面积最小
例 2
设矩形板块的高为a cm,宽为b cm,
则ab＝9 000,
宣传牌的高为(a＋20)cm,宽为(2b＋25)cm,
其中a>0,b>0,
宣传牌的面积
S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500
≥18 500＋2
＝18 500＋2＝24 500,
当且仅当25a＝40b,
即a＝120,b＝75时,等号成立,
综上所述,当宣传牌高为140 cm,宽为175 cm时,
可使宣传牌的面积最小.
反
思
感
悟
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义;
(2)构造定值,利用基本不等式求最值;
(3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意;
(4)得出结论.
利用基本不等式解决实际问题的步骤
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时24元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
跟踪训练 2
设所用时间为t＝(h),
则由题意知y＝×6×＋24×,x∈[50,100].
所以这次行车总费用y关于x的表达式是y＝,x∈[50,100].
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
y＝≥2＝260,
,即x＝60时,等号成立.
故当x＝60时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为260元.
基本不等式在生活中的最大(多)问题
三
某厂家在2023年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x＝3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2023年的年促销费用为多少万元时,厂家的利润最大 最大利润为多少
例 3
由题意,当m＝0时,x＝3-＝1,
所以k＝2,即x＝3-,
设利润为y,
则y＝x×1.5-16x-8-m＝8x＋4-m＝8＋4-m,
所以y＝29-
≤29-2＝21,
＝m＋1,即m＝3时等号成立.
所以年促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.
反
思
感
悟
利用不等式求最值,若不满足求最值的一正、二定、三相等的条件时,要配凑符号为正、和为定值或差为定值.注意有负号或分式时不等式符号的变化.
某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室(如图).在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,蔬菜的种植面积为S m2.
(1)用a,b表示S;
跟踪训练 3
由题意可知,ab＝800(a>4,b>2),
S＝(a-4)(b-2)＝ab-4b-2a＋8
＝808-2(a＋2b).
(2)a,b各为多少时,蔬菜的种植面积S最大 最大种植面积是多少
由ab＝800,得b＝(4
S＝808-2≤808-4＝648,
当且仅当a＝,即a＝40时等号成立,S取得最大值,此时b＝＝20.
所以当a＝40 m,b＝20 m时,蔬菜的种植面积S最大,最大种植面积是648 m2.
1.知识清单:
(1)基本不等式的应用模型.
(2)基本不等式在生活中的应用.
2.方法归纳:配凑法.
3.常见误区:生活中的变量有它自身的意义,容易忽略变量的取值范围.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
√
设两直角边分别为a,b,直角三角形框架的周长为l,ab＝2,∴ab＝4,l＝a＋b＋≥2＝4＋2≈6.828(m).当且仅当a＝b＝2时,等号成立.故C既够用,浪费也最少.
2.已知a,b>0且ab＝2,则(a＋1)(b＋2)的最小值为
A.4 B.6
C.2 D.8
1
2
3
4
√
∵a>0,b>0且ab＝2,
∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2
＝4＋2a＋b≥4＋2＝8,
当且仅当2a＝b,即a＝1,b＝2时等号成立.
A.x＝ B.x≤
C.x> D.x≥
3.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则
1
2
3
4
√
1
2
3
4
由题意得,A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2,
则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2,
因为(1＋a)(1＋b)≤,
所以1＋x≤＝1＋,
所以x≤,当且仅当a＝b时取等号.
4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),矩形花园面积的最大值为 .
1
2
3
4
400
1
2
3
4
由题意设矩形花园的长为x>0,宽为y>0,矩形花园的面积为xy,根据题意作图,如图所示,
因为花园是矩形,则△ADE与△ABC相似,
,
又因为AG＝BC＝40,
所以AF＝DE＝x,FG＝y,
所以x＋y＝40,
1
2
3
4
由基本不等式x＋y≥2,
得xy≤400,
当且仅当x＝y＝20时等号成立,矩形花园面积最大,
最大值为400.
课时对点练
五
1.设x,y>0且x＋2y＝40,则2xy的最大值是
A.400 B.100
C.40 D.20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
2xy＝x·2y≤＝400,
当且仅当x＝2y,即x＝20,y＝10时等号成立.
2.已知a>0,b>0,ab＝1,且m＝b＋,n＝a＋,则m＋n的最小值是
A.3 B.4
C.5 D.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵a>0,b>0,ab＝1,
且m＝b＋,n＝a＋,
则m＋n＝a＋＋b＋
≥2＋2＝4,
当且仅当a＝,b＝,即a＝1,b＝1时取等号.
3.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设矩形模型的长和宽分别为x,y,
则x>0,y>0,
由题意可得2(x＋y)＝8,所以x＋y＝4,
所以矩形模型的面积S＝xy≤＝4,
当且仅当x＝y＝2时取等号,
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时,面积最大,为4 cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.如图所示,矩形ABCD是一块空地,它的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的
A.最小长度为8
B.最小长度为4
C.最大长度为8
D.最大长度为4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设BC＝a,CD＝b,
因为矩形的面积为4,所以ab＝4,
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
2a＋b＝2a＋≥2＝4,
当且仅当2a＝,即a＝,等号成立.
故围成矩形ABCD所需要篱笆的最小长度为4.
5.港珠澳大桥通车后,经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案:每次加200元的燃油,则下列说法正确的是
A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样 D.无法确定
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.
,
当且仅当m＝n时等号成立,
,
当且仅当m＝n时等号成立,所以油价变化时,第二种方案划算.
6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平,购入了一辆豪华轿车投入营运,据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与营运年数x的关系为y＝-x2＋12x-25,则下列判断正确的是
A.车辆营运年数越多,收入越高
B.车辆在第6年时,总收入最高
C.车辆在前5年的平均收入最高
D.车辆每年都能盈利
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意,y＝-x2＋12x-25,是开口向下的二次函数,故A错误;
对称轴x＝6,故B正确;
＝-x＋12-＝-＋12≤-2＋12＝2,当且仅当x＝5时,等号成立,故C正确;
当x＝1时,y＝-14,故D错误.
7.矩形的长为a,宽为b,且面积为64,则矩形周长的最小值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
32
由题意,矩形的长为a,宽为b,且面积为64,即ab＝64,
所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋
≥2＝32,
当且仅当a＝8时,等号成立,即矩形周长的最小值为32.
8.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为4 800 m3,深度为3 m.如果池底每1 m2的造价为150元,池壁每1 m2的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为 m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
160
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设水池底面一边的长为x m,
m,由题意可得水池总造价
y＝150×＋120×
＝240 000＋720(x>0),
则y＝720＋240 000
≥720×2＋240 000
＝720×2×40＋240 000＝297 600,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当且仅当x＝,
即x＝40时,y有最小值297 600,
＝40(m),
因此,要使水池总造价最低,则水池的底面周长为160 m.
9.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其余三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意得,y＝45x＋180
＝225x＋-360(x>2).
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由(1)知,y＝225x＋-360
≥2-360＝10 440.
当且仅当225x＝,即x＝24时,等号成立,
因此,当x＝24 m时,总费用最少,最少费用为10 440元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.经观测,某公路在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系:y＝(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量y最大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
y＝,
∵v＋≥2＝20,
∴y＝,
当且仅当v＝,即v＝10.
∴当汽车的平均速度v＝10/小时时,车流量y最大.
11.已知x>0,y>0,且xy＝10,则下列说法正确的是
A.当x＝y＝时,取得最小值
B.当x＝y＝时,取得最大值
C.当x＝2,y＝5时,取得最小值
D.当x＝2,y＝5时,取得最大值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵x>0,y>0,且xy＝10,
∴>0,>0,＝1,
∴≥2＝2＝2,
,即x＝2,y＝5时,等号成立,
∴当x＝2,y＝5时,,最小值为2.
12.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S＝求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a＝6,b＋c＝8,则此三角形面积的最大值为
A.3 B.8
C.4 D.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意得p＝7,S＝·＝3,
当且仅当7-b＝7-c,即b＝c＝4时,等号成立,
所以此三角形面积的最大值为3.
13.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站 km处.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设仓库到车站距离为x,每月土地费用为y1,每月货物的运输费用为y2,
由题意可设y1＝,y2＝k2x,
把x＝10,y1＝2与x＝10,y2＝8分别代入上式得k1＝20,k2＝0.8,
∴y1＝,y2＝0.8x,
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝2×4＝8,
当且仅当0.8x＝,即x＝5时等号成立.
故当仓库建在离车站5 km处时,两项费用之和最小.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB＝4,AD＝3,当BM＝_____时,矩形花坛AMPN的面积最小.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设BM＝x(x>0),
则由DC∥AM,
解得ND＝,
∴矩形AMPN的面积为
S＝(4＋x)＝24＋3x＋
≥24＋2＝48,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当且仅当3x＝,即x＝4时等号成立.
故当BM＝4时,矩形花坛AMPN的面积最小.
15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,你认为顾客购得的黄金
A.大于10 g B.大于等于10 g
C.小于10 g D.小于等于10 g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由于天平两臂不等长,
可设天平左臂长为a(a>0),右臂长为b(b>0),则a≠b,
再设先称得的黄金为x g,后称得的黄金为y g,
则bx＝5a,ay＝5b,
∴x＝,y＝,
∴x＋y＝＝5
≥5×2＝10,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
,即a＝b时等号成立,但a≠b,等号不成立,即x＋y>10,
因此,顾客购得的黄金大于10 g.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会,据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为20元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格.
(1)求每套丛书的利润y与售价x的函数关系,并求出每套丛书售价定为80元时,书商能获得的总利润是多少万元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵∴0
＝x--20(0
此时销量为10-0.1×80＝2(万套),
总利润为2×55＝110(万元).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)每套丛书售价定为多少元时,每套丛书的利润最大 并求出最大利润.
y＝x--20,
∵0
∴y＝-＋80
≤-2＋80＝60,
＝100-x,即x＝90元时,每套利润最大为60元.作业12 基本不等式的应用
(分值:100分)
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.设x,y>0且x＋2y＝40,则2xy的最大值是 ( )
A.400 B.100
C.40 D.20
2.已知a>0,b>0,ab＝1,且m＝b＋,n＝a＋,则m＋n的最小值是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为 ( )
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
4.如图所示,矩形ABCD是一块空地,它的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的 ( )
A.最小长度为8
B.最小长度为4
C.最大长度为8
D.最大长度为4
5.港珠澳大桥通车后,经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案:每次加200元的燃油,则下列说法正确的是 ( )
A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样 D.无法确定
6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平,购入了一辆豪华轿车投入营运,据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与营运年数x的关系为y＝-x2＋12x-25,则下列判断正确的是 ( )
A.车辆营运年数越多,收入越高
B.车辆在第6年时,总收入最高
C.车辆在前5年的平均收入最高
D.车辆每年都能盈利
7.(5分)矩形的长为a,宽为b,且面积为64,则矩形周长的最小值为 .
8.(5分)某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为4 800 m3,深度为3 m.如果池底每1 m2的造价为150元,池壁每1 m2的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为 m.
9.(10分)围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其余三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数;(4分)
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.(6分)
10.(12分)经观测,某公路在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系:y＝(v>0).在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量y最大
11.已知x>0,y>0,且xy＝10,则下列说法正确的是 ( )
A.当x＝y＝时,取得最小值
B.当x＝y＝时,取得最大值
C.当x＝2,y＝5时,取得最小值
D.当x＝2,y＝5时,取得最大值
12.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S＝求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a＝6,b＋c＝8,则此三角形面积的最大值为 ( )
A.3 B.8
C.4 D.9
13.(5分)某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站 km处.
14.(5分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB＝4,AD＝3,当BM＝ 时,矩形花坛AMPN的面积最小.
15.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客,你认为顾客购得的黄金 ( )
A.大于10 g B.大于等于10 g
C.小于10 g D.小于等于10 g
16.(12分)某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会,据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为20元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格.
(1)求每套丛书的利润y与售价x的函数关系,并求出每套丛书售价定为80元时,书商能获得的总利润是多少万元 (6分)
(2)每套丛书售价定为多少元时,每套丛书的利润最大 并求出最大利润.(6分)
答案精析
1.A 2.B 3.C 4.B 5.B
6.BC [由题意，y=-x2+12x-25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x=6，故B正确；=-x+12-=-+12≤-2+12=2，当且仅当x=5时，等号成立，故C正确；当x=1时，y=-14，故D错误.]
7.32 8.160
9.解 (1)由题意得，
y=45x+180
=225x+-360(x>2).
(2)由(1)知，y=225x+-360
≥2-360=10 440.
当且仅当225x=，即x=24时，等号成立，
因此，当x=24 m时，总费用最少，最少费用为10 440元.
10.解 y=
=，
∵v+≥2
=20，
∴y=≤
=，
当且仅当v=，
即v=10时等号成立.
∴当汽车的平均速度v=10千米/小时时，车流量y最大.
11.C 12.A
13.5
解析 设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，
由题意可设y1=，y2=k2x，
把x=10，y1=2与x=10，y2=8分别代入上式得k1=20，k2=0.8，
∴y1=，y2=0.8x，
费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2=2×4=8，
当且仅当0.8x=，即x=5时等号成立.
故当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小.
14.4
解析 设BM=x(x>0)，
则由DC∥AM得=，
解得ND=，
∴矩形AMPN的面积为
S=(4+x)=24+3x+
≥24+2=48，
当且仅当3x=，即x=4时等号成立.
故当BM=4时，矩形花坛AMPN的面积最小.
15.A [由于天平两臂不等长，
可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，
再设先称得的黄金为x g，后称得的黄金为y g，
则bx=5a，ay=5b，
∴x=，y=，
∴x+y=+=5
≥5×2=10，
当且仅当=，即a=b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x+y>10，
因此，顾客购得的黄金大于10 g.]
16.解 (1)∵
∴0
=x--20(0
y=80--20=55(元)，
此时销量为10-0.1×80=2(万套)，
总利润为2×55=110(万元).
(2)y=x--20，
∵0
∴y=-+80
≤-2+80=60，
当且仅当=100-x，即x=90元时，每套利润最大为60元.
