2024-2025学年福建省龙岩市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
3．（4分）射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
4．（4分）若方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）若点P在⊙O外，且，则⊙O的半径不可能为（ ）
A．4 B．3 C． D．
6．（4分）如图，△ABC的顶点在⊙O上，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝42°，则∠ABC的度数是（ ）
A．42° B．45° C．48° D．58°
7．（4分）二次函数y＝x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于点F，当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．83° B．84° C．85° D．86°
9．（4分）若a+b＝﹣2，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx+8＝0的根的是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝0
10．（4分）已知线段AB的端点坐标分别为A（a﹣1，1），B（2a+3，1），二次函数y＝x2﹣2ax﹣2a的图象与线段AB有且仅有一个公共点则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2或a＝﹣1 B．a≥﹣2
C．a＞0或a＝﹣1 D．a≤0
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则实数k的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数）
12．（4分）若方程x2﹣4x+m＝0的一个根是﹣1，则此方程的另一个根是 ．
13．（4分）某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x＝ 时才能使利润最大．
14．（4分）如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度．
15．（4分）李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据：
摸球的次数n 100 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250
摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25
根据表中数据估计袋中白球有 个．
16．（4分）运动场的每条跑道是由两条直道和两条弯道组成，其中每条弯道是半圆形，每条跑道宽1.2米．400米标准运动场是指最内圈跑道的长度为400米．不同规格的运动场都会将运动场西直道与弯道的交接处设为径赛终点线．如图所示，一个400米标准运动场，若跑道最内圈的弯道半径为36米，那么在第三道的400米起跑线处点C与终点线处点D形成的所对的圆心角度数是 ．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）解方程：
（1）4x2﹣9＝0
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
18．（9分）已知直线y＝x+4与双曲线相交于点A（﹣1，n），求反比例函数的解析式．
19．（9分）某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
20．（9分）已知抛物线y＝x2﹣3x+2m﹣3．
（1）当m＝2时，求抛物线与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线与x轴交于A，B两点，且AB＝1，求m的值．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上除A，B外的一点．
（1）如图1，作出的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，点D是的中点，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线．
22．（9分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，即在一次试验中．每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等．
（1）如图，A，B之间和C，D之间电流在一定时间段内能够正常通过的概率P（A，B）＝ ，P（C，D）＝ ．
（2）现有3个这样的电子元件，请你用这3个电子元件设计一个电路，使得电流在一定时间段内，能够正常通过电路两端口M，N的概率为，画出你设计的电路的示意图，并说明理由．
23．（9分）
图形变换
素材1 几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常用的图形变换，也是全等图形之间的常见位置关系．如图1，图中的两个三角形，其中一个三角形可以由另一个三角形平移得到．
素材2 平面几何中，平移、翻折、旋转也是我们解决几何问题的有力手段，可以把分散的线段、角等相对集中起来，进而使问题得以转化．
问题解决
任务1 如图2，已知△ABC≌△DEF，AB＝DF，△ABC通过平移、翻折、旋转中的两种变换可以与△DEF重合，这两种变换是 ．
任务2 如图3，平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B是x轴负半轴上动点，若AB＝AC，∠BAC＝45°，连接OC，求OC长的最小值． 解：将△AOC绕点A顺时针旋转45°， ∵AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴旋转后AC与AB重合，设点O的对应点为D，过点D作DE⊥OA于E， … （请你完成余下的解答过程）
任务3 如图，在正方形网格中有一个十字形图案（图中实线部分），把该图案先沿一条直线分割成两部分，然后把其中的一部分再沿着另一条直线分割成两部分，使所得的三部分图案通过适当的拼接能组成两个并列的全等的正方形，请在图中画出分割线及拼接后的图形．
24．（9分）已知点B（5，0），点C（4，3）都在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中点A是抛物线与x轴的交点，点D是抛物线的顶点，连接AD，CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠ACD的度数；
（3）点P是抛物线在x轴上方的一个动点，当∠PCA＝∠CAD时，求P点坐标．
25．（14分）如图，AB是⊙O的直径，点C是右边半圆上的动点，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F，BF与⊙O交于点E．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）当AD平分∠BAE时，求证：FA＝FD；
（3）点C运动过程中，直线CD总经过一个定点P，若AB＝4，当所对的圆心角为30°时，求△ACP的面积．
2024-2025学年福建省龙岩市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D A C A C B C
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
2．（4分）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
3．（4分）射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
【解答】解：射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是随机事件，
故选：C．
4．（4分）若方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：，
故选：D．
5．（4分）若点P在⊙O外，且，则⊙O的半径不可能为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【解答】解：根据点与圆的位置关系来判断圆半径的取值范围，
∵点P在⊙O外，∴OP大于半径，
∵，
∴⊙O的半径，
A．因为，，，所以，故4不满足，该选项符合题意；
B．因为，，，所以，故3满足，该选项不符合题意；
C．因为，，所以，故满足，该选项不符合题意；
D．因为，，所以，故满足，该选项不符合题意．
故选：A．
6．（4分）如图，△ABC的顶点在⊙O上，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝42°，则∠ABC的度数是（ ）
A．42° B．45° C．48° D．58°
【解答】解：∵∠DCA＝42°，
∴∠DCA＝∠DBA＝42°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝90°﹣42°＝48°，
故选：C．
7．（4分）二次函数y＝x2的图象与反比例函数的图象的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据二次函数和反比例函数的图象位置如图：
∵二次函数y＝x2的图象在一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴，
反比例函数的图象在一、三象限，故两个函数的交点只有一个，在第一象限．
故选：A．
8．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于点F，当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．83° B．84° C．85° D．86°
【解答】解：由题意可得：α＝∠BAD＝40°，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝70°，
∵∠BAC＝55°，
∴∠DAC＝15°，
∴∠AFE＝∠DAC+∠ADE＝70°+15°＝85°．
故选：C．
9．（4分）若a+b＝﹣2，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx+8＝0的根的是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝0
【解答】解：∵a+b＝﹣2，
∴b＝﹣2﹣a，
∵ax2+2bx+8＝0，
∴ax2﹣（4+2a）x+8＝0，
∴（ax﹣4）（x﹣2）＝0，
∴ax﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得：，
故选：B．
10．（4分）已知线段AB的端点坐标分别为A（a﹣1，1），B（2a+3，1），二次函数y＝x2﹣2ax﹣2a的图象与线段AB有且仅有一个公共点则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2或a＝﹣1 B．a≥﹣2
C．a＞0或a＝﹣1 D．a≤0
【解答】解：∵A（a﹣1，1），B（2a+3，1）可知AB在直线y＝1上，
由y＝x2﹣2ax﹣2a＝1，
∴x1＝﹣1，x2＝2a+1，
∴M（﹣1，1），N（2a+1，1），
∵M（﹣1，1），N（2a+1，1）中有且仅有一个点在线段AB上，分类讨论如下：
（一）当A（a﹣1，1）在B（2a+3，1）左边，a﹣1＜2a+3，a＞﹣4时
（1）若M，N重合（即为抛物线顶点），有2a+1＝﹣1，a＝﹣1，此时A（﹣2，1），B（1，1），点M（N）在线段AB上，a＝﹣1符合要求；
（2）若M在N的左边，即2a+1＞﹣1，a＞﹣1时
∵2a+1＜2a+3，
∴B在N的右边，
如图：
则有，，
∴a＞0．
（3）若M在N的右边，即2a+1＜﹣1，a＜﹣1时
此时，a﹣1＜﹣2＜﹣1，2a+1＜2a+3，A在M的左边，B在N的右边，
如图：
即M（﹣1，1），N（2a+1，1）都在线段AB上，不符合题意．
（二）当A（a﹣1，1）在B（2a+3，1）的右边或A与B重合时，2a+3≤a﹣1，a≤﹣4＜﹣1，
如图：
M（﹣1，1），N（2a+1，1）都不在线段AB上，不符合题意．
∴a的取值范围时a＞0或a＝﹣1．
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则实数k的值可以是 1（答案不唯一） ．（只需写出一个符合条件的实数）
【解答】解：由条件可知k＞0，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
12．（4分）若方程x2﹣4x+m＝0的一个根是﹣1，则此方程的另一个根是 5 ．
【解答】解：由题意可知：（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m＝0，解得m＝﹣5，
∴方程为x2﹣4x﹣5＝0，即（x+1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴此方程的另一个根是5，
故答案为：5．
13．（4分）某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x＝ 70 时才能使利润最大．
【解答】解：设获得的利润为w元，由题意可得，
w＝（x﹣40）（100﹣x）＝﹣（x﹣70）2+900，
∴当x＝70时，w取得最大值，
故答案为：70．
14．（4分）如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 60 度．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴正六边形的中心角是360°÷6＝60°，
故答案为：60．
15．（4分）李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据：
摸球的次数n 100 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250
摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25
根据表中数据估计袋中白球有 3 个．
【解答】解：设袋中白球有x个，
由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为0.25，
则，
解得x＝3，
经检验，x＝3是所列分式方程的解．
故答案为：3．
16．（4分）运动场的每条跑道是由两条直道和两条弯道组成，其中每条弯道是半圆形，每条跑道宽1.2米．400米标准运动场是指最内圈跑道的长度为400米．不同规格的运动场都会将运动场西直道与弯道的交接处设为径赛终点线．如图所示，一个400米标准运动场，若跑道最内圈的弯道半径为36米，那么在第三道的400米起跑线处点C与终点线处点D形成的所对的圆心角度数是 22.5° ．
【解答】解：由条件可知的半径为：36+1.2×2＝38.4米；
∵最内圈跑道的长度为400米，
∴两条直道的总长度为400﹣2×36π＝400﹣72π，
∴第三道的总长度为：400﹣72π+2×38.4π＝400+4.8π，
∴的长为：400+4.8π﹣400＝4.8π，
∴，
∴n＝22.5，即：所对的圆心角度数是22.5°；
故答案为：22.5°．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（9分）解方程：
（1）4x2﹣9＝0
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
【解答】解：（1）分解因式得：（2x+3）（2x﹣3）＝0，
解得：x1，x2；
（2）分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
18．（9分）已知直线y＝x+4与双曲线相交于点A（﹣1，n），求反比例函数的解析式．
【解答】解：由题意，由条件可知n＝﹣1+4＝3，
则点A的坐标为A（﹣1，3），
将点A（﹣1，3）代入反比例函数得：k＝﹣1×3＝﹣3，
所以反比例函数的解析式为．
19．（9分）某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x（1+x）＝121，
∴x＝10或x＝﹣12（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．
20．（9分）已知抛物线y＝x2﹣3x+2m﹣3．
（1）当m＝2时，求抛物线与y轴的交点坐标；
（2）若抛物线与x轴交于A，B两点，且AB＝1，求m的值．
【解答】解：（1）当m＝2时，则y＝x2﹣3x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线，
设A（a，0），B（b，0），
∴，整理得a+b＝3，
∵AB＝1，
∴|a﹣b|＝1，
∴a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1，
联立得：或，
解得：或，
把点（1，0）代入y＝x2﹣3x+2m﹣3中，得，
∴m的值为．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上除A，B外的一点．
（1）如图1，作出的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，点D是的中点，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线．
【解答】（1）解：如图1所示，连接AC，作∠CAB的平分线交⊙O于点D，点D即为所求作的的中点；
（2）证明：如图2，连接CO，DO，
∵，AB是⊙O的直径，
∴，
∴点D是的中点，
∴，
∴∠A＝∠BOD，
∴OD∥AE；
∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠DEA＝90°；
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
22．（9分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，即在一次试验中．每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等．
（1）如图，A，B之间和C，D之间电流在一定时间段内能够正常通过的概率P（A，B）＝ ，P（C，D）＝ ．
（2）现有3个这样的电子元件，请你用这3个电子元件设计一个电路，使得电流在一定时间段内，能够正常通过电路两端口M，N的概率为，画出你设计的电路的示意图，并说明理由．
【解答】解：（1）根据题意，某一个电子元件正常工作和不正常工作的概率都是，
则两个元件同时正常工作的概率为，两个元件同时不正常工作的概率为：，
所以A，B之间电流在一定时间段内能够正常通过的概率为，
所以C，D之间电流在一定时间段内不能正常通过的概率为，C，D之间电流在一定时间段内能够正常通过的概率为；
故答案为：，；
（2）设计的电路如下：
理由如下：
设三个电子元件分别为a，b，c，画树状图如下：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有8种，且这些结果出现的可能性相等，
其中电流能够正常通过电路两端口M，N的结果有5种，
∴．
23．（9分）
图形变换
素材1 几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常用的图形变换，也是全等图形之间的常见位置关系．如图1，图中的两个三角形，其中一个三角形可以由另一个三角形平移得到．
素材2 平面几何中，平移、翻折、旋转也是我们解决几何问题的有力手段，可以把分散的线段、角等相对集中起来，进而使问题得以转化．
问题解决
任务1 如图2，已知△ABC≌△DEF，AB＝DF，△ABC通过平移、翻折、旋转中的两种变换可以与△DEF重合，这两种变换是 翻折，平移 ．
任务2 如图3，平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B是x轴负半轴上动点，若AB＝AC，∠BAC＝45°，连接OC，求OC长的最小值． 解：将△AOC绕点A顺时针旋转45°， ∵AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴旋转后AC与AB重合，设点O的对应点为D，过点D作DE⊥OA于E， … （请你完成余下的解答过程）
任务3 如图，在正方形网格中有一个十字形图案（图中实线部分），把该图案先沿一条直线分割成两部分，然后把其中的一部分再沿着另一条直线分割成两部分，使所得的三部分图案通过适当的拼接能组成两个并列的全等的正方形，请在图中画出分割线及拼接后的图形．
【解答】解：任务一：△ABC通过平移、翻折可以与△DEF重合；
故答案为：翻折，平移；
任务二：
由旋转可知，
AD＝AO＝4，∠DAO＝45°，OC＝BD，
在Rt△ADE中，
，，
∴点D的坐标为，即点D是定点，
当DB⊥y轴时，DB最小，
∴，
即OC长的最小值为；
任务三：两个正方形ACGE和BFGC，如图所示，
．
24．（9分）已知点B（5，0），点C（4，3）都在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中点A是抛物线与x轴的交点，点D是抛物线的顶点，连接AD，CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠ACD的度数；
（3）点P是抛物线在x轴上方的一个动点，当∠PCA＝∠CAD时，求P点坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）延长DC交x轴于点E，过C作CF⊥x轴于F
则CF＝3，xF＝xC＝4，
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴D（3，4），
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣5）（x﹣1），
∴A（1，0），B（5，0），
设直线DC为y＝k（x﹣3）+4，
则k（4﹣3）+4＝3，得k＝﹣1，
∴直线CD为y＝﹣x+7，
∴E（7，0），
∴AF＝CF＝EF＝3，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACD＝∠CAE+∠AEC＝90°；
（3）设P（t，﹣t2+6t﹣5），则1＜t＜5且t≠4，连接PC，与AD交于点N，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
代入A（1，0），D（3，4）有，解得，
∴直线AD的解析式为y＝2x﹣2；
设直线PC的解析式为y＝k1x+b1，代入P（t，﹣t2+6t﹣5）（1＜t＜5），C（4，3），
有，
解得，
∴直线PC的解析式为y＝（2﹣t）x+4t﹣5；
∵点N是直线AD与直线PC的交点，
∴，
解得，即，
又∵∠PCA＝∠CAD，
∴NA＝NC，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为．
25．（14分）如图，AB是⊙O的直径，点C是右边半圆上的动点，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F，BF与⊙O交于点E．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）当AD平分∠BAE时，求证：FA＝FD；
（3）点C运动过程中，直线CD总经过一个定点P，若AB＝4，当所对的圆心角为30°时，求△ACP的面积．
【解答】（1）解：△ACD为等边三角形；理由如下：
∵将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴AB⊥AF，
∴∠FAE+∠BAE＝90°，
∴∠B＝∠FAE，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAE+∠DAE，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴FA＝FD；
（3）解：AB＝4，当所对的圆心角为30°时，如图2，延长CD交⊙O于点P，连接OP，AP，
由（1）知△ACD是等边三角形，
∴∠ACP＝60°，
∴∠AOP＝2∠ACP＝120°，
即直线CD总经过一个⊙O上定点P，
∵，
∴∠OPA＝∠OAP＝30°，
过点O作OM⊥AP于M，
则OMOP＝1，
在直角三角形OPM中，由勾股定理得：PM，
∴，
过点A作AN⊥AC交CP于点N，则∠CAN＝90°，
在△APC中，∠ACP＝60°，∠APC∠AOC＝15°，
∴∠CAP＝105°，∠PAN＝105°﹣90°＝15°，
∴∠APC＝∠PAN＝15°，
∴AN＝PN，∠ANC＝30°，
过点A作AH⊥CP于点H，设AC＝x，
在Rt△ACN中，CN＝2x，
由勾股定理得，
在Rt△ACH中，CHx，AH，
∴x，NH＝CN﹣CH，
∴PH＝PN+NH，
在Rt△APH中，由勾股定理得：PH2+AH2＝AP2，
∴，
化简得：，
∴x2，
∴S△ACPPC AH，
∴△ACP的面积为．
