2025年甘肃省单独考试招生文化考试
数学冲刺押题卷（四）
本试卷共三大题。全卷共4页。满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效。
一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）
在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分.
已知集合 （ ）
A. B. C. D.
2、已知，则下列不等式正确的是 （ ）
A. B. C. D.
3.若，则取最小值时x的值是 （ ）
A.6 B.4 C.0 D.0或4
4.函数 的定义域为 （ ）
A. B.
C. D.
5.“”是“直线与直线4mx+y-m=0相互垂直”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.两家夫妇各带一个小孩去游乐园玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序排法有 （ ）
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
7.已知点，，则线段AB的中点坐标为 （ ）
A. B. C. D.
8.已知向量，b=，若，则k= （ ）
A.2或6 B.6 C. D.
9.化简的结果是 （ ）
A.sin20° B. cos20° C.sin20° D.cos20°
下列函数的图像经过点（0，1）的是 （ ）
B.
C. D.
11.已知平面向量，则的值为 （ ）
A.1 B.5 C. D.
12.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ）
A.不增不减 B.增加9.5% C.减少9.5% D.减少7.84%
13.某商场准备了5份不同礼品全部放入4个不同彩蛋中，每个彩蛋至少有一份礼品的放法有 （ ）
A.480种 B.240种 C.180种 D.144种
14.若双曲线中，成等比数列，则定义该双曲线黄金双曲线，在黄金双曲线中，离心率e= （ ）
A. B. C. D.
15.设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
16.直线与圆的位置关系是 （ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交且过圆心
17.若椭圆的一个焦点是，则a的值是 （ ）
A.8 B. C.32 D.
18.函数的最大值和最小正周期分别是 （ ）
A. B. C. D.
19.已知实数x，y满足2x+y+5=0，那么的最小值为 （ ）
A.5 B.10 C. D.
20.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则离心率为 （ ）
A. B. C. D.
填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
已知的最小值为 .
22.设等差数列的前n项和为，若，则 .
23.等比数列中，已知，则数列的前8项和为 .
24.若的定义域为R，则a的取值范围为 .
25.现有5名学生排成一排，某学生不能排在最右侧的排法有 种.
26.已知动圆过顶点（2,0），且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
27.《九章算术》卷五《商功》记载了一道关于圆柱体体积的问题“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”意思是“有一个圆柱形土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，则它的体积是 立方尺.”（1丈=10尺，取π=3） .
三、解答题（本大题共8小题，共72分；解答应写出文字说明及演算步骤）
28.（本题满分7分）计算：
（本题满分9分）已知分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且
求角的大小；
若，求边c及三角形面积.
（本题满分8分）已知.
求函数的最大值和最小值;
求函数最小正周期.
（本题满分9分）已知圆C及直线，且直线被圆C截得的弦长为
求的值;
求过点M（3,5），且与圆C相切的直线方程.
（本题满分9分）如图所示，PC，AC=BC=2，PC=，，求：
二面角的大小;
三棱锥的体积.
（本题满分10分）已知椭圆C：，焦点在x轴上，且离心率.
求椭圆C的标准方程;
已知直线y=x+4与椭圆C交于M，N两点，且点F（4，0），连接MF，NF，求△MNF的周长和面积.
（本题满分10分）某商品进价为30元/件，此商品的一天销售量y（件）与销售单价x（元）存在一次函数关系，当单价为40元时，每天能销售30件，单价为45元时，每天能销售15件.
求y与x的函数关系式（销售单价必须不低于进价）;
求销售单价定为多少时，才能使每天获得的利润最大.
35.（本题满分10分）在直角边为2的等腰直角△ABC中，设△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，记正方形ADEF的面积为；再以同样的方法，设△FEC三边FE、EC、CF的中点分别为G、H、K，记正方形FGHK的面积为，，重复以上的过程，得到数列.
（1）写出，，和;
（2）证明数列是等比数列，并求出其前n项和.
2025年甘肃省单独考试招生文化考试
数学冲刺押题卷（四）解析
本试卷共三大题。全卷共4页。满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效。
一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）
在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分.
已知集合 （ B ）
A. B. C. D.
2、已知，则下列不等式正确的是 （ B ）
A. B. C. D.
3.若，则取最小值时x的值是 （ A ）
A.6 B.4 C.0 D.0或4
4.函数 的定义域为 （ C ）
A. B.
C. D.
5.“”是“直线与直线4mx+y-m=0相互垂直”的 （ C ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.两家夫妇各带一个小孩去游乐园玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序排法有 （ B ）
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
7.已知点，，则线段AB的中点坐标为 （ A ）
A. B. C. D.
8.已知向量，b=，若，则k= （ B ）
A.2或6 B.6 C. D.
9.化简的结果是 （ B ）
A.sin20° B. cos20° C.sin20° D.cos20°
下列函数的图像经过点（0，1）的是 （ A ）
B.
C. D.
11.已知平面向量，则的值为 （ B ）
A.1 B.5 C. D.
12.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ D ）
A.不增不减 B.增加9.5% C.减少9.5% D.减少7.84%
13.某商场准备了5份不同礼品全部放入4个不同彩蛋中，每个彩蛋至少有一份礼品的放法有 （ B ）
A.480种 B.240种 C.180种 D.144种
14.若双曲线中，成等比数列，则定义该双曲线黄金双曲线，在黄金双曲线中，离心率e= （ A ）
A. B. C. D.
15.设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ D ）
A. B.
C. D.
16.直线与圆的位置关系是 （ D ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交且过圆心
17.若椭圆的一个焦点是，则a的值是 （ D ）
A.8 B. C.32 D.
18.函数的最大值和最小正周期分别是 （ B ）
A. B. C. D.
19.已知实数x，y满足2x+y+5=0，那么的最小值为 （ A ）
A.5 B.10 C. D.
20.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则离心率为 （ D ）
A. B. C. D.
填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
已知的最小值为 .
22.设等差数列的前n项和为，若，则 45 .
23.等比数列中，已知，则数列的前8项和为 4 .
24.若的定义域为R，则a的取值范围为 (-1,3) .
25.现有5名学生排成一排，某学生不能排在最右侧的排法有 96 种.
26.已知动圆过顶点（2,0），且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为 =8x .
27.《九章算术》卷五《商功》记载了一道关于圆柱体体积的问题“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”意思是“有一个圆柱形土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，则它的体积是 2112 立方尺.”（1丈=10尺，取π=3） .
三、解答题（本大题共8小题，共72分；解答应写出文字说明及演算步骤）
28.（本题满分7分）计算：
解：原式=
（本题满分9分）已知分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且
求角的大小；
若，求边c及三角形面积.
解：（1）
即
（2）
（本题满分8分）已知.
求函数的最大值和最小值;
求函数最小正周期.
解：（1）
（2）
（本题满分9分）已知圆C及直线，且直线被圆C截得的弦长为
求的值;
求过点M（3,5），且与圆C相切的直线方程.
解：（1）圆心（，2），r=2
弦长
（2）设
（本题满分9分）如图所示，PC，AC=BC=2，PC=，，求：
二面角的大小;
三棱锥的体积.
解：（1）取AB中点O
连接OC，PO
的平面角
（2）
（本题满分10分）已知椭圆C：，焦点在x轴上，且离心率.
求椭圆C的标准方程;
已知直线y=x+4与椭圆C交于M，N两点，且点F（4，0），连接MF，NF，求△MNF的周长和面积.
解：（1）
（2）周长=4=20
（本题满分10分）某商品进价为30元/件，此商品的一天销售量y（件）与销售单价x（元）存在一次函数关系，当单价为40元时，每天能销售30件，单价为45元时，每天能销售15件.
求y与x的函数关系式（销售单价必须不低于进价）;
求销售单价定为多少时，才能使每天获得的利润最大.
解：（1）设
（2）利润
当x=40时
利润最大
35.（本题满分10分）在直角边为2的等腰直角△ABC中，设△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，记正方形ADEF的面积为；再以同样的方法，设△FEC三边FE、EC、CF的中点分别为G、H、K，记正方形FGHK的面积为，，重复以上的过程，得到数列.
（1）写出，，和;
（2）证明数列是等比数列，并求出其前n项和
解：（1）
（2）
的等比数列
