2024-2025学年江苏省南通市高二上学期1月期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴，轴上的截距分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，“”是“是递增数列”的 条件
A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分不必要
5.已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为( )
A. B. C. D.
6.已知点在抛物线上，为的焦点，，则( )
A. B. C. D.
7.已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数( )
A. B. C. D.
8.在等比数列中，，则( )
A. B. C. D. 无法确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设平面平面分别为的一个方向向量，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则所成角为
C. 若，则与所成角为
D. 若，则的夹角为
10.下列结论正确的是( )
A. 若是等差数列，则是等差数列
B. 若是等比数列，则是等比数列
C. 若是等差数列，则是等比数列
D. 若是等差数列，则是等比数列
11.在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是( )
A. 的通径长为
B. 线段的中点在定直线上
C. 直线的斜率之积为定值
D. 若，直线与的准线交于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆与圆的位置关系 ．
13.设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 ．
14.已知数列的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差不为成等比数列，．
求数列的通项公式；
记，数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴
求的周长；
设点在上，求的面积的最大值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面．
求点到平面的距离；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
记正整数的所有正因数的和为，如若，则称为“好数”．
判断是否为“好数”，并说明理由，
证明：不是“好数”；
设，求所有形如的“好数”．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”．
已知曲线．
判断是否为曲线的“优点”；
在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由；
给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点．
直线的斜率为定值；直线经过定点．
请在中任选一个填在横线上并作答，不必证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.相交
13.答案不唯一
14.
15.解：依题意得，且，化简得
解得；
，
则
16.解：
已知椭圆的右焦点为，因为，
所以，因为轴，把代入椭圆方程中，得到，
不妨设，因为关于原点对称，则，
所以，
由椭圆的对称性可知：，所以，
所以的周长为；
由得，
由，可得直线的方程为：，
当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时，
即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设，
联立，整理得：，
因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线，
则两平行线的距离，
故的面积的最大值．
17.解：过作于，因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，，所以，
又因为，所以为等边三角形，
取的中点，连接，则，即，
因为，所以，
因为底面，所以，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
所以点到平面的距离为；
由知，，，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，所以，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：对于，它的正因数有．
计算这些正因数的和，通过加法运算得到．
而，即，满足“好数”的定义，所以是“好数”．
求的正因数之和，的正因数为，这是一个首项，公比，项数的等比数列．
根据等比数列求和公式，可得．
而，因为，即，所以不是“好数”．
先求，因为，根据正因数的性质，等于的正因数和与的正因数和的乘积．
的正因数和为，
的正因数和为．
所以．
令，即，化简得．
当时，左边，
右边，等式成立．
当时，对展开得，通过分析指数函数的增长速度可知，此时左边大于右边，方程无解．
所以，那么形如的“好数”为，即形如的“好数”集合为．
19.解：由，直线斜率分别为，可知两直线关于轴对称，
结合双曲线对称性可知，关于轴对称，
故直线的斜率，即斜率为定值，
所以是曲线的“优点”；
是曲线的“优点”，原因如下：
设直线的方程为，令，
则直线的方程为，令，且．
则．
由，可知在双曲线的下支上，
设，
联立，得，
由题意或．
由和是方程的两不等根，则由韦达定理知，
解得；
同理，将换成，换成，可得．
又，
则直线的斜率
．
故是曲线的“优点”．
是曲线的“优点”，原因如下：
设直线的方程为，直线的方程为，
其中，，
作点关于轴的对称点，则．
由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上．
直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点．
联立，得，
由题意或，即且．
由上分析可知是方程的两根，
则由韦达定理知，，
即，，且，，
由直线的方程为，
令，得
，
故直线过定点，
所以是曲线的“优点”．
若满足条件或，
则是曲线的“优点”，且直线的斜率为定值．
当，即点在轴上时，直线的斜率为定值；
当，即点在双曲线上时，直线的斜率为定值；
若满足条件，即点在轴上且不为原点时，
则是曲线的“优点”，且直线经过定点，定点为．
理由如下：
若，即点在轴上，由对称性可知，直线的斜率为定值；
若，即点在双曲线上时，
设直线，
联立得，，
题意或．
，则，，
以代得，，，
；
若满足条件，即点在轴上时，，
设直线的方程为，直线的方程为，
其中，，
作点关于轴的对称点，则．
由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上．
直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点．
联立，得，
题意或，即且．
由上分析可知是方程的两根，
则由韦达定理知，，
即，，且，，
由直线的方程为，
令，得
．
故直线过定点．
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