2024-2025学年青海省海南州部分学校高二上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
2.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.直线被圆截得的弦长为( )
A. B. C. D.
4.过点且与抛物线只有个公共点的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5.如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，则( )
A. B. C. D.
6.椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
8.图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为( )
A. B. C. D.
10.已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是( )
A. 若是的中点，则
B. 的最小值为
C. 点到的两条渐近线的距离的乘积为
D. 若的中点坐标为，则直线的斜率为
11.如图，在四棱台中，上底面为边长为的正方形，下底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，平面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若点在平面内，且，则点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的渐近线方程为 ．
13.已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为 ；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线，圆．
若，求直线被圆所截得的弦长；
已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程．
16.本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点．
求的方程；
已知，且直线经过点，，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点，分别在侧棱，上，且．
求平面与平面夹角的余弦值．
已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面若存在，求出若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知双曲线的左顶点为，右焦点为，抛物线的焦点与重合，是与的一个公共点．
求与的标准方程；
过点的直线与交于，两点，若是的中点，求直线的斜率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：对于圆，
其圆心，半径，
时，，圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为；
直线变形得，
令，则
所以直线过定点，
当直线的斜率不存在时，其方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意；
当直线的斜率存在时，
设方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以直线方程为，即；
综上所述所求直线方程为或．
16.解：在四棱柱中，侧棱底面，平面，
则，
又，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
而，所以点到平面的距离．
由知，设平面的一个法向量为，
则，令，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由题可知，
所以，解得，所以的方程为．
设，，由题可知，，
依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为．
由整理得，
则，．
，，
因为，所以，
所以，，
解得，所以直线的方程为．
18.解：因为在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则
令，则，
易知是平面的一个法向量，
所以
，，
即平面与平面夹角的余弦值为．
由可得，，，
假设存在满足条件的点，设，
所以，
因为平面，
所以，
解得．
故当时，平面．
19.解：因为，所以，
解得，所以的标准方程为．
因为抛物线的焦点与重合，所以，．
又，解得
所以的标准方程为．
由知设直线的方程为，，．
因为是的中点，所以
联立，得，
则，，．
由解得，，
所以，解得，即，
经验证，此时满足，所以直线的斜率为．
第1页，共1页
