1.2.2 充分条件和必要条件
[学习目标] 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.
一、充分条件与必要条件
问题1 如何理解“绳锯木断”“水滴石穿” “木断”是否一定是因为“绳锯” “石穿”是否一定是因为“水滴”
问题2 观察下列几个命题,你能得到什么
(1)若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形;
(2)若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形;
(3)若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形;
(4)若四边形是平行四边形,则四边形的两组对边分别相等;
(5)若四边形是平行四边形,则四边形的一组对边平行且相等;
(6)若四边形是平行四边形,则四边形的两条对角线互相平分.
知识梳理
充分条件与必要条件
“若p,则q”成立 “若p,则q”不成立
推出关系 p q pq
条件关系 p叫作q的 条件 q叫作p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
例1 (1)下列所给的各组p,q中,p是否是q的充分条件
①在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB;
②已知x∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2)=0;
③已知x∈R,p:x>1,q:x>2.
(2)下列所给的各组p,q中,q是否是p的必要条件
①p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
②p:A B,q:A∩B=A;
③p:a>b,q:ac>bc.
反思感悟 充分、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立.
(2)也可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若B A,则甲是乙的必要条件.
跟踪训练1 指出下列各题中,p与q的关系.
(1)p:x>2且y>3,q:x+y>5;
(2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形.
二、充要条件
问题3 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0;
(4)若A∪B是空集,则A与B均是空集.
问题4 你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p,q的关系吗
知识梳理
如果既有p q,又有q p,就记作 ,即p既是q的充分条件,又是q的必要条件,此时我们称p是q的充分必要条件,简称 条件.换句话说,如果一个命题和它的 都成立,则此命题的条件与结论互为充分必要条件.
例2 下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)
(1)p:x=1,q:x-1=;
(2)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
(3)p:x+2≠y,q:(x+2)2≠y2;
(4)p:a是自然数;q:a是正数.
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法:即利用p q与q p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性.
跟踪训练2 下列各组p,q中,p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)
(1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;
(2)p:☉O内两条弦相等,q:☉O内两条弦所对的圆周角相等;
(3)p:A∩B= ,q:A与B之一为空集;
(4)p:a能被6整除,q:a能被3整除.
三、充分条件、必要条件、充要条件的证明
例3 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
反思感悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p q是证明充分性,推证q p是证明必要性.
(2)集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件.
跟踪训练3 求证:a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.(这里a,b,c是△ABC的三边边长).
四、充分条件、必要条件、充要条件的应用
例4 已知A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m},其中m>0,若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
延伸探究 若本例中“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件”改为“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
反思感悟 应用充分而不必要、必要而不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分而不必要条件、必要而不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练4 已知P={x|a-4
(1)充分条件、必要条件的概念及判断.
(2)充要条件的理解及判断.
(3)充分条件、必要条件、充要条件的证明.
(4)充分条件、必要条件、充要条件的应用.
2.方法归纳:等价转化法.
3.常见误区:条件与结论辨别不清;充分、必要条件不唯一;求参数范围时端点值的取舍.
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.“1
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是( )
A.x>4 B.x>0
C.x>2 D.x<2
4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 .
答案精析
问题1 “绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是电锯锯断，可以是直接掰断，也可以是因为“绳锯”；同样“水滴”可以导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种方式.正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”.
问题2 由上面的命题可知，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一.
知识梳理
充分 必要 充分 必要
例1 (1)解 ①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，
所以p是q的充分条件.
②由x=1 (x-1)(x-2)=0，
故p是q的充分条件.
③方法一 由x>1x>2，
所以p不是q的充分条件.
方法二 设集合A={x|x>1}，
B={x|x>2}，
所以B?A，所以p不是q的充分条件.
(2)解 ①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.
②因为p q，所以q是p的必要条件.
③因为pq，所以q不是p的必要条件.
跟踪训练1 解 (1)当x>2且y>3时，x+y>5成立，反之不一定，如x=0，y=6，
即p q，qp，
所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)当△ABC有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，反之成立，
即pq，且q p，
所以q是p的充分条件，p是q的必要条件.
问题3 不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
问题4 判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分而不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要而不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分又不必要条件.
知识梳理
p q 充要 逆命题
例2 解 (1)当x=1时，
x-1=成立；
当x-1=时，x=1或x=2.
∴p是q的充分而不必要条件.
(2)∵-1≤x≤5 x≥-1且x≤5，
∴p是q的充要条件.
(3)由q：(x+2)2≠y2，
得x+2≠y，且x+2≠-y，
又p：x+2≠y，
故p是q的必要而不充分条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，故pq；
又是正数，但不是自然数，
故qp.
故p是q的既不充分又不必要条件.
跟踪训练2 解 (1)充要条件；(2)必要而不充分条件；(3)必要而不充分条件；(4)充分而不必要条件.
例3 证明 必要性：由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴Δ=b2-4ac>0，且x1x2=<0，∴ac<0.
充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0，
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根.
跟踪训练3 证明 充分性：
由a2+b2+c2=ab+ac+bc，
得2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc，
整理得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，
所以a=b=c，即△ABC是等边三角形.
必要性：
由△ABC是等边三角形，得a=b=c，
所以a2+b2+c2=ab+ac+bc.
综上所述，a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件.
例4 解 由题意得{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为
{m|0
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
跟踪训练4 {a|-1≤a≤5}
随堂演练
1.B 2.A 3.A 4.m=-2(共70张PPT)
第1章
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1.2.2 充分条件和必要条件
1.理解充分条件、必要条件的概念.
2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.
学习目标
王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.”最后一句“攻破楼兰”与“返回家乡”是什么关系
导 语
一、充分条件与必要条件
二、充要条件
课时对点练
三、充分条件、必要条件、充要条件的证明
随堂演练
内容索引
四、充分条件、必要条件、充要条件的应用
充分条件与必要条件
一
提示 “绳锯”可以导致“木断”,使“木断”的方法有很多,可以是电锯锯断,可以是直接掰断,也可以是因为“绳锯”;同样“水滴”可以导致“石穿”,使“石穿”的方法也有很多,“水滴”只是其中的一种方式.正所谓“滴水能把石穿透,学习功到自然成”.
如何理解“绳锯木断”“水滴石穿” “木断”是否一定是因为“绳锯” “石穿”是否一定是因为“水滴”
问题1
观察下列几个命题,你能得到什么
(1)若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形;
(2)若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形;
(3)若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形;
(4)若四边形是平行四边形,则四边形的两组对边分别相等;
(5)若四边形是平行四边形,则四边形的一组对边平行且相等;
(6)若四边形是平行四边形,则四边形的两条对角线互相平分.
问题2
提示 由上面的命题可知,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件,即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件,即所获得的结论也不唯一.
“若p,则q”成立 “若p,则q”不成立
推出关系 p____q p q
条件关系 p叫作q的_____条件 q叫作p的_____条件 p不是q的_____条件
q不是p的_____条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
充分条件与必要条件
充分
必要
充分
必要
(1)p q,有方向,条件在前,结论在后.
(2)若p q,则p是q的充分条件或q是p的必要条件.
(3)改变说法,“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”;“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”.
注 意 点
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(1)下列所给的各组p,q中,p是否是q的充分条件
①在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>AB;
例 1
在△ABC中,由大角对大边知,∠B>∠C AC>AB,所以p是q的充分条件.
②已知x∈R,p:x＝1,q:(x-1)(x-2)＝0;
由x＝1 (x-1)(x-2)＝0,故p是q的充分条件.
③已知x∈R,p:x>1,q:x>2.
方法一 由x>1 x>2,所以p不是q的充分条件.
方法二 设集合A＝{x|x>1},B＝{x|x>2},
所以B A,所以p不是q的充分条件.
(2)下列所给的各组p,q中,q是否是p的必要条件
①p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
因为矩形的对角线相等,所以q是p的必要条件.
②p:A B,q:A∩B＝A;
因为p q,所以q是p的必要条件.
③p:a>b,q:ac>bc.
因为p q,所以q不是p的必要条件.
反
思
感
悟
(1)判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立.
(2)也可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若B A,则甲是乙的必要条件.
充分、必要条件的判断方法
指出下列各题中,p与q的关系.
(1)p:x>2且y>3,q:x＋y>5;
跟踪训练 1
当x>2且y>3时,x＋y>5成立,反之不一定,如x＝0,y＝6,
即p q,q p,
所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形.
当△ABC有两个角相等时为等腰三角形,不一定为正三角形,反之成立,
即p q,且q p,
所以q是p的充分条件,p是q的必要条件.
二
充要条件
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根,则ac<0;
(4)若A∪B是空集,则A与B均是空集.
问题3
提示 不难发现,上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题.
你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p,q的关系吗
问题4
提示 判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,则p是q的充分而不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要而不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分又不必要条件.
如果既有p q,又有q p,就记作______,即p既是q的充分条件,又是q的必要条件,此时我们称p是q的充分必要条件,简称_____条件.换句话说,如果一个命题和它的________都成立,则此命题的条件与结论互为充分必要条件.
p q
充要
逆命题
充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断条件是结论的什么条件.
注 意 点
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下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)
(1)p:x＝1,q:x-1＝;
例 2
当x＝1时,x-1＝;
当x-1＝,x＝1或x＝2.
∴p是q的充分而不必要条件.
(2)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
∵-1≤x≤5 x≥-1且x≤5,
∴p是q的充要条件.
(3)p:x＋2≠y,q:(x＋2)2≠y2;
由q:(x＋2)2≠y2,
得x＋2≠y,且x＋2≠-y,
又p:x＋2≠y,
故p是q的必要而不充分条件.
(4)p:a是自然数;q:a是正数.
0是自然数,但0不是正数,故p q;
,,
故q p.
故p是q的既不充分又不必要条件.
反
思
感
悟
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法:即利用p q与q p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性.
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
下列各组p,q中,p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)
(1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;
跟踪训练 2
充要条件;
(2)p:☉O内两条弦相等,q:☉O内两条弦所对的圆周角相等;
必要而不充分条件;
(3)p:A∩B＝ ,q:A与B之一为空集;
必要而不充分条件;
(4)p:a能被6整除,q:a能被3整除.
充分而不必要条件.
充分条件、必要条件、充要条件的证明
三
求证:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
例 3
必要性:由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根,
∴Δ＝b2-4ac>0,且x1x2＝<0,∴ac<0.
充分性:由ac<0可推出Δ＝b2-4ac>0及x1x2＝<0,
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根.
反
思
感
悟
(1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p q是证明充分性,推证q p是证明必要性.
(2)集合思想:记p:A＝{x|p(x)},q:B＝{x|q(x)},若A＝B,则p与q互为充要条件.
充要条件证明的两个思路
求证:a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc是△ABC是等边三角形的充要条件.(这里a,b,c是△ABC的三边边长).
跟踪训练 3
充分性:
由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc,
得2(a2＋b2＋c2)＝2ab＋2ac＋2bc,
整理得(a-b)2＋(a-c)2＋(b-c)2＝0,
所以a＝b＝c,即△ABC是等边三角形.
必要性:
由△ABC是等边三角形,得a＝b＝c,
所以a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上所述,a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc是△ABC是等边三角形的充要条件.
充分条件、必要条件、充要条件的应用
四
已知A＝{x|-2≤x≤10},B＝{x|1-m≤x≤1＋m},其中m>0,若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
例 4
由题意得{x|1-m≤x≤1＋m} {x|-2≤x≤10},
故有
解得m≤3.
又m>0,
所以实数m的取值范围为{m|0
由题意得A B.
解得m≥9,
即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
延伸探究
所以
反
思
感
悟
应用充分而不必要、必要而不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分而不必要条件、必要而不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
已知P＝{x|a-4
因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,
所以Q P,
-1≤a≤5.
{a|-1≤a≤5}
1.知识清单:
(1)充分条件、必要条件的概念及判断.
(2)充要条件的理解及判断.
(3)充分条件、必要条件、充要条件的证明.
(4)充分条件、必要条件、充要条件的应用.
2.方法归纳:等价转化法.
3.常见误区:条件与结论辨别不清;充分、必要条件不唯一;求参数范围时端点值的取舍.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
因为正方形的四条边相等,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要而不充分条件.
√
1
2
3
4
2.“1
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
设A＝{x|1
A.x>4 B.x>0
C.x>2 D.x<2
1
2
3
4
√
只有x>4 x>3,其他选项均不可推出x>3.
1
2
3
4
4.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 .
m＝-2
函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称,则-＝1,即m＝-2;反之,若m＝-2,
则y＝x2-2x＋1的图象关于直线x＝1对称.
课时对点练
六
1.下列选项中,p是q的充分条件的是
A.p:ab≠0,q:a≠0
B.p:a2＋b2≥0,q:a≥0且b≥0
C.p:x2>1,q:x>1
D.p:a>b,q:>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
根据充分条件的概念逐一判断.
只有ab≠0 a≠0.
2.“x2-4x-5＝0”是“x＝5”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
由x2-4x-5＝0得x＝5或x＝-1,
则当x＝5时,x2-4x-5＝0成立,
但当x2-4x-5＝0时,x＝5不一定成立.
3.已知集合A＝{3,m},B＝{1,3,5},则m＝1是A B的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若A B,则有m∈B且m≠3,所以m＝1或m＝5,故当m＝1时,有A B,而A B时,m不一定是1,故m＝1是A B的充分而不必要条件.
4.已知a,b是实数,则“a<0,且b<0”是“ab(a-b)>0”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
√
已知a,b是实数,则若a<0,且b<0,则不一定有ab(a-b)>0,比如当a
1
2
3
4
5
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5.(多选)下列选项中正确的是
A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件
B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件
C.A∪B＝A是B A的必要而不充分条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件
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6.(多选)使“x∈(-∞,0]∪(2,＋∞)”成立的一个充分而不必要条件是
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1,3,5} D.x≤0或x>2
√
从集合的角度出发,在选项中判断哪个是题干的真子集,只有B,C满足题意.
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由两三角形对应角相等 △ABC≌△A1B1C1;
反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1,∠B＝∠B1,∠C＝∠C1.
7.已知△ABC,△A1B1C1,则两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的___
___________条件.(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
必
要而不充分
8.已知A＝{x|x<-2或x>3},B＝{x|4x＋m<0},若x∈A是x∈B的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为 .
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集合A＝{x|x<-2或x>3},B＝{x|4x＋m<0}＝,
因为x∈A是x∈B的必要而不充分条件,
所以B是A的真子集,
所以-≤-2,解得m≥8.
{m|m≥8}
9.在①充分而不必要条件,②必要而不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由.
问题:已知集合A＝{x|0≤x≤4},集合B＝{x|1-a≤x≤1＋a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B的
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由题意知A＝{x|0≤x≤4},
若选①,则A是B的真子集,
所以1-a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得),
又a>0,解得a≥3,
所以存在a,a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②,则B是A的真子集,
所以1-a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得),
又a>0,解得0
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若选③,则A＝B,
所以1-a＝0且1＋a＝4,
又a>0,方程组无解,
所以不存在满足条件的a.
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10.求证:关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分性:因为a＋b＋c＝0,
所以c＝-a-b,代入方程ax2＋bx＋c＝0,
得ax2＋bx-a-b＝0,即(x-1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性:因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1,
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0,
所以a×12＋b×1＋c＝0,即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
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11.“函数y＝x2-2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
综合运用
函数y＝x2-2ax＋a的图象在x轴的上方,则对于方程x2-2ax＋a＝0,Δ＝4a2-4a<0,解得0
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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由图可知A是B的补集的真子集,则p是q的必要而不充分条件.
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13.设a,b∈R,集合A＝{a,a2＋1},B＝{b,b2＋1}.则“A＝B”是“a＝b”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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因为A＝{a,a2＋1},B＝{b,b2＋1},
当A＝B时,
a＝b;
＋1＝b,整理得(b2-b＋1)(b2＋b＋2)＝0,此方
程无解,
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综上,a＝b,即充分性成立;
当a＝b时,显然A＝B,即必要性成立,
所以“A＝B”是“a＝b”的充要条件.
14.已知p:x>m＋3或x
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{m|m≤-7或m≥1}
因为p是q的必要而不充分条件,
所以m＋3≤-4或m≥1,故m≤-7或m≥1.
15.已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x＋4＝0和x2-4mx＋4m2-4m-5＝0,两方程的根都是整数的充要条件为 .
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拓广探究
m＝1
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因为mx2-4x＋4＝0是一元二次方程,所以m≠0.
又另一方程为x2-4mx＋4m2-4m-5＝0,且两方程都要有实根,
所以
解得-≤m≤1,即-≤m<0或0
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所以
所以m为4的约数.
又-≤m<0或0
而当m＝1时,两方程的根均为整数,
所以两方程的根都是整数的充要条件是m＝1.
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16.求证:关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
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(1)充分性:当a＝1时,方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝-1,只有一个负实数根;
当a＝0时,方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根是x＝-;
当a<0时,方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4-4a>0,且x1x2＝<0,方程两根一正一负.
所以当a＝1或a≤0时,关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根.
(2)必要性:若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根,则
①当a＝0时,x＝-,符合题意.
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②当a≠0时,方程ax2＋2x＋1＝0有实根,Δ＝4-4a≥0,解得a≤1;
当a＝1时,方程的解为-1,符合题意;
当a<1且a≠0时,方程有两个不相等的实数根x1,x2,若方程只有一个负实数根,
则x1x2＝<0,即a<0.
所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时,a＝1或a≤0.
综上,关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.作业6 充分条件和必要条件
(分值:100分)
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.下列选项中,p是q的充分条件的是 ( )
A.p:ab≠0,q:a≠0
B.p:a2＋b2≥0,q:a≥0且b≥0
C.p:x2>1,q:x>1
D.p:a>b,q:>
2.“x2-4x-5＝0”是“x＝5”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.已知集合A＝{3,m},B＝{1,3,5},则m＝1是A B的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
4.已知a,b是实数,则“a<0,且b<0”是“ab(a-b)>0”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.(多选)下列选项中正确的是 ( )
A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件
B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件
C.A∪B＝A是B A的必要而不充分条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件
6.(多选)使“x∈(-∞,0]∪(2,＋∞)”成立的一个充分而不必要条件是 ( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1,3,5} D.x≤0或x>2
7.(5分)已知△ABC,△A1B1C1,则两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的 条件.(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
8.(5分)已知A＝{x|x<-2或x>3},B＝{x|4x＋m<0},若x∈A是x∈B的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为 .
9.(10分)在①充分而不必要条件,②必要而不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由.
问题:已知集合A＝{x|0≤x≤4},集合B＝{x|1-a≤x≤1＋a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B的
10.(11分)求证:关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
11.“函数y＝x2-2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
12.集合A,B之间的关系如图所示,p:a∈ UB,q:a∈A,则p是q的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
13.设a,b∈R,集合A＝{a,a2＋1},B＝{b,b2＋1}.则“A＝B”是“a＝b”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
14.(5分)已知p:x>m＋3或x
16.(12分)求证:关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
答案精析
1.A 2.B 3.A 4.D 5.AD
6.BC [从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意.]
7.必要而不充分 8.{m|m≥8}
9.解 由题意知A={x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1-a≤0且1+a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合
M={a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1-a≥0且1+a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0
M={a|0
所以1-a=0且1+a=4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
10.证明 充分性：因为a+b+c=0，
所以c=-a-b，
代入方程ax2+bx+c=0，
得ax2+bx-a-b=0，
即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0，
所以a×12+b×1+c=0，
即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
11.A 12.B 13.C
14.{m|m≤-7或m≥1}
解析 因为p是q的必要而不充分条件，
所以m+3≤-4或m≥1，
故m≤-7或m≥1.
15.m=1
解析 因为mx2-4x+4=0是一元二次方程，所以m≠0.
又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0，且两方程都要有实根，
所以
解得-≤m≤1，
即-≤m<0或0
所以
所以m为4的约数.
又-≤m<0或0
当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根不是整数；
而当m=1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1.
16.证明 (1)充分性：当a=1时，方程ax2+2x+1=0的实根是x1=x2=-1，只有一个负实数根；
当a=0时，方程ax2+2x+1=0只有一个负实根是x=-；
当a<0时，方程ax2+2x+1=0的判别式Δ=4-4a>0，且x1x2=<0，方程两根一正一负.
所以当a=1或a≤0时，关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根.
(2)必要性：若方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根，则
①当a=0时，x=-，符合题意.
②当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，Δ=4-4a≥0，解得a≤1；
当a=1时，方程的解为-1，符合题意；
当a<1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根，
则x1x2=<0，即a<0.
所以当关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根时，a=1或a≤0.
综上，关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实数根的充要条件是
a=1或a≤0.
