1.1.1 集 合
第1课时 集合与元素
[学习目标] 1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合的基本属性解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
一、元素与集合的概念
问题1 看下面的几个例子,观察并讨论它们有什么共同特点
(1)1~10之间的所有偶数;
(2)某中学今年入学的全体高一学生;
(3)所有正方形;
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点;
(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根;
(6)地球上的四大洋.
知识梳理
在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个 ,这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个 .
二、元素与集合之间的关系
问题2 如果体育老师说“男同学打篮球,女同学跳绳”,你去打篮球吗
知识梳理
1.元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 若S是一个集合, a属于S
不属于 若 (或 ) a不属于S
2.常用数集及记法
名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集
记法
例1 (1)(多选)已知不超过5的实数组成的集合为M,a=+,则( )
A.a∈M B.a+1 M
C.∈M D.a2 M
(2)下列结论中,不正确的是( )
A.若a∈N,则-a N B.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a3∈R
反思感悟 判断元素和集合关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
跟踪训练1 (1)用符号“∈”或“ ”填空:
0 N;-3 N;0.5 Z; Z; Q;π R.
(2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为 .
三、集合的基本属性
问题3 问题1中的几个例子都能构成集合吗 它们的元素分别是什么
知识梳理
1.互异性:同一集合中的元素是 .
2.确定性:集合中的元素是确定的.亦即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
3.无序性:集合中的元素 .
例2 (1)下列对象中不能构成一个集合的是( )
A.某校比较出名的教师
B.方程x-2=0的根
C.不小于3的自然数
D.所有锐角三角形
(2)设集合S中含有三个元素1,a-1,a2,若4∈S,则a= .
反思感悟 (1)判断一组对象能组成集合的条件
①能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素;
②任何两个对象都是不同的;
③对元素出现的顺序没有要求.
(2)已知集合求参数时,需检验集合中元素的互异性.
跟踪训练2 (1)下列说法中正确的是( )
A.与定点A,B等距离的点不能组成集合
B.由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5
C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形
D.高中学生中的游泳能手能组成集合
(2)设a,b是两个实数,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,若集合A与集合B的元素完全相同,则a+2b= .
四、集合的分类
问题4 20以内的素数组成集合S,S有多少个元素
问题5 锐角三角形组成集合M,M有多少个元素
知识梳理
1.有限集:元素个数 的集合叫有限集(或有穷集).
2.无限集:元素 的集合叫无限集(或无穷集).
3.空集: 的集合叫空集,记作 .空集也是有限集.
例3 下列集合哪些是空集 哪些是有限集 哪些是无限集
(1)一元二次方程x2-2x-3=0的全体实数根组成的集合;(2)满足条件x+y=1的所有实数组(x,y)组成的集合;
(3)满足条件x-1>0和2x+3<0的实数x组成的集合;
(4)我国的少数民族组成的集合.
反思感悟 判断集合是有限集、无限集或空集,关键是理解集合的含义,并求出元素,由元素的个数即可判断.
跟踪训练3 若由一元二次方程x2-ax+a+3=0的实数根组成的集合是空集,求实数a的取值范围.
1.知识清单:
(1)元素与集合的概念.
(2)元素与集合的关系.
(3)集合的基本属性.
(4)常用数集的记法.
(5)集合的分类.
2.方法归纳:直接法、推理法.
3.常见误区:自然数集中容易遗忘0这个元素.集合中忽略互异性的判断.
1.(多选)下列对象能构成集合的有( )
A.接近于1的所有正整数
B.小于0的实数
C.(2 024,1)与(1,2 024)
D.未来世界的高科技产品
2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是( )
A.∈M B.0 M
C.1∈M D.-∈M
3.设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A.(用符号“∈”或“ ”填空)
4.已知集合A中含有两个元素1,a,则实数a的取值范围是 ;若a2∈A,则a= .
答案精析
问题1 以上例子中指的都是“所有的”，即把某种研究对象放在一起，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等.
知识梳理
集合或集 元素
问题2 打篮球的人可以组成一个集合，男生是该集合的元素，女生不是该集合的元素，所以是男生就去打篮球，是女生就不去打篮球.
知识梳理
1.a是S的一个元素 a∈S a不是集合S的元素 a S a S，aS
2.N Z Q R
例1 (1)ACD (2)A
跟踪训练1 (1)∈ ∈ ∈
(2)-4
知识梳理
1.互不相同的
3.没有顺序
例2 (1)A
(2)-2或5
跟踪训练2 (1)C (2)1
问题4 20以内有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个素数，所以集合S有8个元素.
问题5 锐角三角形有无数个，所以集合M有无数个元素.
知识梳理
1.有限
2.无限多
3.没有元素
例3 解 (3)是空集.(1)(4)是有限集.(2)是无限集.
跟踪训练3 解 依题意，一元二次方程x2-ax+a+3=0无实根，
则Δ=a2-4(a+3)<0，
即a2-4a-12<0，解得-2
1.BC 2.D 3.∈ ∈
4.a≠1 0或-1(共61张PPT)
第1课时
第1章
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集合与元素
1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合的基本属性解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.
2.识记常见数集的表示符号.
学习目标
问一下同学们,大家最喜欢上什么课 (嗯,有同学说体育课)在体育课上,体育老师常说的一句话就是“集合”,这个时候,同学们从四面八方集合到一起,而这个集合是一个动词,在我们数学课上,也有一个名词“集合”,比如在小学和初中,我们学习过自然数的集合,同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等,为了进一步了解集合的有关知识,请同学们观察下面的几个例子.
导 语
一、元素与集合的概念
二、元素与集合之间的关系
课时对点练
三、集合的基本属性
随堂演练
内容索引
四、集合的分类
元素与集合的概念
一
提示 以上例子中指的都是“所有的”,即把某种研究对象放在一起,研究对象可以是数、点、代数式,也可以是现实生活中各种各样的事物或人等.
看下面的几个例子,观察并讨论它们有什么共同特点
(1)1~10之间的所有偶数;
(2)某中学今年入学的全体高一学生;
(3)所有正方形;
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点;
(5)方程x2-3x＋2＝0的所有实数根;
(6)地球上的四大洋.
问题1
在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个____
_____,这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个_____.
集合
或集
元素
二
元素与集合之间的关系
提示 打篮球的人可以组成一个集合,男生是该集合的元素,女生不是该集合的元素,所以是男生就去打篮球,是女生就不去打篮球.
如果体育老师说“男同学打篮球,女同学跳绳”,你去打篮球吗
问题2
关系 概念 记法 读法
属于 若S是一个集合,_______________ ______ a属于S
不属于 若__________________ _____(或________) a不属于S
1.元素与集合之间的关系
a是S的一个元素
a∈S
a不是集合S的元素
a S
a S,aS
2.常用数集及记法
名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ ____ ____ ____
N
Z
Q
R
(1)元素与集合之间是属于或不属于关系,注意符号的书写.
(2)通常用R＋表示全体正实数组成的集合;类似的有R-,Z＋,
N＋,Q-,….
(3)0属于自然数集.
注 意 点
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(1)(多选)已知不超过5的实数组成的集合为M,a＝,则
A.a∈M B.a＋1 M
C.∈M D.a2 M
例 1
√
√
√
∵a＝<2＋2＝4<5,
∴a∈M,a＋1<4＋1＝5,
∴a＋1∈M,
∵-<5,
∴∈M,
∵a2＝()2＝5＋2>5,
∴a2 M.
(2)下列结论中,不正确的是
A.若a∈N,则-a N
B.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q
D.若a∈R,则a3∈R
√
对于A,当a＝0时,显然不成立.
反
思
感
悟
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
判断元素和集合关系的方法
(1)用符号“∈”或“ ”填空:
0 N;-3 N;0.5 Z; Z; Q;π R.
(2)已知集合A中元素x满足2x＋a>0,a∈R,若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为 .
跟踪训练 1
∈
∈
∈
-4
-4
三
提示 (1)都能构成集合.
(2)①2,4,6,8,10;
②该中学今年入学的每一位高一学生;
③正方形;
④到直线l的距离等于定长d的点;
⑤1,2;
⑥太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋.
问题1中的几个例子都能构成集合吗 它们的元素分别是什么
问题3
1.互异性:同一集合中的元素是___________.
2.确定性:集合中的元素是确定的.亦即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
3.无序性:集合中的元素__________.
互不相同的
没有顺序
集合中的元素必须确定,不能是模棱两可的,任何两个元素都不能相同,且与顺序无关.
注 意 点
<<<
(1)下列对象中不能构成一个集合的是
A.某校比较出名的教师
B.方程x-2＝0的根
C.不小于3的自然数
D.所有锐角三角形
例 2
√
对于A,比较出名的标准不清,故不能构成集合;
对于B,x-2＝0 x＝2,方程的根确定,可以构成集合;
对于C,不小于3的自然数可以构成集合;
对于D,所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定,可以构成集合.
(2)设集合S中含有三个元素1,a-1,a2,若4∈S,则a＝ .
∵4∈S,则有
①a-1＝4,∴a＝5,此时a2＝25,符合题意;
②a2＝4,∴a＝±2.
当a＝2时,a-1＝1,
∴a-1与1相同,不符合题意,
当a＝-2时,a-1＝-3,符合题意.
综上有a＝-2或5.
-2或5
反
思
感
悟
(1)判断一组对象能组成集合的条件
①能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素;
②任何两个对象都是不同的;
③对元素出现的顺序没有要求.
(2)已知集合求参数时,需检验集合中元素的互异性.
(1)下列说法中正确的是
A.与定点A,B等距离的点不能组成集合
B.由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5
C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可
能是等腰三角形
D.高中学生中的游泳能手能组成集合
跟踪训练 2
√
A不正确,与定点A,B等距离的点在AB的垂直平分线上,能组成集合;
B不正确,由“title”中的字母组成的集合元素有t,i,l,e,共4个;
C正确,一个集合中有三个元素a,b,c,故a,b,c互异,故不可能构成等腰三角形;
D不正确,游泳能手没有确定的标准,故不能组成集合.
(2)设a,b是两个实数,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a＋b三个元素,若集合A与集合B的元素完全相同,则a＋2b＝ .
由题意知a＋b＝0,＝-1,所以b＝1,a＝-1,所以a＋2b＝1.
1
集合的分类
四
提示 20以内有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个素数,所以集合S有8个元素.
20以内的素数组成集合S,S有多少个元素
问题4
提示 锐角三角形有无数个,所以集合M有无数个元素.
锐角三角形组成集合M,M有多少个元素
问题5
1.有限集:元素个数_____的集合叫有限集(或有穷集).
2.无限集:元素_______的集合叫无限集(或无穷集).
3.空集:__________的集合叫空集,记作____.空集也是有限集.
有限
无限多
没有元素
下列集合哪些是空集 哪些是有限集 哪些是无限集
(1)一元二次方程x2-2x-3＝0的全体实数根组成的集合;
(2)满足条件x＋y＝1的所有实数组(x,y)组成的集合;
(3)满足条件x-1>0和2x＋3<0的实数x组成的集合;
(4)我国的少数民族组成的集合.
例 3
(3)是空集.
(1)(4)是有限集.
(2)是无限集.
反
思
感
悟
判断集合是有限集、无限集或空集,关键是理解集合的含义,并求出元素,由元素的个数即可判断.
若由一元二次方程x2-ax＋a＋3＝0的实数根组成的集合是空集,求实数a的取值范围.
跟踪训练 3
依题意,一元二次方程x2-ax＋a＋3＝0无实根,则Δ＝a2-4(a＋3)<0,
即a2-4a-12<0,解得-2
(1)元素与集合的概念.
(2)元素与集合的关系.
(3)集合的基本属性.
(4)常用数集的记法.
(5)集合的分类.
2.方法归纳:直接法、推理法.
3.常见误区:自然数集中容易遗忘0这个元素.集合中忽略互异性的判断.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.(多选)下列对象能构成集合的有
A.接近于1的所有正整数 B.小于0的实数
C.(2 024,1)与(1,2 024) D.未来世界的高科技产品
√
A中接近于1的所有正整数标准不明确,故不能组成集合;
B中小于0的实数是一个明确的标准,能组成集合;
C中(2 024,1)与(1,2 024)是两个不同的点,是确定的,能组成集合;
D中未来世界的高科技产品标准不明确,不能组成一个集合.
√
1
2
3
4
2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是
A.∈M B.0 M
C.1∈M D.-∈M
√
>1,故A错;
-2<0<1,故B错;
1 M,故C错;
-2<-<1,故D正确.
3.设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A.(用符号“∈”或“ ”填空)
1
2
3
4
∈
∈
1
2
3
4
4.已知集合A中含有两个元素1,a,则实数a的取值范围是 ;若a2∈A,则a＝ .
a≠1
0或-1
∵A中元素不能相同,∴a≠1,
若a2∈A,∴a2＝1或a2＝a,
解得a＝-1或1或0,又a≠1,故a＝0或-1.
课时对点练
六
1.(多选)下列集合是有限集的是
A.不超过π的正整数构成的集合
B.平方后等于自身的数构成的集合
C.高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合
D.所有小于2的整数构成的集合
1
2
3
4
5
6
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16
基础巩固
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于A,不超过π的正整数为1,2,3,构成的集合为有限集;
对于B,平方后等于自身的数为0,1,构成的集合为有限集;
对于C,高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合为有限集;
对于D,所有小于2的整数构成的集合为无限集.
2.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系中正确的是
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
1
2
3
4
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16
√
本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x＝0时,3-2x＝3>0,所以0 M;当x＝2时,3-2x＝-1<0,所以2∈M.
3.下列各组中,集合P与Q表示同一个集合的是
A.P是由元素1,,π组成的集合,Q是由元素π,1,|-|组成的集合
B.P是由π组成的集合,Q是由3.141 59组成的集合
C.P是由2,3组成的集合,Q是由有序数对(2,3)组成的集合
D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数组成的集合,Q是方程x2＝1的解集
√
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16
由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.
4.已知集合M是方程x2-x＋m＝0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是
A.1∈M B.0∈M
C.-1∈M D.-2∈M
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16
√
由2∈M知2为方程x2-x＋m＝0的一个解,
所以22-2＋m＝0,解得m＝-2.
所以方程为x2-x-2＝0,解得x1＝-1,x2＝2.
故方程的另一根为-1,即-1∈M.
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5.(多选)集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为
A.2 B.-2
C.4 D.0
√
若a＝2,则6-2＝4∈A;
若a＝4,则6-4＝2∈A;若a＝6,则6-6＝0 A.
√
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16
6.(多选)下列说法中错误的有
A.集合N中最小的数是1 B.若-a Z,则a∈Z
C.所有的正实数组成集合R＋ D.由很小的数可组成集合A
√
√
集合N中最小的数是0,A错误;
Z表示整数集,若-a Z,则a Z,B错误;
所有的正实数组成集合R＋,C正确;
很小的数没有确定性,不可组成集合,D错误.
√
1
2
3
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5
6
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16
依题意,P中的三个元素为3,4,5,
所以a＝6.
7.已知集合P中元素x满足:x∈N且2
8.以方程x2-5x＋6＝0和方程x2-x-2＝0的根为元素组成的集合中共有___个元素.
1
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3
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16
方程x2-5x＋6＝0的根是2,3,方程x2-x-2＝0的根是-1,2.根据集合中元素的互异性知,以这两个方程的根为元素组成的集合中共有3个元素.
3
9.判断下列元素的全体是否能组成集合,并说明理由:
(1)到∠AOB两边等距离的点;
1
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16
到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上,故元素是明确的,可以组成集合.
(2)高中学生中的灌篮高手.
1
2
3
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16
对于灌篮高手,概念模糊,无法明确界定,故不能组成集合.
1
2
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16
10.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
根据集合中元素的互异性,
即x≠0且x≠3且x≠-1.
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(2)若-2∈A,求实数x的值.
因为x2-2x＝(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,
所以x＝-2.
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16
11.集合A的元素y满足y＝x2＋1,集合B的元素(x,y)满足y＝x2＋1(A,B中x∈R,
y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是
A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B
√
综合运用
集合A中的元素为y,是数集,
又y＝x2＋1≥1,故2∈A;集合B中的元素为点(x,y),且满足y＝x2＋1,经验证,(3,10)∈B.
12.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为
A.-8 B.-16
C.8 D.16
1
2
3
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15
16
√
集合A☉B中有2,-4,-1三个元素,故所有元素之积为8.
1
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11
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13
14
15
16
13.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是
A.1 B.-2
C.-1 D.2
√
由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,
解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2.
√
√
14.已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则M中元素个数为 .
1
2
3
4
5
6
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15
16
针对x,y,z中,三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论,此时代数式的值分别为4,0,0,-4,所以M中元素个数为3.
3
15.已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合,且集合A与集合B是同一个集合,则a＝ ;b＝ .
1
2
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拓广探究
-3
因为集合A与集合B是同一个集合,且1∈A,2∈A,
所以1∈B,2∈B,即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根.
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16.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0).求证:
(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
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由题意可知,
若a∈A,∈A,
因为2∈A,＝-1∈A.
因为-1∈A,∈A.
∈A,＝2∈A.
所以A中另外两个元素为-1,.
所以若2∈A,则A中必还有另外两个元素.
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(2)集合A不可能是单元素集.
若A为单元素集,则a＝,
即a2-a＋1＝0,方程无实数解.
所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.第2课时 表示集合的方法
[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.3.能正确使用区间表示数集.
一、用列举法表示集合
问题1 用A表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用的哪种方法表示的集合 你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗
知识梳理
列举法:把集合中的元素 出来,这种表示法叫作列举法.常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字,相邻的名字用逗号分隔.
例1 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有正整数组成的集合;
(2)方程x2+x=0的所有实数根组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
(4)由所有正整数组成的集合.
反思感悟 用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)用大括号括起来.
跟踪训练1 用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;
(2)小于8的质数组成的集合B;
(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C;
(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
二、用描述法表示集合
问题2 你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗
问题3 仿照上面的例子以及阅读课本,你能表示奇数集吗
知识梳理
把集合中元素 ,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合,这种表示法叫作描述法.一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性,若集合用一句话描述起来不方便,则通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式,再画一条竖线,然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件.
例2 用描述法表示下列集合:
(1)不等式2x-3<1的解集组成的集合A;
(2)被3除余2的正整数组成的集合B;
(3)C={2,4,6,8,10};
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
反思感悟 (1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型,一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
(2)若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
跟踪训练2 选择适当方法表示下列集合:
(1)由小于8的所有自然数组成的集合A;
(2)自然数的平方组成的集合B;
(3)方程组的解组成的集合C;
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D.
三、用区间表示集合
知识梳理
1.设a,b为两个实数,且a
{x|a
{x|a
2.实数集R可以用区间表示为 ,符号∞读作“无穷大”或“无穷”,-∞和+∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”).{x|x≥a}用区间表示为 ,{x|x
①{x|-2≤x-1<5}= ;
②{x|3-x≤3x}= ;
③{t|t
反思感悟 (1)用区间表示集合时,集合所包含的数是某部分连续的数,而不是孤立的数.
(2)端点值能取时用中括号,表示闭区间;端点值不能取时,用小括号,表示开区间.
跟踪训练3 (多选)若满足不等式5-x≥3且x-2<2x-1的实数x组成的集合A,则集合A为( )
A.{x|-1
四、集合表示方法的综合应用
例4 已知集合A={x|ax2+2x+1=0},若A中只有一个元素,求a的值.
延伸探究
1.在本例条件下,若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
2.在本例条件下,是否存在实数a,使集合A与集合{1}相等 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
反思感悟 根据已知的集合求参数的注意点
(1)集合中元素的个数即为方程的不等实根的个数.
(2)解方程ax2+bx+c=0时注意对a的讨论.
跟踪训练4 已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},当A={2}时,求集合B.
1.知识清单:
(1)用列举法表示集合.
(2)用描述法表示集合.
(3)用区间表示集合.
2.方法归纳:分类讨论.
3.常见误区:列举法与描述法的乱用,涉及x2的系数不确定时,忽略讨论方程是一次方程还是二次方程.
1.集合{x∈N+|x-2≤1}用列举法表示为( )
A.{0,1,2,3} B.{1,2,3}
C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4}
2.对集合用描述法来表示,其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列说法中正确的是( )
A.0与{0}表示同一个集合
B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}
D.集合{x|4
(1){x|2
答案精析
问题1 ①这是用自然语言法表示的集合；②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出.
知识梳理
一一列举
例1 解 (1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2+x=0的所有实数根组成的集合为B，那么B={-1，0}.
(3)将x=0代入y=2x+1，得y=1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
(4)正整数有1，2，3，4，…，故由所有正整数组成的集合为{1，2，3，4，…}.
跟踪训练1 解 (1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，
所以A={0，2，4，6，8，10}.
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B={2，3，5，7}.
(3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1，，
所以C=.
(4)由得
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1，4)，
所以D={(1，4)}.
问题2 不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}.
问题3 {x∈Z|x=2k+1，k∈Z}.
知识梳理
共有的
例2 解 (1)不等式2x-3<1的解集组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x-3<1，则A={x|2x-3<1}，
即A={x|x<2}.
(2)设被3除余2的数为x，则x=3n+2，n∈Z.但元素为正整数，故x=3n+2，n∈N.所以被3除余2的正整数组成的集合B={x|x=3n+2，n∈N}.
(3)设偶数为x，则x=2n，n∈Z.但元素是2，4，6，8，10，所以x=2n，n≤5，n∈N+.
所以C={x|x=2n，n≤5，n∈N+}.
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点组成的集合为D={(x，y)|x<0，y>0}.
跟踪训练2 解 (1)列举法
A={0，1，2，3，4，5，6，7}，
描述法A={x∈N|x<8}.
(2)描述法B={x|x=n2，n∈N}.
(3)列举法C={(2，1)}，
描述法C=.
(4)描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}.
知识梳理
1.(a，b) [a，b] (a，b] [a，b)
左端点 右端点
2.(-∞，+∞) [a，+∞) (-∞，b)
例3 (1)①[-1，6) ②
③(-∞，a)
(2)(-∞，4)
跟踪训练3 AC
例4 解 当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=-，符合题意；
当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，
当Δ=4-4a=0，即a=1时，原方程的解为x=-1，符合题意.
故当A中只有一个元素时，a的值为0或1.
延伸探究
1.解 A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时，由例题可知，a=0或a=1；
当A中没有元素时，Δ=4-4a<0，且a≠0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a=0或a≥1}.
2.解 ∵A={1}，∴1∈A，
∴a+2+1=0，即a=-3.
又当a=-3时，由-3x2+2x+1=0，
得x=-或x=1，
即方程ax2+2x+1=0有两个实数根-和1，
此时A=，与A={1}矛盾.
故不存在实数a，使A={1}.
跟踪训练4 解 因为A={x|x2+px+q=x}={2}，
所以方程x2+px+q=x有两个相等实数根x1=x2=2，
由根与系数的关系得
所以
所以B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3}={x|x2-6x+5=0}={1，5}.
随堂演练
1.B 2.D 3.B
4.(1)(2，4] (2){x|x≥-3}(共70张PPT)
第2课时
第1章
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表示集合的方法
1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.
2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.
3.能正确使用区间表示数集.
学习目标
语言是人与人之间相互联系的一种方式.同样的祝福有着不同的表示方式,例如,我们中文说“祝你生日快乐”,英文为“Happy birthday to you”等等,那么对于一个集合,会有哪些不同的表示方法呢 让我们一同进入今天的探究之旅.
导 语
一、用列举法表示集合
二、用描述法表示集合
课时对点练
三、用区间表示集合
随堂演练
内容索引
四、集合表示方法的综合应用
用列举法表示集合
一
提示 ①这是用自然语言法表示的集合;
②我们可以把所有男生的名字写出来,或者把所有男生的学号一一写出.
用A表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用的哪种方法表示的集合 你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗
问题1
列举法:把集合中的元素__________出来,这种表示法叫作列举法.常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字,相邻的名字用逗号分隔.
一一列举
(1)元素间用“,”隔开.
(2)这里集合的“{ }”已包含所有的意思,比如{整数},即代表整数集Z,而不能用{全体整数},即不能出现“全体”“所有”等字眼.
注 意 点
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用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有正整数组成的集合;
例 1
设小于10的所有正整数组成的集合为A,那么A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合;
设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B,那么B＝{-1,0}.
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合;
将x＝0代入y＝2x＋1,得y＝1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.
(4)由所有正整数组成的集合.
正整数有1,2,3,4,…,故由所有正整数组成的集合为{1,2,3,4,…}.
反
思
感
悟
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)用大括号括起来.
用列举法表示集合的3个步骤
用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;
跟踪训练 1
不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,
所以A＝{0,2,4,6,8,10}.
(2)小于8的质数组成的集合B;
小于8的质数有2,3,5,7,
所以B＝{2,3,5,7}.
(3)方程2x2-x-3＝0的实数根组成的集合C;
方程2x2-x-3＝0的实数根为-1,,
所以C＝.
(4)一次函数y＝x＋3与y＝-2x＋6的图象的交点组成的集合D.
所以一次函数y＝x＋3与y＝-2x＋6的图象的交点为(1,4),所以D＝{(1,4)}.
二
用描述法表示集合
提示 不等式x-7<3的解集是x<10,因为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即x是实数,且x<10,把解集表示为{x∈R|x<10}.
你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗
问题2
提示 {x∈Z|x＝2k＋1,k∈Z}.
仿照上面的例子以及阅读课本,你能表示奇数集吗
问题3
把集合中元素_______,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合,这种表示法叫作描述法.一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性,若集合用一句话描述起来不方便,则通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式,再画一条竖线,然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件.
共有的
(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的.
(4)所有描述的内容都要写在大括号内,如“{x∈Z|x＝2m},m∈N＋”不符合要求,应将“m∈N＋”写进“{ }”中,即{x∈Z|x＝2m,m∈N＋}.
(5)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}.
注 意 点
<<<
用描述法表示下列集合:
(1)不等式2x-3<1的解集组成的集合A;
例 2
不等式2x-3<1的解集组成的集合为A,则集合A中的元素是数,设代表元素为x,则x满足2x-3<1,则A＝{x|2x-3<1},即A＝{x|x<2}.
(2)被3除余2的正整数组成的集合B;
设被3除余2的数为x,则x＝3n＋2,n∈Z.但元素为正整数,故x＝3n＋2,n∈N.所以被3除余2的正整数组成的集合B＝{x|x＝3n＋2,n∈N}.
(3)C＝{2,4,6,8,10};
设偶数为x,则x＝2n,n∈Z.但元素是2,4,6,8,10,所以x＝2n,n≤5,n∈N＋.
所以C＝{x|x＝2n,n≤5,n∈N＋}.
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,
y>0,故第二象限内的点组成的集合为D＝{(x,y)|x<0,y>0}.
反
思
感
悟
(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型,一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
(2)若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
选择适当方法表示下列集合:
(1)由小于8的所有自然数组成的集合A;
跟踪训练 2
列举法A＝{0,1,2,3,4,5,6,7},
描述法A＝{x∈N|x<8}.
(2)自然数的平方组成的集合B;
描述法B＝{x|x＝n2,n∈N}.
(3)方程组的解组成的集合C;
列举法C＝{(2,1)},
(4)二次函数y＝x2＋2x-10的图象上所有的点组成的集合D.
描述法D＝{(x,y)|y＝x2＋2x-10}.
描述法C＝.
用区间表示集合
三
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a
{x|a
[a,b]
(a,b]
[a,b)
实数a,b分别叫作上述区间的_______和_______.
左端点
右端点
2.实数集R可以用区间表示为_________,符号∞读作“无穷大”或“无穷”,-∞和＋∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”).{x|x≥a}用区间表示为_______,{x|x
[a,＋∞)
(-∞,b)
(1)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示,并不是所有数集都能用区间表示.如{1,2,3}就不能用区间表示.
(2)区间的左端点必须小于右端点.
(3)有时我们将b-a称为区间(a,b)或[a,b]的长度.
(4)用“-∞”或“＋∞”作为区间端点时,需用开区间符号.
注 意 点
<<<
(1)用区间表示下列集合:
①{x|-2≤x-1<5}＝ ;
例 3
-2≤x-1<5,解得-1≤x<6,
∴{x|-2≤x-1<5}＝[-1,6).
[-1,6)
②{x|3-x≤3x}＝ ;
∵3-x≤3x,∴x≥,
∴{x|3-x≤3x}＝.
③{t|t
(2)已知区间(2a-1,7],则实数a的取值范围是 .(用区间表示)
依题意2a-1<7,∴a<4,
∴实数a的取值范围是(-∞,4).
(-∞,4)
反
思
感
悟
(1)用区间表示集合时,集合所包含的数是某部分连续的数,而不是孤立的数.
(2)端点值能取时用中括号,表示闭区间;端点值不能取时,用小括号,表示开区间.
(多选)若满足不等式5-x≥3且x-2<2x-1的实数x组成的集合A,则集合A为
A.{x|-1
跟踪训练 3
√
√
∵5-x≥3,∴x≤2,
又∵x-2<2x-1,∴x>-1,
∴满足5-x≥3且x-2<2x-1的实数x满足-1
四
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0},若A中只有一个元素,求a的值.
例 4
当a＝0时,原方程变为2x＋1＝0,此时x＝-,符合题意;
当a≠0时,方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程,
当Δ＝4-4a＝0,即a＝1时,原方程的解为x＝-1,符合题意.
故当A中只有一个元素时,a的值为0或1.
1.在本例条件下,若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时,由例题可知,a＝0或a＝1;
当A中没有元素时,Δ＝4-4a<0,且a≠0,即a>1.
故当A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}.
延伸探究
2.在本例条件下,是否存在实数a,使集合A与集合{1}相等 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
∵A＝{1},∴1∈A,
∴a＋2＋1＝0,即a＝-3.
又当a＝-3时,由-3x2＋2x＋1＝0,
得x＝-x＝1,
即方程ax2＋2x＋1＝0有两个实数根-1,
此时A＝,与A＝{1}矛盾.
故不存在实数a,使A＝{1}.
反
思
感
悟
(1)集合中元素的个数即为方程的不等实根的个数.
(2)解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对a的讨论.
根据已知的集合求参数的注意点
已知A＝{x|x2＋px＋q＝x},B＝{x|(x-1)2＋p(x-1)＋q＝x＋3},当A＝{2}时,求集合B.
跟踪训练 4
因为A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2},
所以方程x2＋px＋q＝x有两个相等实数根x1＝x2＝2,
所以B＝{x|(x-1)2＋p(x-1)＋q＝x＋3}＝{x|x2-6x＋5＝0}＝{1,5}.
1.知识清单:
(1)用列举法表示集合.
(2)用描述法表示集合.
(3)用区间表示集合.
2.方法归纳:分类讨论.
3.常见误区:列举法与描述法的乱用,涉及x2的系数不确定时,忽略讨论方程是一次方程还是二次方程.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.集合{x∈N＋|x-2≤1}用列举法表示为
A.{0,1,2,3} B.{1,2,3}
C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4}
√
因为x-2≤1,x∈N＋,所以x≤3,x∈N＋,从而x＝1,2,3.
1
2
3
4
2.对集合用描述法来表示,其中正确的是
A.
B.
C.
D.
√
A,B中x可以表示负数,C.
3.下列说法中正确的是
A.0与{0}表示同一个集合
B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
C.方程(x-1)2(x-2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}
D.集合{x|4
2
3
4
√
“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合,A错误;
根据集合中元素的无序性可知B正确;
根据集合中元素的互异性可知C错误;
D不能用列举法表示,原因是集合中有无数个元素,不能一一列举,D错误.
1
2
3
4
4.用区间或集合表示下列数集:
(1){x|2
(2,4]
{x|x≥-3}
课时对点练
六
1.把集合{x|x2-4x-5＝0}用列举法表示为
A.{x＝-1,x＝5} B.{x|x＝-1,或x＝5}
C.{x2-4x-5＝0} D.{-1,5}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
根据题意,解x2-4x-5＝0可得x＝-1或x＝5,用列举法表示为{-1,5}.
2.区间(0,2]等于
A.{0,2} B.{(0,2]}
C.{x|0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.(多选)已知集合A＝{x∈N|x<6},则下列关系式成立的是
A.0∈A B.1.5 A
C.-1 A D.6∈A
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5},
∴6 A,故D不成立,其余都成立.
√
√
4.下列集合中表示同一个集合的是
A.M＝{(3,2)},N＝{(2,3)}
B.M＝{2,3},N＝{3,2}
C.M＝{(x,y)|x＋y＝1},N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{2,3},N＝{(2,3)}
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选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集,集合N是由点(2,3)组成的点集,故集合M与N不是同一个集合;
选项C中的集合M是由一次函数y＝1-x图象上的所有点组成的集合,集合N是由一次函数y＝1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合,即N＝{y|x＋y＝1}＝R,故集合M与N不是同一个集合;
选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N不是同一个集合;
对于选项B,由集合中元素的无序性,可知M,N表示同一个集合.
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5.若1∈{x＋2,x2},则实数x的值为
A.-1 B.1
C.1或-1 D.1或3
√
由1∈{x＋2,x2},可得x2＝1(x＋2＝1时,由元素的互异性排除),则x＝±1.当x＝1时,x＋2＝3,满足要求;当x＝-1时,-1＋2＝1,不满足元素的互异性,∴x＝1.
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6.已知集合A＝{-1,0,1,2},集合B＝{y|y＝x2-2x,x∈A},则集合B等于
A.{-1,0} B.{-1,2}
C.{0,1,2} D.{-1,0,3}
√
由题意知,当x＝-1时,y＝x2-2x＝3,
当x＝0时,y＝x2-2x＝0,
当x＝1时,y＝x2-2x＝-1,
当x＝2时,y＝x2-2x＝0,
所以B＝{y|y＝x2-2x,x∈A}＝{-1,0,3}.
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集合中的元素满足x＝2m-3,m∈N＋,m<5,
则m可取值为1,2,3,4,
则满足条件的x值为-1,1,3,5.
则集合用列举法表示为{-1,1,3,5}.
7.集合{x|x＝2m-3,m∈N＋,m<5},用列举法表示为 .
{-1,1,3,5}
8.已知区间A＝[1-a,2a＋2],则实数a的取值范围为 .(用区间表示)
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依题意1-a<2a＋2,解得a>-,
∴实数a.
9.选择适当方法表示下列集合:
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解构成的集合;
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{0,-1}.
(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合;
{x|x＝2n＋1,且x<1 000,n∈N}.
(3)不等式x-2>6的解构成的集合;
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{x|x>8}.
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合;
{1,2,3,4,5,6}.
(5)方程组的解(x,y)构成的集合.
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,
解集用列举法表示为{(2,-1)}.
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10.下列三个集合:
①A＝{x|y＝x2＋1};
②B＝{y|y＝x2＋1};
③C＝{(x,y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合
它们是互不相同的集合.
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(2)它们各自的含义分别是什么
集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x,且x∈R;
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y,满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1.
集合C＝{(x,y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x,y),是抛物线y＝x2＋1上的点.
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11.将集合M＝{(x,y)|y＝-x2＋8,x∈N,y∈N}用列举法表示,正确的是
A.{0,1,2} B.{4,7,8}
C.(0,8),(1,7),(2,4) D.{(0,8),(1,7),(2,4)}
√
综合运用
集合M为点集,
由y＝-x2＋8,x∈N,y∈N,
可知当x＝0时,y＝8;当x＝1时,y＝7;
当x＝2时,y＝4,其它的自然数x,都使y N,
故M＝{(0,8),(1,7),(2,4)}.
12.已知集合A＝{x|x＝4k,k∈Z},B＝{x|x＝4m＋1,m∈Z},C＝|x|x＝4n＋2,
n∈Z},D＝{x|x＝4t＋3,t∈Z},若a∈B,b∈C,则下列说法正确的是
A.a＋b∈A B.a＋b∈B
C.a＋b∈C D.a＋b∈D
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√
因为a∈B,b∈C,
则由题意可设a＝4m＋1,b＝4n＋2,其中m∈Z,n∈Z,
则a＋b＝4(m＋n)＋3,且m＋n∈Z,
故a＋b∈D.
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13.若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素,则实数k的值为 .
集合A中只有一个元素,即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根.当k＝0时,方程为一元一次方程,只有一个根;当k≠0时,方程为一元二次方程,若只有一个根,则Δ＝16-16k＝0,即k＝1.所以实数k的值为0或1.
0或1
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A＝{-1,1,2} (填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三
个元素的可倒数集 .
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由于2A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,∈A.若集合中有三个元素,则必有一个元素a＝,即a＝±1,
,.
不是
(答案不唯一)
15.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n＝m＋n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n＝mn,则在此定义下,集合M＝{(a,b)|a※b＝16}中的元素个数是
A.18 B.17
C.16 D.15
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拓广探究
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因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,
16×1＝16,集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M中的元素共有17个.
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16.已知集合A＝,B＝,试问集合A与B有几个相同的元素 并写出由这些相同元素组成的集合.
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对于集合A,因为x∈N,∈N,
所以当x＝1时,＝1;
当x＝7时,＝3;
当x＝9时,＝9.
所以A＝{1,7,9},B＝{1,3,9}.
所以集合A与B有2个相同的元素,集合A,B的相同元素组成的集合为{1,9}.作业1 集合与元素
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共24分
1.(多选)下列集合是有限集的是 ( )
A.不超过π的正整数构成的集合
B.平方后等于自身的数构成的集合
C.高一(2)班中体重在55 kg以上的同学构成的集合
D.所有小于2的整数构成的集合
2.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系中正确的是 ( )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
3.下列各组中,集合P与Q表示同一个集合的是 ( )
A.P是由元素1,,π组成的集合,Q是由元素π,1,|-|组成的集合
B.P是由π组成的集合,Q是由3.141 59组成的集合
C.P是由2,3组成的集合,Q是由有序数对(2,3)组成的集合
D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数组成的集合,Q是方程x2＝1的解集
4.已知集合M是方程x2-x＋m＝0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是 ( )
A.1∈M B.0∈M
C.-1∈M D.-2∈M
5.(多选)集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为 ( )
A.2 B.-2
C.4 D.0
6.(多选)下列说法中错误的有 ( )
A.集合N中最小的数是1
B.若-a Z,则a∈Z
C.所有的正实数组成集合R＋
D.由很小的数可组成集合A
7.(5分)已知集合P中元素x满足:x∈N且2
9.(10分)判断下列元素的全体是否能组成集合,并说明理由:
(1)到∠AOB两边等距离的点;(5分)
(2)高中学生中的灌篮高手.(5分)
10.(10分)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;(5分)
(2)若-2∈A,求实数x的值.(5分)
11.集合A的元素y满足y＝x2＋1,集合B的元素(x,y)满足y＝x2＋1(A,B中x∈R,y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 ( )
A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B
12.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为 ( )
A.-8 B.-16
C.8 D.16
13.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是 ( )
A.1 B.-2
C.-1 D.2
14.(5分)已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则M中元素个数为 .
15.(5分)已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合,且集合A与集合B是同一个集合,则a＝ ;b＝ .
16.(11分)设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0).求证:
(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;(6分)
(2)集合A不可能是单元素集.(5分)
答案精析
1.ABC 2.B 3.A 4.C 5.AC
6.ABD [集合N中最小的数是0，A错误；Z表示整数集，若-a Z，则a Z，B错误；所有的正实数组成集合R+，C正确；很小的数没有确定性，不可组成集合，D错误.]
7.6 8.3
9.解 (1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合.
(2)对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合.
10.解 (1)根据集合中元素的互异性，
可知
即x≠0且x≠3且x≠-1.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1，且-2∈A，
所以x=-2.
11.C 12.C 13.ABD
14.3
解析 针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，所以M中元素个数为3.
15.-3 2
解析 因为集合A与集合B是同一个集合，且1∈A，2∈A，
所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2+ax+b=0的两个实数根.
所以解得
16.证明 (1)由题意可知，
若a∈A，则∈A，
因为2∈A，所以=-1∈A.
因为-1∈A，所以=∈A.
因为∈A，所以=2∈A.
所以A中另外两个元素为-1，.
所以若2∈A，则A中必还有另外两个元素.
(2)若A为单元素集，则a=，
即a2-a+1=0，方程无实数解.
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集.作业2 表示集合的方法
(分值:100分)
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.把集合{x|x2-4x-5＝0}用列举法表示为 ( )
A.{x＝-1,x＝5} B.{x|x＝-1,或x＝5}
C.{x2-4x-5＝0} D.{-1,5}
2.区间(0,2]等于 ( )
A.{0,2} B.{(0,2]}
C.{x|0
A.0∈A B.1.5 A
C.-1 A D.6∈A
4.下列集合中表示同一个集合的是 ( )
A.M＝{(3,2)},N＝{(2,3)}
B.M＝{2,3},N＝{3,2}
C.M＝{(x,y)|x＋y＝1},N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{2,3},N＝{(2,3)}
5.若1∈{x＋2,x2},则实数x的值为 ( )
A.-1 B.1
C.1或-1 D.1或3
6.已知集合A＝{-1,0,1,2},集合B＝{y|y＝x2-2x,x∈A},则集合B等于 ( )
A.{-1,0} B.{-1,2}
C.{0,1,2} D.{-1,0,3}
7.(5分)集合{x|x＝2m-3,m∈N＋,m<5},用列举法表示为 .
8.(5分)已知区间A＝[1-a,2a＋2],则实数a的取值范围为 .(用区间表示)
9.(10分)选择适当方法表示下列集合:
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解构成的集合;(2分)
(2)在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合;(2分)
(3)不等式x-2>6的解构成的集合;(2分)
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合;(2分)
(5)方程组的解(x,y)构成的集合.(2分)
10.(12分)下列三个集合:
①A＝{x|y＝x2＋1};
②B＝{y|y＝x2＋1};
③C＝{(x,y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合 (5分)
(2)它们各自的含义分别是什么 (7分)
11.将集合M＝{(x,y)|y＝-x2＋8,x∈N,y∈N}用列举法表示,正确的是 ( )
A.{0,1,2} B.{4,7,8}
C.(0,8),(1,7),(2,4) D.{(0,8),(1,7),(2,4)}
12.已知集合A＝{x|x＝4k,k∈Z},B＝{x|x＝4m＋1,m∈Z},C＝|x|x＝4n＋2,n∈Z},D＝{x|x＝4t＋3,t∈Z},若a∈B,b∈C,则下列说法正确的是 ( )
A.a＋b∈A B.a＋b∈B
C.a＋b∈C D.a＋b∈D
13.(5分)若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素,则实数k的值为 .
14.(5分)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A＝{-1,1,2} (填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集 .
15.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n＝m＋n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n＝mn,则在此定义下,集合M＝{(a,b)|a※b＝16}中的元素个数是 ( )
A.18 B.17
C.16 D.15
16.(12分)已知集合A＝,B＝,试问集合A与B有几个相同的元素 并写出由这些相同元素组成的集合.
答案精析
1.D 2.C 3.ABC 4.B 5.B
6.D [由题意知，当x=-1时，
y=x2-2x=3，
当x=0时，y=x2-2x=0，
当x=1时，y=x2-2x=-1，
当x=2时，y=x2-2x=0，
所以B={y|y=x2-2x，x∈A}={-1，0，3}.]
7.{-1，1，3，5} 8.
9.解 (1){0，-1}.
(2){x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
(5)解集用描述法表示为
，
解集用列举法表示为{(2，-1)}.
10.解 (1)它们是互不相同的集合.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x，且x∈R；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y，满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1.
集合C={(x，y)|y=x2+1}的代表元素是(x，y)，是抛物线y=x2+1上的点.
11.D 12.D 13.0或1
14.不是 (答案不唯一)
解析 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，则必有一个元素a=，
即a=±1，故可取的集合有
，等.
15.B [因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，9+7=16，10+6=16，11+5=16，12+4=16，13+3=16，14+2=16，15+1=16，1×16=16，16×1=16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个.]
16.解 对于集合A，因为x∈N，∈N，
所以当x=1时，=1；
当x=7时，=3；
当x=9时，=9.
所以A={1，7，9}，B={1，3，9}.
所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}.
