广东省广州市执信中学2025届高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.记等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙等人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为( )
A. B. C. D.
4.如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为( )
A. B. C. D.
5.将函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若，则正数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为( )
A. B. C. D.
7.设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方体中，，，，，，是平面上的动点，且满足的周长为，则面积的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量服从正态分布，且，则
B. 一组数据的第百分位数为
C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
D. 若决定系数越小，则两个变量的相关程度越强
10.已知函数，的定义域均为，且，，则下列选项一定正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称
11.椭圆与双曲线有共同的左焦点和右焦点，与离心率分别为，，它们在第一象限的交点为为坐标原点，圆是的内切圆，过点且与直线垂直的直线与交于，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C.
D. 过右焦点分别作直线，的垂线，垂足分别为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知展开式中各项的系数和为，则展开式中含项的系数为 ．
14.已知函数，曲线在，两点不重合处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值
若，边上的两条中线，相交于点，且，求的正切值．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
若的导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
证明：平面；
设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，过的直线与交于，两点，的周长为．
求的标准方程
若，记线段的中点为．
(ⅰ)求的坐标
(ⅱ)过的动直线与交于，两点，，的中点分别是和，求面积的最大值．
19.本小题分
若数列满足，则称为“螺旋递增数列”．
设数列是“螺旋递增数列”，且，求和；
已知数列满足：，判断数列是不是“螺旋递增数列”，若是，请证明；若不是，请说明理由；
设数列是“螺旋递增数列”，且，记数列的前项和为问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意，，
可得，
即，
因为，
所以，
而 ，
所以，
整理得，
因为中，，
所以，
又，所以；
因为是边的中线，
所以，
则，
不妨设，则，
所以，
即，解得，或舍，
所以，
在中，，
即，
解得，即，
所以，在中，，
又易知，是重心，所以，
所以．
16.解：由题意得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，得；令，得．
故所求三角形的面积为．
由得，
设，则，
当时，单调递增，没有最小值．
当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
则．
因为是增函数，所以，即．
又，所以，得，即的取值范围为．
17.解：如图，在平面内过点作直线，
平面，平面，，，
以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
为的中点，，
，，，
，即，
又平面，平面，，
平面．
设，即
则，
，，
设平面的一个法向量，
则，令，则
即，
设直线与平面所成角为，
则，
令，
当时，取最小值，即，
即当时，取得最大值，，
18.解：由椭圆的定义可得的周长为，
所以，所以，
离心率，
解得，所以，
所以椭圆的标准方程为；
由可得点坐标，
易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点，
由，可得，
直线斜率不存在时，
在椭圆方程中令，得，
不妨设，，
所以，所以不成立；
直线斜率存在时，
设直线的斜率为，则其方程为，
设，，
由方程组
消去得，
则有，，
所以有
，
所以，
当时，，，
所以点的坐标是，
同理当时，点的坐标是，
综上所述，点的坐标是或；
根据对称性面积最大值与点所在象限无关，
不妨设点的坐标是，
此时直线的方程可化为，
，
设点到直线的距离为，
因为为的中点，为的中点，
所以可得
，
直线斜率不存在时，点坐标为，
此时点到直线的距离，
直线斜率存在时，设直线方程为，，，
由方程组
消去得，
则有，
，
所以点坐标为，
所以可得，
令，，令，
当时，即，此时直线与重合，面积为，
当，即时，则有，
从而当，即时，取得最大值，
此时，所以，
所以面积最大值为．
19.解：是以为首项，以为公比的等比数列，
．
数列是“螺旋递增数列”，；
数列是“螺旋递增数列”，证明如下：
因为，则，所以，
，则
所以数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，则．
数列的偶数项是以为首项，为公比的等比数列，则．
所以，故数列是“螺旋递增数列”．
是以为首项，以为公差的等差数列，
，又数列是“螺旋递增数列”，
故，
．
当时，
又恒成立，恒成立，．
当时，
又恒成立，恒成立，
综上，存在满足条件的实数，其取值范围是．
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