3.2.2 双曲线的几何性质
课标要求 1.了解双曲线的简单几何性质. 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等. 3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.
一、双曲线的简单几何性质
1.思考 椭圆中长轴长大于短轴长，双曲线中实轴长一定大于虚轴长吗？
2.填空
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性 质 图形
焦点 ______________ ______________
焦距 2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴 ______________
对称中心 ______________
顶点 ___________，___________ ___________，___________
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈___________
渐近线 y＝±x y＝±x
温馨提醒 (1)双曲线与它的渐近线逐渐接近，但永不相交.
(2)利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是x＝±a，y＝±b(或x＝±b，y＝±a)围成的矩形的对角线所在直线，它决定了双曲线的形状.
(3)为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程±＝0.
3.做一做 双曲线－＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
二、等轴双曲线
1.思考 双曲线x2－y2＝1的实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程是什么？
2.填空 (1)实轴和虚轴________的双曲线叫作等轴双曲线.
(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝________；
②等轴双曲线的渐近线方程为y＝__________，它们互相________.
3.做一做 (多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
题型一 双曲线的几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
迁移 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
思维升华 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
题型二 根据几何性质求双曲线的标准方程
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
思维升华 双曲线方程的求解方法
(1)根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程.
(2)以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论.
训练2 根据下列条件分别求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2).
题型三 求双曲线的离心率
例3 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A.4＋2 B.－1 C. D.＋1
思维升华 求双曲线离心率的三种方法：
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解.
(2)若已知a，b，可直接利用e＝求解.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
训练3 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________.
题型四 直线与双曲线的综合问题
例4 已知双曲线的渐近线方程 为y＝±2x，且过点(－3，4).
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求弦AB的长.
思维升华 (1)判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线的交点时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一个解时有一个公共点；两个解时有两个公共点，相交.
(2)涉及弦长问题，应联立直线与双曲线的方程 ，并设法消去未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程 ，由韦达定理得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，代入到弦长公式
(AB＝或AB＝·，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线与双曲线的两交点，k为直线的斜率)即可.
训练4 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问 A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
[课堂小结]
1.牢记双曲线的9个性质
2.掌握3种方法
(1)求双曲线方程的方法.
(2)求离心率的方法.
(3)公式法求弦长.
3.注意2个易错点
(1)忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错.
(2)混淆双曲线与椭圆的离心率的范围而致误.
3.2.2 双曲线的几何性质
知识探究
一、1.提示 实轴长不一定大于虚轴长.
2.F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) x轴，y轴 原点 A1(－a，0) A2(a，0) A1(0，－a) A2(0，a) 2a 2b a b (1，＋∞)
3.B [由双曲线方程知a＝4，b＝3，
∴c＝＝5，e＝＝.]
二、1.提示 2；2；e＝；y＝±x.
2.(1)等长 (2)① ②±x 垂直
3.ACD [易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；
由a＝b＝1得c＝，因此以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，选项B错误；
不妨设F1(－，0)，则F1到双曲线的一条渐近线的距离
d＝＝1，选项C正确；由·＝0得，PF1⊥PF2，
因此点P在圆x2＋y2＝2上，
由得y2＝，∴|y|＝，
因此，S△PF1F2＝F1F2·|y|＝×2×＝1，选项D正确.]
题型剖析
例1 解 双曲线的方程化为标准方程是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
迁移 解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
训练1 解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
例2 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解；
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
训练2 解 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
由题意可知－＝λ，解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k>0，4＋k>0)，
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去).
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
例3 D [由题意易知点M在y轴上，且M(0，c).
因为边MF1的中点在双曲线上，且坐标为，代入双曲线方程得－＝1，结合c2＝a2＋b2可得－－6＝0，解得＝3＋2(负值舍去)，则e2＝4＋2，从而e＝＋1.]
训练3 [不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，
所以PF1＝4a，PF2＝2a，又F1F2＝2c，又2c＞2a，
则在△PF1F2中，∠PF1F2为最小内角，为30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a·2c·cos 30°，
整理得(e－)2＝0，所以e＝.]
例4 解 (1)由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
则设所求双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，
把(－3，4)代入方程 ，整理得9－＝λ，
解得λ＝1，即双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消y整理得3x2－12x＋10＝0,
所以x1＋x2＝4，x1x2＝，
由弦长公式可知，AB＝
＝＝.所以弦AB的长为.
训练4 解 双曲线方程 可化为x2－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.
∴F2(2，0)，又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
Δ＝16＋56＞0，
设A(x1，y2)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－<0，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴AB＝
＝·＝6.(共55张PPT)
3.2.2 双曲线的几何性质
第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线
课标要求
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等.
3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考 椭圆中长轴长大于短轴长，双曲线中实轴长一定大于虚轴长吗？
提示 实轴长不一定大于虚轴长.
一、双曲线的简单几何性质
2.填空
标准方程
性 质 图形
焦点 ______________________ _____________________
焦距 2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴 ____________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
x轴，y轴
性 质 对称中心 ______
顶点 _______________________ ______________________
轴 实轴：线段A1A2，长：______；虚轴：线段B1B2，长：______；实半轴长：____，虚半轴长：____
离心率 e＝∈______________
渐近线 y＝±x y＝±x
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
2a
2b
a
b
(1，＋∞)
温馨提醒
√
由双曲线方程知a＝4，b＝3，
1.思考 双曲线x2－y2＝1的实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程是什么？
二、等轴双曲线
2.填空 (1)实轴和虚轴______的双曲线叫作等轴双曲线.
(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝_____；
②等轴双曲线的渐近线方程为y＝______，它们互相______.
等长
±x
垂直
√
√
√
易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；
选项B错误；
因此点P在圆x2＋y2＝2上，
题型剖析
题型一 双曲线的几何性质
例1
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
迁移
思维升华
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
训练1
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
题型二 根据几何性质求双曲线的标准方程
例2
依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
联立①②，无解;
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∵A(2，－3)在双曲线上，
思维升华
双曲线方程的求解方法
(1)根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程.
训练2
解得k＝4或k＝－14(舍去).
题型三 求双曲线的离心率
例3
√
思维升华
训练3
不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，
所以PF1＝4a，PF2＝2a，
又F1F2＝2c，又2c＞2a，
则在△PF1F2中，∠PF1F2为最小内角，为30°，
由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a·2c·cos 30°，
题型四 直线与双曲线的综合问题
例4
由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
(2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求弦AB的长.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
思维升华
已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问 A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
训练4
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.
∴F2(2，0)，又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
Δ＝16＋56＞0，
设A(x1，y2)，B(x2，y2)，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
课堂小结
1.牢记双曲线的9个性质
2.掌握3种方法
(1)求双曲线方程的方法.
(2)求离心率的方法.
(3)公式法求弦长.
3.注意2个易错点
(1)忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错.
(2)混淆双曲线与椭圆的离心率的范围而致误.
课时精练
一、基础巩固
√
√
∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝12.
√
√
√
√
又一条渐近线经过点(3，－4)，
∴9c2＝25a2，∴3c＝5a，
4
(4，＋∞)
又a>b，∴a＝3，b＝2，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
可知c2＝64－16＝48.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
②当双曲线的焦点在y轴上时，
基础巩固
√
二、综合运用
√
依题意，a2＋b2＝4，
解得a2＝18(舍去)或a2＝2，
依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
∵直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
三、创新拓展
±1
不妨设点B在第一象限，课时精练 17 双曲线的几何性质
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
y＝±3x y＝±x
y＝±x y＝±x
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
－＝1 －＝1
－＝1 －＝1
3.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
2 2
4.(多选)设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e可以为( )
2
5.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
6.若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
7.已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________.
8.两个正数a，b的和为5，积为6，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝________，渐近线方程为________.
9.(15分)已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
10.(15分)已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共10分
11.若双曲线－＝1与－＝－1(a>0，b>0)的离心率分别为e1，e2，则必有( )
e1＝e2 e1e2＝1 ＋＝1 ＋＝1
12.设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于( )
13.(15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(3，)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，若△OEF的面积为2，求直线l的方程
三、创新拓展
14.设双曲线－＝1(a>b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________.
课时精练17 双曲线的几何性质
1.C [双曲线方程可化为标准方程：－＝1，∴a＝1，b＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.]
2.A [依题意知，焦点在x轴上，c＝4，＝2，∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.]
3.D [法一 由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.
法二 离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2，故选D.]
4.AC [当焦点在x轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋＝，所以e＝；
当焦点在y轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，所以e＝.
综上，e＝或.]
5.D [∵双曲线－＝1的渐近线为
y＝±x，又一条渐近线经过点(3，－4)，
∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，
∴9c2＝25a2，∴3c＝5a，∴e＝＝， 故选D.]
6.4 [由题意可得，＝，得a2＝16，又a>0，所以a＝4.]
7.(4，＋∞) [∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，
∴双曲线C：－＝1的离心率e>，e2>2，即>2，∴m>4.]
8. y＝±x [由解得或
又a>b，∴a＝3，b＝2，
∴c＝，∴e＝＝.渐近线方程为y＝±x.]
9.解 椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则G的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，
∴＝3，∴a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为－＝1.
10.解 椭圆方程化为标准方程＋＝1，可知c2＝64－16＝48.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1；
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴ 解得∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
11.D [依题意，知e＝，e＝，
所以＋＝＝1.故选D.]
12.D [设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)，则过点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，渐近线方程是y＝±x.
由得B.由得A，
所以＝，＝.
由＝－3，得＝－3，
则＝－3·，即b＝a，则c＝＝a，
则e＝＝，故选D.]
13.解 (1)依题意，a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0
解得a2＝18(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
∵直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，
∴∴(*)
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴EF＝·＝·.
又原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OEF＝d·EF＝××·＝.又S△OEF＝2，即＝1，
∴k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*).
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为
y＝x＋2和y＝－x＋2.
14.±1 [不妨设点B在第一象限，
则A1(－a，0)，B，A2(a，0)，C，
所以＝，＝.
因为A1B⊥A2C，
所以·＝0，所以c2－a2－＝0，整理得＝1，
所以该双曲线渐近线的斜率k＝±＝±1.]
