第二课时 抛物线的方程与性质的应用
课标要求 1.了解抛物线的简单应用. 2.能运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
一、直线与抛物线的位置关系
1.思考 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
2.填空 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点，此时直线与抛物线________；若Δ＝0，则直线与抛物线有________个公共点，此时直线与抛物线________；若Δ<0，则直线与抛物线______公共点，此时直线与抛物线______.
(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有________个公共点，直线与抛物线________.
温馨提醒 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
3.做一做 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
二、弦长问题
1.思考 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
2.填空 (1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则AB＝|x1－x2|＝________________________
或AB＝|y1－y2|＝________________________(k≠0).
(2)焦点弦长
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
AF＝x1＋，AB＝____________.
温馨提醒 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程 弦长公式
y2＝2px(p>0) AB＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0) AB＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0) AB＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0) AB＝p－(y1＋y2)
3.做一做 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
题型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
思维升华 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
训练1 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－1，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
题型二 与抛物线有关的焦点弦及弦的中点问题
例2 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
思维升华 (1)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
(2)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
②AB＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)；
③＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
训练2 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A. B. C. D.25
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3 如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
思维升华 求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
训练3 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
[课堂小结]
1.牢记1个知识点
直线与抛物线的相交弦问题.
2.掌握3种方法
(1)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦长的求法
AB＝x1＋x2＋p＝(AB为焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角).
(2)一般弦长的求法
AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|(AB为弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线AB的斜率，k≠0).
(3)求定值问题常见的方法.
3.注意2个易错点
(1)涉及弦长时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错.
(2)忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错.
第二课时 抛物线的方程与性质的应用
知识探究
一、1.提示 如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.
2.(1)两 相交 一 相切 没有 相离 (2)平行或重合 1 相交
3.C [因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，
所以直线过点(1，0).
又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.]
二、1.提示 (1)利用弦长公式.
(2)根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.
2.(1)· (2)x1＋x2＋p
3.C [设抛物线的焦点为F(1，0)，则AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.]
题型剖析
例1 解 联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴；当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1时，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
训练1 [－，] [由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(2k2－8)x＋k2＝0.
当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，则Δ＝(2k2－8)2－4k2·k2＝32(2－k2)≥0，
解得－≤k<0或0
例2 解 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).
∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
则k＝＝＝4，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
由消x整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
由弦长公式得AB＝|y1－y2|
＝·＝.
法二 由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
由消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，
∵P是AB的中点，∴＝1，∴＝2，∴k＝4.
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
由消y整理得y2－2y－30＝0，
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
由弦长公式得AB＝|y1－y2|
＝·＝.
训练2 (1)A (2)y2＝4x x－y＝0 [(1)由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，
所以直线l的方程为y＝(x－2).
由得B点的坐标为.
所以AB＝AF＋BF＝2＋8＋2＋＝.
所以AB的中点到准线的距离为.
(2)由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有且x1≠x2，两式相减得，y－y＝4(x1－x2).
因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.]
例3 解 由解得或
由图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则AB＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，
则d＝＝＝|(y0－1)2－9|.
因为－2
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
训练3 解 法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝＝
＝＝＋.
所以当t＝时，d有最小值.
法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，
所以Δ＝16＋12m＝0，
所以m＝－.
所以所求最小距离为＝＝.(共58张PPT)
第二课时 抛物线的方程与性质的应用
第3章 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质
课标要求
1.了解抛物线的简单应用.
2.能运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
提示 如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交
点、两个交点.
一、直线与抛物线的位置关系
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，此时直线与抛物线______；若Δ＝0，则直线与抛物线有____个公共点，此时直线与抛物线______；若Δ<0，则直线与抛物线______公共点，此时直线与抛物线______.
(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴____________，此时直线与抛物线有____个公共点，直线与抛物线______.
相交
一
相切
没有
相离
平行或重合
1
相交
温馨提醒
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
3.做一做 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则
A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点
√
因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，
所以直线过点(1，0).
又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.
1.思考 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
二、弦长问题
提示 (1)利用弦长公式.
(2)根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.
2.填空 (1)一般弦长
设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则AB＝|x1－x2|
＝_________________________
(k≠0).
x1＋x2＋p
温馨提醒
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程 弦长公式
y2＝2px(p>0) AB＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0) AB＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0) AB＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0) AB＝p－(y1＋y2)
3.做一做 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为
A.16 B.14 C.12 D.10
√
设抛物线的焦点为F(1，0)，则AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
题型剖析
题型一 直线与抛物线的位置关系
例1
已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
此时直线l平行于x轴;
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1时，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
思维升华
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－1，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_____________.
训练1
由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(2k2－8)x＋k2＝0.
当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，则Δ＝(2k2－8)2－4k2·k2＝32(2－k2)≥0，
题型二 与抛物线有关的焦点弦及弦的中点问题
例2
过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).
∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)，
消x整理得y2－2y－30＝0，则y1＋y2＝2，y1y2＝－30.
法二 由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0.
设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，
∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0.
则y1＋y2＝2，y1y2＝－30，
思维升华
(1)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
(2)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
训练2
√
由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l过焦点F，
由题意知抛物线的方程为y2＝4x，
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为___________，直线l的方程为___________.
y2＝4x
x－y＝0
设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3
如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，
因为－2
求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
训练3
设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
课堂小结
3.注意2个易错点
(1)涉及弦长时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错.
(2)忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错.
课时精练
一、基础巩固
√
当AB垂直于对称轴时，AB取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
√
由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
√
法一 设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，
其中x∈R，由点到直线的距离公式得
法二 设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
再由Δ＝16－4×4·(－m)＝0，得m＝－1.
√
4.(多选)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是
A.－2 B.－1 C.1 D.2
由题意知准线为x＝－2，则Q(－2，0).
√
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.
√
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°，直线OA的方程为y＝x.
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1
当k≠0时，联立方程消去y得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.
综上，k＝0或k＝1.
设AB的方程为x＝my＋4，
32
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
8.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________.
设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，
设直线y＝2x＋1与抛物线交于A，B两点，其坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
解得a＝－2或a＝6(经检验均满足Δ＝(2a－4)2－4×4>0).
∴抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.
所以直线AB的斜率存在且不为0，设为k(k≠0)，
解得k＝±2.
即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
√
二、综合运用
√
√
把点B(1，2)代入抛物线方程y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；
因为 A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0)，
因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，
所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；
设AC的中点为M(x0，y0)，
因为AF＋CF≥AC，
AF＋CF＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，
所以2x0＋2≥6，得x0≥2，
即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.
所以a2＝22－12＝3，
故由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，其轨迹方程为x2＝2y.
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且AB＝2，求实数k的值.
由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
三、创新拓展
所以C的方程为x2＝4y.
(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，
代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以y1＋y2＝4k2＋2b，
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，
所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0
所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.3.3.2 抛物线的几何性质
第一课时 抛物线的几何性质
课标要求 1.了解抛物线的简单几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
一、抛物线的几何性质
1.思考 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些物质？
2.填空
类型 y2＝2px(p>0) y2＝ －2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝ －2py(p>0)
图象
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 ______, y∈R ______, y∈R x∈R，______ x∈R，______
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
开口方向 ______ ______ ______ ______
温馨提醒 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
(1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
(2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点.
3.做一做 思考辨析，判断正误
(1)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
(2)抛物线没有渐近线.( )
(3)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.( )
二、抛物线的焦点弦、通径
1.填空 抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.弦长公式为AB＝__________，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，假设此时直线与抛物线的交点为A0，B0，则A0B0＝2p称为抛物线的通径长.
温馨提醒 如图，
M1M2叫作抛物线的通径，长度是2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越大，即抛物线的开口越大，反之，p越小，通径越小，抛物线的开口越小.
2.做一做 抛物线y＝x2的通径长为________.
题型一 抛物线的几何性质
例1 已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
思维升华 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
题型二 由抛物线的几何性质求标准方程
例2 (1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________.
(2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程.
思维升华 利用抛物线的几何性质求标准方程的策略
(1)由焦点坐标既可确定标准方程的类型，也可确定的值.
(2)由抛物线的对称轴可设抛物线方程为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)，再根据条件进一步确定a值.
训练2 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________.
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3 已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
思维升华 抛物线中最值的求解策略
(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.
训练3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
[课堂小结]
1.牢记抛物线的7个性质.
2.掌握2种方法
(1)利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质.
(2)利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
3.注意1个易错点
若P(x，y)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，应注意x≥0，容易忽略x≥0而导致错误.
第一课时 抛物线的几何性质
知识探究
一、1.提示 范围、对称性、顶点.
2.x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 O(0，0) 向右 向左 向上 向下
3.(1)√ (2)√
(3)× 提示 抛物线不是中心对称图形.
二、1.x1＋x2＋p
2.2 [抛物线的标准方程为x2＝2y，p＝1，通径长为2.]
题型剖析
例1 解 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，
所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
训练1 解 当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设其标准方程为x2＝ny(n≠0).
将点M(1，－2)代入，得n＝－.
∴抛物线的标准方程为x2＝－y.
故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y.
准线方程分别为x＝－1或y＝.
例2 (1)y2＝5x [线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为，∴抛物线的焦点为，
∴其标准方程为y2＝5x.]
(2)解 设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0).
因为点P到对称轴的距离为6，所以y0＝±6.
因为点P到准线的距离为10，
所以＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0.②
由①②，得或或或
所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
训练2 x2＝12y或x2＝－12y [椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，∴抛物线的对称轴为y轴，
设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，
由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.]
例3 －1 [如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，垂足分别为H，N，则AH＋AN＝m＋n＋1.
连接AF，则AF＋AH＝m＋n＋1，
由平面几何知识，知当A，F，H三点共线且A居于H，F之间时，
AF＋AH＝m＋n＋1取得最小值，
最小值为F到直线l的距离，即＝，
即m＋n的最小值为－1.]
训练3 2 [因为抛物线的方程为y2＝4x，
所以焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
设P到准线的距离为PB，P到直线l1：
4x－3y＋6＝0的距离为PA，
则PB＝PF，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，
其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离.
因为FD＝＝＝2，
所以距离之和的最小值是2.(共45张PPT)
第一课时 抛物线的几何性质
第3章 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质
课标要求
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些物质？
提示 范围、对称性、顶点.
一、抛物线的几何性质
2.填空
性质 范围 __________y∈R __________y∈R x∈R，________ x∈R，________
对称轴 x轴 y轴
顶点 ______________
离心率 e＝1
开口方向 ______ ______ ______ ______
x≥0，
x≤0，
y≥0
y≤0
O(0，0)
向右
向左
向上
向下
温馨提醒
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
(1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
(2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点.
3.做一做 思考辨析，判断正误
(1)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
(2)抛物线没有渐近线.( )
(3)抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.( )
√
√
×
提示 抛物线不是中心对称图形.
1.填空 抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.弦长公式为AB＝______________，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，假设此时直线与抛物线的交点为A0，B0，则A0B0＝2p称为抛物线的通径长.
二、抛物线的焦点弦、通径
x1＋x2＋p
温馨提醒
如图，M1M2叫作抛物线的通径，长度是2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越大，即抛物线的开口越大，反之，p越小，通径越小，抛物线的开口越小.
2
抛物线的标准方程为x2＝2y，p＝1，通径长为2.
题型剖析
题型一 抛物线的几何性质
例1
思维升华
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
训练1
当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0).
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设其标准方程为x2＝ny(n≠0).
题型二 由抛物线的几何性质求标准方程
例2
(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________.
y2＝5x
∴其标准方程为y2＝5x.
(2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程.
设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0).
因为点P到对称轴的距离为6，所以y0＝±6.
因为点P到准线的距离为10，
所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
思维升华
抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为__________________.
训练2
x2＝12y或x2＝－12y
∴抛物线的对称轴为y轴，
设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3
已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动
点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，垂足分别为H，N，则AH＋AN＝m＋n＋1.
连接AF，则AF＋AH＝m＋n＋1，
由平面几何知识，知当A，F，H三点共线且A居于H，F之间时，AF＋AH＝m＋n＋1取得最小值，
思维升华
抛物线中最值的求解策略
(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.
已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
训练3
因为抛物线的方程为y2＝4x，
2
所以焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
设P到准线的距离为PB，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，则PB＝PF，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，
其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离.
所以距离之和的最小值是2.
已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
训练3
因为抛物线的方程为y2＝4x，
2
所以焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
设P到准线的距离为PB，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，则PB＝PF，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，
其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离.
所以距离之和的最小值是2.
课堂小结
1.牢记抛物线的7个性质.
2.掌握2种方法
(1)利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质.
(2)利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
3.注意1个易错点
若P(x，y)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，应注意x≥0，容易忽略x≥0而导致错误.
课时精练
一、基础巩固
√
1.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则PQ＝
A.4p B.5p C.6p D.8p
因为PQ过焦点，所以PQ＝x1＋x2＋p＝4p.
√
2.若抛物线y2＝2mx(m≠0)的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为
A.－2 B.2 C.－4 D.4
将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2，0)，
√
设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
3.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为
A.y2＝8x B.y2＝－8x C.y2＝－16x D.y2＝16x
√
√
设点P的坐标为(x，y)，
√
∵PF＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，
√
5.抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
由圆C的方程知圆心C(－3，－4)，
由抛物线的定义知，m＋PC的最小值为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，
7.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN＝________.
如图，不妨设点M在第一象限，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′.
6
∵M为FN的中点，OF＝2，
∴MM′＝1，
∴MF＝3，∴FN＝6.
8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，
则p＝________，B到该抛物线准线的距离为________.
9.如图所示，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，求此抛物线的方程.
如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则BF＝BD，
又2BF＝BC，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又AF＝3，∴AA′＝3，
∴AC＝6，FC＝3.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
10.已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
如图所示，由OA＝OB可知AB⊥x轴，设垂足为M，
基础巩固
6
二、综合运用
解得p2＝36，p＝6(舍负).
设P点坐标为(x0，y0)，
13.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同于原点的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)求证：直线AB过定点.
三、创新拓展
√
√
由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，设点M(x，y)，
因为圆心是MF的中点，
故圆心纵坐标为2，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.故选AD.课时精练 19 抛物线的几何性质
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则PQ＝( )
4p 5p 6p 8p
2.若抛物线y2＝2mx(m≠0)的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为( )
－2 2 －4 4
3.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为( )
y2＝8x y2＝－8x y2＝－16x y2＝16x
4.(多选)抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若PF＝5，则点P的坐标可以为( )
(3，2) (3，－2)
(1，2) (1，－2)
5.抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为( )
2 4 6 8
6.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋PC的最小值为________.
7.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则FN＝________.
8.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则p＝________，B到该抛物线准线的距离为________.
9.(15分)如图所示，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，求此抛物线的方程.
10.(15分)已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
二、综合运用
11.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
12.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为________.
13.(15分)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同于原点的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为( )
2 4 6 8
课时精练19 抛物线的几何性质
1.A [因为PQ过焦点，所以PQ＝x1＋x2＋p＝4p.]
2.D [由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为，
将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2，0)，根据题意可得＝2，所以m＝4.故选D.]
3.AB [设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意将x＝代入y2＝2px或y2＝－2px，
得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.]
4.AB [设点P的坐标为(x，y)，∵PF＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，
∴y＝±2.∴点P的坐标为(3，±2).]
5.D [∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，OF＝，∴＋＝6，∴p＝8.]
6. [由圆C的方程知圆心C(－3，－4)，
由抛物线的定义知，m＋PC的最小值为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，即＝.]
7.6 [如图，不妨设点M在第一象限，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′.
∵M为FN的中点，OF＝2，
∴MM′＝1，
∴M到准线距离d＝MM′＋＝3，
∴MF＝3，∴FN＝6.]
8. [由已知得B，把点B坐标代入y2＝2px得1＝2p·，∴p2＝2，∴p＝(舍负)，
∴B，故d＝＋＝.]
9.解 如图，过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，
则BF＝BD，
又2BF＝BC，∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又AF＝3，∴AA′＝3，∴AC＝6，FC＝3.
∴F到准线的距离p＝FC＝.
∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
10.解 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，
由OA＝OB可知AB⊥x轴，设垂足为M，
又焦点F是△OAB的重心，则OF＝OM.
因为F(2，0)，
所以OM＝OF＝3，所以M(3，0).
故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3，2)，B(3，－2)，
所以OA＝OB＝，AB＝4，
所以△OAB的周长为2＋4.
11.6 [抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.
将y＝－代入－＝1得|x|＝.
要使△ABF为等边三角形，
则tan＝＝＝，
解得p2＝36，p＝6(舍负).]
12.2 [由y2＝4x知焦点为F(，0)，准线为x＝－.
设P点坐标为(x0，y0)，
则x0＋＝4，∴x0＝3，∴y＝4×3＝24，
∴|y0|＝2，∴S△POF＝××2＝2.]
13.(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)证明 ∵y＝2px1，y＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴＝，∴kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
∴y＝＋y1－，
即y＝＋.
∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋，
∴y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p，0).
14.AD [由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，设点M(x，y)，
由抛物线定义知MF＝x＋＝5，可得x＝5－.
因为圆心是MF的中点，
所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝.
由已知可知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即点M，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.故选AD.]课时精练 20 抛物线的方程与性质的应用
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则AB的最小值为( )
p 2p 无法确定
2.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
2 3
3.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
(0，0) (1，2) (1，4)
4.(多选)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是( )
－2 －1 1 2
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
8p2 4p2 2p2 p2
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
7.已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________.
8.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________.
9.(10分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的方程.
10.(10分)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在直线的方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( )
抛物线的准线方程为x＝－1
若＋＋＝0，则2||＝||＋||
若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1
若AC＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2
12.已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则·的最小值为________，此时点P的坐标为________.
13.(15分)设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且AB＝2，求实数k的值.
三、创新拓展
14.(15分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若AO＝AF＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.
课时精练20 抛物线的方程与性质的应用
1.C [当AB垂直于对称轴时，AB取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.]
2.A [由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
∴点P到直线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.]
3.A [法一 设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，
其中x∈R，由点到直线的距离公式得
d＝＝.
当x＝时，d最小，这时点的坐标为.
法二 设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
由得4x2－4x－m＝0.
再由Δ＝16－4×4·(－m)＝0，得m＝－1.
这时切点为，切点到y＝4x－5的距离最小.]
4.BC [由题意知准线为x＝－2，则Q(－2，0).
设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.]
5.B [因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°，直线OA的方程为y＝x.
由方程组得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
所以AB＝4p，所以S△AOB＝×4p·2p＝4p2.]
6.0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；
当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.
综上，k＝0或k＝1.]
7.32 [设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
当m＝0时，y＋y的最小值为32.]
8. [设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以AB＝＝
＝＝.
所以当x＝时，AB取得最小值，且ABmin＝.]
9.解 设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，
由消去y，得4x2－(2a－4)x＋1＝0.
设直线y＝2x＋1与抛物线交于A，B两点，
其坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2 ＝，x1x2＝.
AB＝|x1－x2|＝
＝ ＝.
则 ＝，a2－4a－12＝0，
解得a＝－2或a＝6(经检验均满足Δ＝(2a－4)2－4×4>0).
∴抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.
10.解 由题意知焦点为F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则AB＝2p
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋.
所以AB＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋＝p，
解得k＝±2.所以AB所在直线的方程为
y＝2或y＝－2，
即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
11.ABD [把点B(1，2)代入抛物线方程y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；
因为 A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0)，
所以＝(x1－1，y1)，＝(0，2)，＝(x2－1，y2)，
又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，
所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，故B正确；
因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，
所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；
设AC的中点为M(x0，y0)，
因为AF＋CF≥AC，AF＋CF＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，
所以2x0＋2≥6，得x0≥2，
即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.]
12.3－2 (0，) [抛物线y＝x2，即x2＝8y的焦点为F(0，2)，
所以a2＝22－12＝3，故双曲线的方程为－x2＝1.
设P(x，y)，因为点P在x轴上方且在双曲线上，故由双曲线的性质可得y≥.＝(x，y)，＝(x，y－2)，
·＝x2＋y(y－2)＝x2＋y2－2y＝＋y2－2y－1＝y2－2y－1
＝－1＝－.
因为y＝＜，
故函数t＝－在[，＋∞)上单调递增，当y＝时，取得最小值，最小值为×()2－2×－1＝3－2.
所以·的最小值为3－2.
点P的横坐标为0，所以此时P为(0，).]
13.解 (1)由题意，知点P到定点M与到定直线x＝－的距离相等，
故由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，其轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵AB＝·＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
14.解 (1)因为点A在C上，AO＝AF＝，
所以点A的纵坐标为，
所以＋＝，所以p＝2，所以C的方程为x2＝4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，
代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b，
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，
所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0
＝b＝b
＝·(0
所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.
