3.2.1 双曲线的标准方程
课标要求 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程. 2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
一、双曲线的定义
1.思考 (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线吗？
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线吗？
2.填空 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于________(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的________.
温馨提醒 (1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
3.做一做 已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.不存在 D.一条射线
二、双曲线的标准方程
1.思考 (1)类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
(2)设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
2.填空
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ___________ (a>0，b>0) ___________ (a>0，b>0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 F1F2＝2c
a，b，c的关系 c2＝___________
温馨提醒 (1)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上.
(2)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示.
3.做一做 若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是( )
A.±5 B.±3 C.5 D.9
题型一 双曲线定义的应用
例1 (1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2＝( )
A.11 B.9 C.5 D.3
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A.4 B.8 C.24 D.48
思维升华 双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1－PF2|＝2a(0<2a
题型二 求双曲线的标准方程
例2 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上.
思维升华 1.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2.求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
训练2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).
题型三 双曲线中的焦点三角形问题
例3 如图，已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积.
思维升华 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1－PF2|＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
训练3 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
[课堂小结]
1.牢记2个知识点
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错.
3.2.1 双曲线的标准方程
知识探究
一、1.(1)提示 不是.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
(2)提示 不是.因为|PF1－PF2|＝8＝F1F2，故对应的轨迹为两条射线.
2.常数 焦距
3.B [因为PF1－PF2＝4，且4
二、1.(1)提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则
|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
因为PF1＝，PF2＝，
所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，
类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，
得－＝1(a>0，b>0).
(2)提示 －＝1(a>0，b>0).
2.－＝1 －＝1 (0，－c) (0，c) a2＋b2
3.B [由题意知34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.]
题型剖析
例1 (1)B (2)C [(1)由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝6，
即|3－PF2|＝6，解得PF2＝9(负值舍去)，故选B.
(2)由题意得解得
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是以PF1，PF2为直角边的直角三角形，
则S△PF1F2＝·PF1·PF2＝24.]
训练1 解 由sin B－sin A＝sin C及正弦定理，可得b－a＝，
从而有CA－CB＝AB＝2
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>).
例2 解 (1)法一 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得 (舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
训练2 解 (1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
例3 解 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
将|PF2－PF1|＝2a＝6两边平方得
PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝＝0，
且0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，
∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
训练3 解 由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1PF2cos 60°，
所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，所以PF1·PF2＝64，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝×64×＝16.(共53张PPT)
3.2.1 双曲线的标准方程
第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线
课标要求
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.
2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考 (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线吗？
提示 不是.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线吗？
提示 不是.因为|PF1－PF2|＝8＝F1F2，故对应的轨迹为两条射线.
一、双曲线的定义
2.填空 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于______ (小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的______.
常数
焦距
温馨提醒
(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
3.做一做 已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.不存在 D.一条射线
√
因为PF1－PF2＝4，且4
二、双曲线的标准方程
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，
所以c2－a2>0，
2.填空
(0，－c)
(0，c)
(0，c)
a2＋b2
温馨提醒
(1)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上.
(2)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示.
√
由题意知34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
题型剖析
题型一 双曲线定义的应用
例1
√
由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝6，即|3－PF2|＝6，解得PF2＝9(负值舍去)，故选B.
√
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是以PF1，PF2为直角边的直角三角形，
思维升华
双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1－PF2|＝2a(0<2a
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去顶点).
题型二 求双曲线的标准方程
例2
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为
设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∵双曲线经过点(－5，2)，
思维升华
1.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2.求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
训练2
由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
因为焦点在x轴上，
解得a2＝8，b2＝4，
题型三 双曲线中的焦点三角形问题
例3
在△F1PF2中，由余弦定理得
且0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，
思维升华
在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1－PF2|＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
训练3
由双曲线的定义和余弦定理得PF1－PF2＝±6，
课堂小结
[课堂小结]
1.牢记2个知识点
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程.
2.掌握求标准方程的2种方法
(1)待定系数法.
(2)定义法.
3.注意1个易错点
忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错.
课时精练
一、基础巩固
√
√
当k>5时，方程表示双曲线；
反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.
√
由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
√
√
√
√
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，
∴PF2＝22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
9
又由a2＋b2＝c2得，16＋m＝25，
∴m＝9.
7.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，
则cos ∠F1PF2＝________.
在△PF1F2中，F1F2＝2c＝4，由余弦定理，得
若表示双曲线，则应有m＋1>0，即m>－1；
(－1，＋∞)
(－∞，－5)∪(－5，－1)
解之得m<－1且m≠－5.
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)；
由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，
解得a2＝3，b2＝5.
10.已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当 －1
基础巩固
√
二、综合运用
设PF1＝d1，PF2＝d2，
①2－②2得2d1d2＝6.
√
13.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且MF1＋MF2＝6，试判断△MF1F2的形状.
所以∠MF2F1为钝角.故△MF1F2为钝角三角形.
三、创新拓展
√
设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，课时精练 16 双曲线的标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.双曲线2x2－y2＝8的焦距是( )
2 2 4 4
2.若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
3.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，则实数m的值是( )
1 －1 －
4.(多选)过点(1，1)，且＝的双曲线的标准方程可以是( )
－y2＝1 －x2＝1 x2－＝1 y2－＝1
5.(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离可能为( )
17 7 22 2
6.若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________.
7.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos ∠F1PF2＝________.
8.若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________；若表示椭圆，则实数m的取值范围是________.
9.(15分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)；
(3)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，).
10.(15分)已知△ABC的一边的两个顶点为B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
二、综合运用
选择题每小题5分，共10分
11.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝( )
12.设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
2 3 4 6
13.(15分)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且MF1＋MF2＝6，试判断△MF1F2的形状.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )
2 10 8 6
课时精练16 双曲线的标准方程
1.C [因为双曲线方程可化为－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.]
2.A [当k>5时，方程表示双曲线；
反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.]
3.B [由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，∴－m－3m＝4，∴m＝－1.]
4.AB [由于＝，∴b2＝2a2.
当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入点(1，1)得a2＝，此时双曲线方程为－y2＝1.
同理，求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.]
5.CD [由双曲线方程，知a＝5，b＝3，c＝.
设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
P为双曲线上一点，不妨令PF1＝12(12>a＋c＝5＋)，
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，∴PF2＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.]
6.9 [由题意知，a＝4，b＝，c＝5，
又由a2＋b2＝c2得，16＋m＝25，∴m＝9.]
7. [由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.
由双曲线定义知，PF1－PF2＝2a＝2，
又PF1＝2PF2.∴PF1＝4，PF2＝2，
在△PF1F2中，F1F2＝2c＝4，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝.]
8.(－1，＋∞) (－∞，－5)∪(－5，－1) [若表示双曲线，则应有m＋1>0，
即m>－1；
若表示椭圆，则有解之得m<－1且m≠－5.]
9.解 (1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上.
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝
＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20，
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
(3)由题意得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
10.解 设顶点A的坐标为(x，y)(x≠±a)，
则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0).
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当 －1
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2得d＋d＝18.①2－②2得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.]
12.B [设点P(x0，y0)，依题意得F1F2＝2＝4，S△PF1F2＝F1F2·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6.
∴·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.]
13.解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，
其焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有MF1－MF2＝2，
又MF1＋MF2＝6，
故解得MF1＝4，MF2＝2，又F1F2＝2，
因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角.故△MF1F2为钝角三角形.
14.B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，所以(PF1－PF2)R＝8，
即aR＝8，所以R＝2，所以S△MF1F2＝·2c·R＝10.
