湖南省长沙市明德中学 2024-2025 学年高一（下）2 月阶段检测数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | < 3}，则( )
A. 0 B. 2 ∈ C. 3 ∈ D. ∈
2.命题“ ∈ (1,2)，2 2 3 ≥ 0”的否定是( )
A. (1,2)，2 2 3 < 0 B. (1,2)，2 2 3 ≥ 0
C. ∈ (1,2)，2 2 3 < 0 D. ∈ (1,2)，2 2 3 < 0
11 1
3.已知sin( + ) = ，则 =( )
2 3
1 1 2√ 2 2√ 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.设 = 0.50.6， = 50.6， =
0.1，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
2
5.函数 ( ) = 的图象大致为( ) +
A. B.
C. D.
6.将函数 ( ) = cos(2 + )( > 0)图象向右平移 个单位得到奇函数，则 的最小值为( )
6
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2 + 2 + , < 0
7.已知函数 ( ) = { 在 上单调递增，则 的取值范围是( ) + ln( + 1), ≥ 0
A. ( ∞, 0] B. [0,1] C. [ 1,1] D. [0, +∞)
3 1
8.已知函数 ( ) = + 3 + 3，且 ( 2) + (3 4) > 6，则实数 的取值范围为( ) 3 +1
A. ( 4,1) B. ( 3,2)
C. ( ∞, 4) ∪ (1, +∞) D. (0,5)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知关于 的不等式 2 + + ≥ 0的解集为{ | ≤ 2或 ≥ 3}，则( )
A. = 1
B. = 6
C. 不等式 2
1 1
+ 1 < 0的解集是( , )
3 2
3
D. 不等式 ≥ 0与 2 + + ≥ 0的解集相同
+2
10.下列命题正确的是( )
A. 若 // ，则存在唯一实数 使得 =
B. “| | = | |”是“ = ”的必要不充分条件
C. 已知 , 为平面内两个不共线的向量，则{ + , + 3 }可作为平面的一组基底
D. 若点 为 的重心，则 + + = 0
11.如图，函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象，则( )
2
A. ( ) = 2sin(2 + )
3
2
B. 将 ( )图象向右平移 后得到函数 = 2sin2 的图象
3
7 13
C. ( )在区间[ , ]上单调递增
12 12
D. ( )在区间[ , + ]上的最大值与最小值之差的取值范围为[1,2√ 3]
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,7), = ( 3,1)，若( + ) ⊥ ，则 = ．
13.函数 ( ) = tan ( + )的单调递增区间为
2 4
+ 1, ≤ 0
14.已知函数 ( ) = { , ( ) = 2 + 1，若 = ( ( ))有6个零点，则 的取值范围
| 2 4 + 3|, > 0
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题12分)
已知 ：关于 的方程 2 2 + 2 + 2 = 0有实数根， ： 1 ≤ ≤ + 3．
(1)若命题 是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知 ( ) = 4cos sin ( + ) 1．
6
(1)求 ( )的周期；
6
(2)若 ( ) = ，其中 ∈ (0, )，求cos2 ．
5 4
17.(本小题12分)
1
某公司的股票在交易市场过去的一个月内(以30天计)，第 天每股的交易价格满足函数关系 ( ) = 10 + (
单位：元)，第 天的日交易量 ( )(万股)的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
① ( ) = + ；② ( ) = | | + ；③ ( ) = ；④ ( ) = log .
10 15 20 25 30
( ) 50 55 60 55 50
(1)请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量 ( )(万股)与时
间第 天的函数关系(简要说明理由)，并求出该函数的关系式；
(2)根据(1)的结论，求出该股票在过去一个月内第 天的日交易额 ( )的函数关系式，并求其最小值．
18.(本小题12分)
1
已知 ( ) = 4(4 + 1) 为偶函数， ( ) = ( + )． 2
(1)求实数 的值；
(2)若 ∈ [ 2,0]时，函数 ( )的图象恒在 ( )图象的上方，求实数 的取值范围；
(3)已知函数 = 4 ( )+ + (2 +2)在 ∈ [ 1,2]上的最大值与最小值之和为2025，求实数 的值．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log ( 2 3 )( > 0且 ≠ 1)的定义域为 ．
(1)当 = 1时，求 ；
(2)将满足 ， ∈ 总有 ( + ) + ( ) = 2 ( )的函数 ( )称为“类线性函数”，若函数 ( )为“类
线性函数”，求实数 的值；
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(3)已知0 < < 1， > 0，试问是否存在实数 ， ( < )，使得函数 ( )在[ , ] 上的值域为[4 , 4 ]？
若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】 / 0.4
5
3 1
13.【答案】(2 , 2 + ) ( ∈ )
2 2
5 10
14.【答案】( , )
2 3
15.【答案】解：(1)因为命题 是真命题，所以 是假命题，
所以对于方程 2 2 + 2 + 2 = 0，
有 = ( 2 )2 4( 2 + 2) < 0，即4 8 > 0，解得 > 2，
故实数 的取值范围是{ | > 2}．
(2)如果 是 的必要不充分条件，
那么 能推出 ，但由 不能推出 ，
因此{ | 1 ≤ ≤ + 3| { | ≤ 2},
因此 + 3 ≤ 2，解得 ≤ 1，
故实数 的取值范围是{ | ≤ 1}．
√ 3 1
16.【答案】(1) ( ) = 4cos ( sin + cos ) 1
2 2
= 2√ 3sin cos + 2 2 1
= √ 3sin2 + cos2
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= 2sin (2 + )
6
所以 ( )的周期为 = ．
6
(2) ( ) = 2sin (2 + ) = ，
6 5
3
∴ sin (2 + ) = ，
6 5
2
由0 < < 得 < 2 + < ，
4 6 6 3
3 √ 3
由sin (2 + ) = < ，得0 < 2 + < ，
6 5 2 6 3
4
∴ cos (2 + ) = √ 1 2 (2 + ) = ，
6 6 5
∴ cos2 = cos [(2 + ) ]
6 6
= cos (2 + ) cos + sin (2 + ) sin
6 6 6 6
3+4√ 3
= ．
10
17.【答案】解：(1)某公司的股票在交易市场过去的一个月内(以30天计)，第 天每股的交易价格满足函数
1
关系 ( ) = 10 + (单位：元)，
第 天的日交易量 ( )(万股)的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
① ( ) = + ；② ( ) = | | + ；③ ( ) = ；④ ( ) = log ；
10 15 20 25 30
( ) 50 55 60 55 50
由表格数据知，当时间 变换时， ( )先增后减，
而①③④都是单调函数所以选择模型②， ( ) = | | + ；
由 (15) = (25)，可得|15 | = |25 |，解得 = 20，
(15) = 5 + = 55
由{ ，解得 = 1， = 60，
(20) = = 60
所以 ( )与时间 的变化的关系式为 ( ) = | 20| + 60(1 ≤ ≤ 30, ∈ )；
+ 40,1 ≤ ≤ 20
(2)由(1)知： ( ) = | 20| + 60 = { ( ∈ )，
+ 80,20 < ≤ 30
1
(10 + )( + 40),1 ≤ ≤ 20
所以 ( ) = ( ) ( ) = { ( ∈ )，
1
(10 + )( + 80),20 < ≤ 30
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当1 ≤ ≤ 20， ∈ 时，由基本不等式，
40 40
可得 ( ) = 10 + + 401 ≥ 2√ 10 + 401 = 441，
40
当且仅当10 = 时，即 = 2时等号成立，
80
当20 < ≤ 30， ∈ 时， ( ) = 10 + + 799为减函数，
8
所以函数的最小值为 ( ) = (30) = 499 + > 441， 3
综上，当 = 2时，函数 ( )取得最小值441(万元)．
18.【答案】(1)函数 ( ) = (4 4 + 1) 为偶函数，得 ( ) = ( )恒成立，
4 +1
即 4(4 + 1) + = 4(4
+ 1) 2 = 4 4
2 = 恒成立，而 不恒为0，
+1
1
所以 = ．
2
(2)当 ∈ [ 2,0]时，函数 ( )的图象恒在 ( )图象的上方，则 ∈ [ 2,0]， ( ) > ( )恒成立，
1 1 1
即 4(4
+ 1) > ( + )，则 4(4
+ 1) > 对 ∈ [ 2,0]恒成立，
2 2 2
4 +1 1
函数 ( ) = 4(4
+ 1) = 4 = 4(1 + )， ∈ [ 2,0]， 4 4
1
又函数 = 1 + 在 上单调递减， = 4 在(0, +∞)上单调递增，则函数 ( )在[ 2,0]上单调递减， 4
1 1 1
( )min = (0) = ，于是 < ，解得 < 1， 2 2 2
所以实数 的取值范围是 < 1．
1 1 1
(3)依题意， = 4 4(4 +1) + (2 +2 + ) = (4 + 1) + 2 +1 + = (2 1)2 + ，
2 2 2
1 1 1
由 ∈ [ 1,2]，得2 ∈ [ , 4]，则当2 = 1时， max = ，当2 = 4时， min = 9 + ， 2 2 2
1 1
于是 9 + = 2025，解得 = 2034，
2 2
所以实数 的值为2034．
19.【答案】解：函数 ( ) = log 2 ( 3 )( > 0且 ≠ 1)的定义域为 ，
(1)当 = 1时， 2 3 > 0，即 2 > 3，
当0 < < 1时， 2 > 3，
1
得2 < log 3，解得 < 3； 2
当 > 1时， 2 > 3，
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1
得2 > log 3，解得 > 3， 2
1
故当0 < < 1时， ( )的定义域 为( ∞,
2
3)；
1
当 > 1时， ( )的定义域 为( 3, +∞)； 2
(2)由题可知 2 3 > 0恒成立，故可得 ≤ 0，
根据题意可知， ， ∈ ，
总有 ( + ) + ( ) = 2 ( )，
即 [ 2( + ) 3 ] + [
2( )
3 ]
= 2 2 ( 3 )，
则 [(
2( + ) 3 )( 2( ) 3 )]
= ( 2 3 )
2，
所以( 2( + ) 3 )( 2( ) 3 )
= ( 2 3 )2，
即 4 3 ( 2( + ) + 2( )) + 9 2
= 4 6 2 + 9 2，
所以 (2 2 2( + ) 2( )) = 0对于 ， ∈ 恒成立，
又2 2 2( + ) 2( )不恒为0，所以 = 0；
(3)存在，
易知当0 < < 1时，
1
( )的定义域为( ∞, 3 )， 2
因为函数 = 2 3 在 上单调递减，
函数 = log 在(0, +∞)上单调递减，
1
所以 ( )在其定义域( ∞, 3 )上为增函数， 2
( ) = 4
由题意可知，{ ，
( ) = 4
2
即{
( 3 ) = 4
2 ， ( 3 ) = 4
所以 = ， = 是方程 2 ( 3 ) = 4 的两个不同的实数根，
即 = ， = 是方程 2 3 = 4 的两个不同的实数根，
设 = 2 > 3 > 0，
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则方程 2 + 3 = 0有两个不同的实数根，
设 ( ) = 2 + 3 ，
= 1 12 > 0
1 1
则{0 < 3 < ，解得0 < < ，
2 12
9 2 3 + 3 > 0
1
故 的取值范围为(0, )．
12
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