2025年山东省青岛市中考数学预测练习试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1． 国产C919飞机，最大航程达．数据5555000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2． 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
3． 如图，数轴上A，B两点所表示的两数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等 B．两数互为相反数
C．两数的和为0 D．两数的积为1
4． 要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A. B． C. D．
5．下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6 .如图，方格纸中的△ABC经过变换，可以得到△A1B1C1，则正确的变换方法是（ ）
A．将△ABC向右平移5格
B．将△ABC向右平移5格，再向下平移4格
C．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后，再向下平移3格
D．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格
小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若点B距离地面的高度为，点B到的距离为
点C距离地面的高度是，则点C到的距离为（ ）
A． B． C． D．
8． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°，CD = 24.则阴影部分的面积是（ ）
A．32π B．16π C．16 D．32
9 . 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：
①；②；③函数的最大值为；
④若关于x的方程无实数根，则．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．计算：=_______
小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．
这六个分数的极差是 分．
12．2025年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
13．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，
为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．
一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．
在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，
则该几何体能看得到的面上数字之和最小是_______
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
16．如图，已知及、两点．请你用尺规作图法在内部找出一点，使，
并且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．解不等式组或计算
(1)；
(2)．
18 . 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，
学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，
请根据图中的信息解答下列问题：
求该校九年级接受调查的人数并补全条形统计图．
(2) 计算扇形统计图中的“其他”所对应的圆心角度数．
(3) 若该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动”方式进行考前减压的人数．
第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，
向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，
老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，
并向大家介绍卡片上图案对应的含义．
(1)请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 ；
(2)若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率．
20．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，
台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
21 . 冰墩墩是北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，
头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，
冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．
两款玩偶的进货价和销售价如下表：
A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，
再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．
类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
① 将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，
再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
② 函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到；
③ 的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
(2) 如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，
并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，．
(3) 实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，
新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；
若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍
（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．
如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，
那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．
23．如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
24．如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，
在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
求此抛物线对应的函数表达式；
求高架桥两端的的距离；
如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，
已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，
试求菱形广告牌所需的最低费用．
已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，
过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直．
如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长；
如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；
若没有变化，请求出它的比值；
如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年山东省青岛市中考数学预测练习试卷解答
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．国产C919飞机，最大航程达．数据5555000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【详解】解：；
故选B．
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．如图，数轴上A，B两点所表示的两数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等 B．两数互为相反数
C．两数的和为0 D．两数的积为1
【答案】D
【分析】根据数轴上的数分别判断各个选项即可．
【详解】解：由数轴知，|3|＝|﹣3|，﹣3的相反数等于3，﹣3+3＝0，﹣3×3＝﹣9，
∴D选项说法不正确．
故选：D．
4．要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A. B． C. D．
【答案】C
【分析】从上往下看，得到俯视图即可．
【详解】解：由题意，俯视图为：
故选C．
5．下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可．
【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
6 .如图，方格纸中的△ABC经过变换，可以得到△A1B1C1，则正确的变换方法是（ ）
A．将△ABC向右平移5格
B．将△ABC向右平移5格，再向下平移4格
C．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后，再向下平移3格
D．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格
【答案】D
【分析】观察图象可知，先将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格即可得到．
【详解】解：根据图象知，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格即可得到△A1B1C1，
故选：D．
小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，
小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．
若点B距离地面的高度为，点B到的距离为
点C距离地面的高度是，则点C到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，由证明得出，即可推出结果．
【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，
点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，
，
，
，
，
又由题意可知，，
，
，，
，
点到的距离为，
故选：D．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C = 30°，CD = 24.则阴影部分的面积是（ ）
A．32π B．16π C．16 D．32
【答案】A
【详解】试题分析：先根据垂径定理求得CM=12，根据圆周角定理求得∠DOB=60°，再解直角三角形求得OC=，然后证得△COM≌△DBM，即可得到阴影部分的面积等于扇形COB的面积，=.
故选A
9. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：
①；②；③函数的最大值为；
④若关于x的方程无实数根，则．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．计算：=_______
【答案】2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．
这六个分数的极差是 分．
【答案】3
【分析】根据极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差直接判断即可得到答案；
【详解】解：由数据得，
极差为：，
故答案为：3．
12．2025年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
13．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，
为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．
【答案】
【分析】先根据点，的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数．
【详解】解：点，，
，
过原点，
为的半径，
为的切线，
，，
在中，，，，
，
，
，
又，
三角形为等边三角形，
，
即的度数为．
故答案为：．
一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．
在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，
则该几何体能看得到的面上数字之和最小是_______
【答案】 32
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：
要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，
故答案为：32
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
16．如图，已知及、两点．请你用尺规作图法在内部找出一点，使，
并且点到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】使P到点M、N的距离相等，即画的垂直平分线，且到的两边的距离相等，即画它的角平分线，两线的交点就是点P的位置．
【详解】解：点就是所求的点．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．解不等式组或计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）分别解不等式，在根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解直接求解即可得到答案；
（2）先通分，再因式分解约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：原式
；
18 . 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，
学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，
请根据图中的信息解答下列问题：
求该校九年级接受调查的人数并补全条形统计图．
(2) 计算扇形统计图中的“其他”所对应的圆心角度数．
(3) 若该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动”方式进行考前减压的人数．
【答案】(1)50人；见详解
(2)
(3)150人
【分析】（1）先根据百分比计算总人数，再计算“听音乐”方式减压的人数
（2）用360°乘以“其他”所对应的所占百分比
（3）用总人数乘以喜欢“体育活动”方式的百分比即可
【详解】（1）（人）；
“听音乐”方式减压的人数：
（人）；
（2）
（3）（人）
第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，
向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，
老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，
并向大家介绍卡片上图案对应的含义．
(1)请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 ；
(2)若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据简单的概率公式计算即可得出结果；
（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果，两人抽到的卡片上是相同名称的结果，然后求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算及利用树状图或列表法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
【详解】（1）∵共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同，
∴随机抽去一张卡片，上面写有“菊”的概率为；
故答案为：；
（2）把写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同的结果有4种，
∴．
故两人抽到的卡片上是相同名称的概率为．
20．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，
台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
21 . 冰墩墩是北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，
头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，
冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．
两款玩偶的进货价和销售价如下表：
A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）
第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个
(2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元
【分析】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，
由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，
再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．
类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
① 将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，
再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
② 函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到；
③ 的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
(2) 如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，
并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，．
(3) 实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，
新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；
若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍
（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．
如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，
那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．
【答案】(1)①，；
②上，1；
③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
(2)见解析，
(3)
【分析】（1）①由阅读部分提示信息直接作答即可；②由，结合提示信息可得答案；③由，结合提示信息可得答案；
（2）先判断是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；再利用图象的平移进行画图即可，结合函数的图象可得时x的范围；
（3）先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为；
②∵，
∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到；
③∵，
∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．
（2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；
∴其对称中心是．图象如图所示：
由，得， 解得，经检验符合题意．
结合图象可得，当时，．
（3）当时， ，
则由，解得：，经检验符合题意，
即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点在函数的图象上，
则，解得：， 经检验符合题意；
∴， 当，
解得：，经检验符合题意；
即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
23．如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明：；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；
（2）在中，勾股定理求得，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：是的垂直平分线，
，．
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
.
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴．
∵，
在中，，
∴，
在中，．
24．如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，
在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
求此抛物线对应的函数表达式；
求高架桥两端的的距离；
如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，
已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，
试求菱形广告牌所需的最低费用．
【答案】(1)
(2)米
(3)元
【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解．
（3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作轴于点，
∵四边形是菱形，，
∴，，
在中，轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设抛物线对应的函数表达式为，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）令，
解得：，
∴，
∴（米）
（3）设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设矩形中，米，
则，代入，，
得，
∴ ，
∴，
由（1）可得，
，
设总费用为，
∴
；
当时，取得最小值，
最小值为，
∴菱形广告牌所需的最低费用为元．
已知在正方形ABCD中，，点P在边CD上，，点Q是射线AP上的一个动点，
过点Q作AB的平行线交射线BC于点M，点R在直线BC上，使RQ始终与射线AP垂直．
如图1，当点R与点C重合时，求PQ的长；
如图2，试探索：的值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明理由并求出变化规律；
若没有变化，请求出它的比值；
如图3，当点Q在线段AP上，设，请用含x的式子表示RM．
【答案】(1)；
(2)的比值随点的运动没有变化，比值为；
(3)．
【分析】（1）由正方形的性质及可求出，，由勾股定理可求出，再由即可求出结论；
（2）证明，得，即可得，故可得出结论；
（3）延长交的延长线于点，通过证明求得，进而得，通过证明得，进而证明，利用三角函数得定义即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得，，
在中，，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）解： 的比值随点的运动没有变化 理由如下：如图，
∵
∴，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴的比值随点的运动没有变化，比值为；
（3）解：延长交的延长线于点
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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